A point process is a mechanism, which realizes randomly locally finite point measures. One of the main results of this thesis is an existence theorem for a new class of point processes with a so called signed Levy pseudo measure L, which is an extension of the class of infinitely divisible point processes. The construction approach is a combination of the classical point process theory, as developed by Kerstan, Matthes and Mecke, with the method of cluster expansions from statistical mechanics. Here the starting point is a family of signed Radon measures, which defines on the one hand the Levy pseudo measure L, and on the other hand locally the point process. The relation between L and the process is the following: this point process solves the integral cluster equation determined by L. We show that the results from the classical theory of infinitely divisible point processes carry over in a natural way to the larger class of point processes with a signed Levy pseudo measure. In this way we obtain e.g. a criterium for simplicity and a characterization through the cluster equation, interpreted as an integration by parts formula, for such point processes. Our main result in chapter 3 is a representation theorem for the factorial moment measures of the above point processes. With its help we will identify the permanental respective determinantal point processes, which belong to the classes of Boson respective Fermion processes. As a by-product we obtain a representation of the (reduced) Palm kernels of infinitely divisible point processes. In chapter 4 we see how the existence theorem enables us to construct (infinitely extended) Gibbs, quantum-Bose and polymer processes. The so called polymer processes seem to be constructed here for the first time. In the last part of this thesis we prove that the family of cluster equations has certain stability properties with respect to the transformation of its solutions. At first this will be used to show how large the class of solutions of such equations is, and secondly to establish the cluster theorem of Kerstan, Matthes and Mecke in our setting. With its help we are able to enlarge the class of Polya processes to the so called branching Polya processes. The last sections of this work are about thinning and splitting of point processes. One main result is that the classes of Boson and Fermion processes remain closed under thinning. We use the results on thinning to identify a subclass of point processes with a signed Levy pseudo measure as doubly stochastic Poisson processes. We also pose the following question: Assume you observe a realization of a thinned point process. What is the distribution of deleted points? Surprisingly, the Papangelou kernel of the thinning, besides a constant factor, is given by the intensity measure of this conditional probability, called splitting kernel. / Ein Punktprozess ist ein Mechanismus, der zufällig ein lokalendliches Punktmaß realisiert. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist ein Existenzsatz für eine sehr große Klasse von Punktprozessen mit einem signierten Levy Pseudomaß L. Diese Klasse ist eine Erweiterung der Klasse der unendlich teilbaren Punktprozesse. Die verwendete Methode der Konstruktion ist eine Verbindung der klassischen Punktprozesstheorie, wie sie von Kerstan, Matthes und Mecke ursprünglich entwickelt wurde, mit der sogenannten Methode der Cluster-Entwicklungen aus der statistischen Mechanik. Ausgangspunkt ist eine Familie von signierten Radonmaßen. Diese definiert einerseits das Levysche Pseudomaß L; andererseits wird mit deren Hilfe der Prozess lokal definiert. Der Zusammenhang zwischen L und dem Prozess ist so, dass der Prozess die durch L bestimmte Integralgleichung (genannt Clustergleichung) löst. Wir zeigen, dass sich die Resultate aus der klassischen Theorie der unendlich teilbaren Punktprozesse auf natürliche Weise auf die neue Klasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß erweitern lassen. So erhalten wir z.B. ein Kriterium für die Einfachheit und eine Charackterisierung durch die Clustergleichung für jene Punktprozesse. Unser erstes Hauptresultat in Kapitel 3 zur Analyse der konstruierten Prozesse ist ein Darstellungssatz der faktoriellen Momentenmaße. Mit dessen Hilfe werden wir die permanentischen respektive determinantischen Punktprozesse, die in die Klasse der Bosonen respektive Fermionen Prozesse fallen, identifizieren. Als ein Nebenresultat erhalten wir eine Darstellung der (reduzierten) Palm Kerne von unendlich teilbaren Punktprozessen. Im Kapitel 4 konstruieren wir mit Hilfe unseres Existenzsatzes unendlich ausgedehnte Gibbsche Prozesse sowie Quanten-Bose und Polymer Prozesse. Unseres Wissens sind letztere bisher nicht konstruiert worden. Im letzten Teil der Arbeit zeigen wir, dass die Familie der Clustergleichungen gewisse Stabilitätseigenschaften gegenüber gewissen Transformationen ihrer Lösungen aufweist. Dies wird erstens verwendet, um zu verdeutlichen, wie groß die Klasse der Punktprozesslösungen einer solchen Gleichung ist. Zweitens wird damit der Ausschauerungssatz von Kerstan, Matthes und Mecke in unserer allgemeineren Situation gezeigt. Mit seiner Hilfe können wir die Klasse der Polyaschen Prozesse auf die der von uns genannten Polya Verzweigungsprozesse vergrößern. Der letzte Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich mit dem Ausdünnen und dem Splitten von Punktprozessen. Wir beweisen, dass die Klassen der Bosonen und Fermionen Prozesse abgeschlossen unter Ausdünnung ist. Die Ergebnisse über das Ausdünnen verwenden wir, um eine Teilklasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß als doppelt stochastische Poissonsche Prozesse zu identifizieren. Wir stellen uns auch die Frage: Angenommen wir beobachten eine Realisierung einer Ausdünnung eines Punktprozesses. Wie sieht die Verteilung der gelöschten Punktkonfiguration aus? Diese bedingte Verteilung nennen wir splitting Kern, und ein überraschendes Resultat ist, dass der Papangelou-Kern der Ausdünnung, abgesehen von einem konstanten Faktor, gegeben ist durch das Intensitätsmaß des splitting Kernes.

Die Pseudomomente dienen als Charakteristikum der Annäherung der Komponenten einer Summenverteilungsfunktion gegen die Komponenten der Grenzverteilungsfunktion. In der Terminologie der Pseudomomente werden Abschätzungen der Annäherung der Summenverteilungsfunktion gegen eine unbegrenz teilbare Verteilungsfunktion angegeben. Dabei werden die Aussagen ohne die Voraussetzung der sