Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes non linéaires hyperboliques de lois de conservation avec des termes sources autorisées à devenir raides. Les applications viennent pour la plupart de problèmes physiques, par exemple l'equation de Burgers ou de Buckley-Leverett et le système d'Euler muni de lois de pression pour un gaz parfait ou une version simplifiée de mélange à deux phases. La première partie traite des aspects théoriques de ce sujet. Nous nous concentrons sur le cas unidimensionnel et considérons l'équation scalaire et d'un cas particulier d'un système d'écoulement diphasique réactif. La question principale à gérer lorsqu'on établit la convergence forte d'une suite d'approximations au moyen de la théorie de compacité par compensation dans de tels cas est de trouver des régions invariantes dans l'espace des phases. Pour le problème scalaire, il suffit que le terme source conserve une borne uniforme sur la norme L ∞ de la séquence. Mais c'est moins évident pour un système car les zones invariantes sont plutôt compliquées et peuvent être perturbées en raison de la forme de certains termes de forçage. La deuxième partie s'intéresse aux critères de stabilité pour les schémas numériques implicites impliquant des quadratures en temps sophistiquées. Nous présentons d'abord l'analyse d'une semi-discrétisation (méthode des lignes) afin d'en tirer des conditions suffisantes pour le système différentiel d'être bien posé. Cela amène des restrictions assez naturelles pour assurer la stabilité d'une méthode à une seule étape implicite: le pas de temps doit être petit près des points de compression et de répulsion du terme source. Une analyse de variation totale est ensuite réalisée pour dériver les régimes du second ordre sans oscillations autour de chocs pour le plus grand pas de temps possible. Des expériences numériques sont présentés sur des problèmes scalaires non linéaires. La troisième partie est une suite directe afin de corriger certaines des difficultés rencontrées auparavant. L'objectif principal est de construire une nouvelle discrétisation qui peut gérer un terme source arbitrairement raide sans aucune influence (sauf la condition habituelle CFL) sur le pas de temps. Suivant les idées de J. Greenberg et A.-Y. LeRoux, nous calculons d'abord un schéma de Godunov scalaire afin d'obtenir un résultat de convergence vers la solution entropique à l'aide des estimations BV. Comme la caractéristique principale est de gérer les sources au moyen des produits non-conservatifs, nous décidons d'utiliser le formalisme proposé par G. Dalmaso, PG LeFloch et F. Murat pour étendre ces idées à des systèmes non-homogènes. Suivant I. Toumi, nous introduisons des matrices de type Roe le long des chemins régularisants afin d'obtenir des approximations qui montrent des propriétés intéressantes. En fait, c'est ce que l'on appelle les régimes bien équilibrés, à savoir les régimes qui préservent les intégrales premières théoriques du mouvement. Des tests numériques sont basés sur le système d'Euler avec termes sources géométriques. Le quatrième (et dernière) partie concerne la mise en place de cette formulation non-conservative dans un schéma de type flux-splitting. L'objectif est de construire une méthode très robuste, bien équilibrée et facile à mettre en oeuvre. Les relations de saut généralisées provenant des sources sont détaillées et le système est testé dans un très large éventail de problèmes: les flux de tuyères, diphasique avec chimie et amortissement, les systèmes de relaxation ... Un chapitre est également consacré à des cas de résonance: en suivant Majda, nous étudions le problème stationnaire pour valider nos résultats. Ce travail conclut avec un écoulement diphasique en deux dimensions qui évolue de manière assez compliquée, les relations non conservatives étant traitées par un processus itératif convergent.

Cette thèse concerne l'étude des interactions entre le plasma et la paroi d'un réacteur à fusion nucléaire de type tokamak. L'objectif est de proposer des méthodes de résolution des systèmes d'équations issus de modèles de plasma de bord. Nous nous sommes intéressés au traitement de deux difficultés qui apparaissent lors de la résolution numérique de ces modèles. La première difficulté est liée à la forme complexe de la paroi du tokamak. Pour cela, il a été choisi d'utiliser des méthodes de pénalisation volumique. Des tests numériques de plusieurs méthodes de pénalisation ont été réalisés sur un problème hyperbolique non linéaire avec un domaine 1D. Une de ces méthodes a été étendue à un système hyperbolique quasilinéaire avec bord non caractéristique et conditions aux limites maximales strictement dissipatives sur un domaine multidimensionnel : il est alors démontré que cette méthode de pénalisation ne génère pas de couche limite. La deuxième difficulté provient de la forte anisotropie du plasma, entre la direction parallèle aux lignes de champ magnétique et la direction radiale. Pour le potentiel électrique, cela se traduit par une résistivité parallèle très faible. Afin d'éviter les difficultés liées au fait que le problème devient mal posé quand la résistivité parallèle tend vers 0, nous avons utilisé des méthodes de type asymptotic-preserving (AP). Pour les problèmes non linéaires modélisant le potentiel électrique avec un domaine 1D et 2D, nous avons fait l'analyse théorique ainsi que des tests numériques pour deux méthodes AP. Des tests numériques sur le cas 1D ont permis une étude préliminaire du couplage entre les méthodes de pénalisation volumique et AP.

L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l'hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l'écoulement et celle décrivant l'évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l'échelle de la parcelle, nous présentons un système d'équations couplant les mécanismes d'infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L'implémentation et des tests de validation d'un schéma d'ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l'application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles au Niger. Dans le but d'aboutir la simulation à l'échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d'inondation dans les équations d'évolution afin de prendre en compte l'effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code.

Ce travail de thèse propose une approche générique pour l'estimation de l'état/ des paramètres et pour le placement de capteurs de systèmes hyperboliques non linéaires en dimension infinie. Le travail est donc divisé en deux parties principales : une partie consacrée à l'estimation optimale et une partie dédiée au placement optimal de capteurs. La méthode d'estimation optimale utilise une approche par calcul des variations et utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Ces multiplicateurs jouent un rôle important en donnant accès aux sensibilités des mesures par rapport aux variables qui doivent être estimées. Ces sensibilités, décrites par les équations adjointes, sont aussi à l'origine d'une nouvelle approche, dite méthode de l'adjoint, pour le placement optimal de capteurs. Divers exemples, construits sur la base de simulations mais également de données réelles et pour différents scénarios, sont aussi étudiées afin d'illustrer l'efficacité des approches développées. Ces exemples concernent les écoulements à surface libre (en hydrologie des bassins versants) et le trafic routier représentés par des équations aux dérivées partielles hyperboliques non linéaires. / The thesis proposes a general framework for both state/parameters estimation and sensor placement in nonlinear infinite dimensional hyperbolic systems. The work is therefore divided into two main parts: a first part devoted to the optimal estimation and a second one to optimal sensor location. The estimation method is based on the calculus of variations and the use of Lagrange multipliers. The Lagrange multipliers play an important role in giving access to the sensitivities of the measurements with respect to the variables to be estimated. These sensitivities, described by the adjoint equations, are also the key idea of a new approach, so-called the adjoint-based approach, for the optimal sensor placement. Various examples, either based on some simulations with synthetic measurements or real data sets and for different scenarios, are also studied to illustrate the effectiveness of the developed approaches. Theses examples concern the overland flow systems and the traffic flow, which are both governed by nonlinear hyperbolic partial differential equations.

Nous présentons dans cette thèse les évolutions apportées au solveur Galerkin Discontinu Teta-CLAC, issu de la collaboration IRMA-AxesSim, au cours du projet HOROCH (2015-2018). Ce solveur permet de résoudre les équations de Maxwell en 3D, en parallèle sur un grand nombre d'accélérateurs OpenCL. L'objectif du projet HOROCH était d'effectuer des simulations de grande envergure sur un modèle numérique complet de corps humain. Ce modèle comporte 24 millions de mailles hexaédriques pour des calculs dans la bande de fréquences des objets connectés allant de 1 à 3 GHz (Bluetooth). Les applications sont nombreuses : téléphonie et accessoires, sport (maillots connectés), médecine (sondes : gélules, patchs), etc. Les évolutions ainsi apportées comprennent, entre autres : l'optimisation des kernels OpenCL à destination des CPU dans le but d'utiliser au mieux les architectures hybrides ; l'expérimentation du runtime StarPU ; le design d'un schéma d'intégration à pas de temps local ; et bon nombre d'optimisations permettant au solveur de traiter des simulations de plusieurs millions de mailles. / In this thesis, we present the evolutions made to the Discontinuous Galerkin solver Teta-CLAC – resulting from the IRMA-AxesSim collaboration – during the HOROCH project (2015-2018). This solver allows to solve the Maxwell equations in 3D and in parallel on a large amount of OpenCL accelerators. The goal of the HOROCH project was to perform large-scale simulations on a complete digital human body model. This model is composed of 24 million hexahedral cells in order to perform calculations in the frequency band of connected objects going from 1 to 3 GHz (Bluetooth). The applications are numerous: telephony and accessories, sport (connected shirts), medicine (probes: capsules, patches), etc. The changes thus made include, among others: optimization of OpenCL kernels for CPUs in order to make the best use of hybrid architectures; StarPU runtime experimentation; the design of an integration scheme using local time steps; and many optimizations allowing the solver to process simulations of several millions of cells.

Afin d'étudier le comportement des organes de robinetterie, notamment des soupapes de sûreté à ressort, en conditions accidentelles, on s'est intéressé à la simulation des écoulements avec autovaporisation. Ces écoulements diphasiques sont susceptibles d'être rencontrés dans toute installation industrielle utilisant des liquides sous pression. Dans le cas de l'ouverture d'une soupape, la dynamique du clapet est particulièrement sensible aux variations de la pression sous celui-ci. Il est donc indispensable de pouvoir simuler précisément des transitoires très rapides. Cette recherche a été menée selon deux axes : 1°) La modélisation physique du mécanisme de vaporisation par dépressurisation. 2°) La simulation numérique des modèles dans le cas d'écoulements fortement instationnaires. D'un point de vue physique, deux modèles d'autovaporisation ont été étudiés ; le modèle homogène relaxé (HRM), proposé par Bilicki et al., et le modèle développé par Jones et al.. Ils supposent tous les deux l'égalité des pressions et des vitesses dans les phases liquide et gazeuse, et que la vapeur apparaît dans les conditions de saturation. Une comparaison des résultats de ces modèles a été effectuée dans le cas d'écoulements stationnaires, en s'appuyant sur les données expérimentales mesurées sur la boucle Super Moby-Dick du Commissariat à l'Energie Atomique (CEA) de Grenoble. Concernant l'aspect numérique, Il est à noter que les systèmes d'équations obtenus sont inconditionnellement hyperboliques, mais non conservatifs dans le cas unidimensionnel, à cause de la présence des termes de variation de la section en espace et en temps. Des schémas numériques de type Volumes Finis ont donc été développés pour prendre en compte la présence de termes sources raides, et l'utilisation de lois d'état complexes pour des fluides réels. Une attention particulière a été portée sur le calcul des conditions aux limites. Trois schémas numériques ont été testés, VFROE en variables non conservatives, le schéma de Rusanov, et une version modifiée du schéma de Roe. Une étude comparative détaillée des performances de chaque schéma a été menée pour des écoulements instationnaires et stationnaires gazeux, liquides et diphasiques. Elle met en évidence que le schéma VFROE-ncv est le plus précis, et que le schéma de Rusanov est le plus robuste. Une stratégie combinant ces deux schémas est donc envisagée.

L’objectif global de ce travail est d’étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d’érosion à l’échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l’hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l’écoulement et celle décrivant l’évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l’échelle de la parcelle, nous présentons un système d’équations couplant les mécanismes d’infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L’implémentation et des tests de validation d’un schéma d’ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l’application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles au Niger. Dans le but d’aboutir la simulation à l’échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d’inondation dans les équations d’évolution afin de prendre en compte l’effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code. / The overall objective of this thesis is to study a multiscale modelling and to develop a suitable method for the numerical simulation of soil erosion on catchment scale. After reviewing the various existing models, we derive an analytical solution for the non-trivial coupled system modelling the bedload transport. Next, we study the hyperbolicity of the system with different sedimentation laws found in the literature. Relating to the numerical method, we present the validity domain of the time splitting method, consisting in solving separately the Shallow-Water system (modelling the flow routing) during a first time step for a fixed bed and updating afterward the topography on a second step using the Exner equation. On the modelling of transport in suspension at the plot scale, we present a system coupling the mechanisms of infiltration, runoff and transport of several classes of sediment. Numerical implementation and validation tests of a high order wellbalanced finite volume scheme are also presented. Then, we discuss on the model application and calibration using experimental data on ten 1 m2 plots of crusted soil in Niger. In order to achieve the simulation at the catchment scale, we develop a multiscale modelling in which we integrate the inundation ratio in the evolution equations to take into account the small-scale effect of the microtopography. On the numerical method, we study two well-balanced schemes : the first one is the Roe scheme based on a path conservative, and the second one is the scheme using a generalized hydrostatic reconstruction. Finally, we present a first model application with experimental data of the Ganspoel catchment where the parallel computing is also motived.

La Commande prédictive ou Commande Optimale à Horizon Glissant (COHG) devient de plus en plus populaire dans de nombreuses applications pratiques en raison de ses avantages importants tels que la stabilisation et la prise en compte des contraintes. Elle a été bien étudiée pour des systèmes en dimension finie même dans le cas non linéaire. Cependant, son extension aux systèmes en dimension infinie n'a pas retenu beaucoup d'attention de la part des chercheurs. Ce travail de thèse apporte des contributions à l'application de cette approche aux systèmes de lois de conservation. Nous présentons tout d'abord une preuve de stabilité complète de la COHG pour certaines classes de systèmes en dimension infinie. Ce résultat est ensuite utilisé pour les systèmes hyperboliques 2x2 commandés aux frontières et appliqué à un problème de contrôle de canal d'irrigation. Nous proposons aussi l'extension de cette stratégie au cas de réseaux de systèmes hyperboliques 2x2 en cascade avec une application à un ensemble de canaux d'irrigation connectés. Nous étudions également les avantages de la COHG dans le contexte des systèmes non linéaires et semi-linéaires notamment vis-à-vis des chocs. Toutes les analyses théoriques sont validées par simulation afin d'illustrer l'efficacité de l'approche proposée. / The predictive control or Receding Horizon Optimal Control (RHOC) is becoming increasingly popular in many practical applications due to its significant advantages such as the stabilization and constraints handling. It has been well studied for finite dimensional systems even in the nonlinear case. However, its extension to infinite dimensional systems has not received much attention from researchers. This thesis proposes contributions on the application of this approach to systems of conservation laws. We present a complete proof of stability of RHOC for some classes of infinite dimensional systems. This result is then used for 2x2 hyperbolic systems with boundary control, and applied to an irrigation canal. We also propose the extension of this strategy to networks of cascaded 2x2 hyperbolic systems with an application to a set of connected irrigation canals. Furthermore, we study the benefits of RHOC in the context of nonlinear and semi-linear systems in particular with respect to the problem of shocks. All theoretical analyzes are validated by simulation in order to illustrate the effectiveness of the proposed approach.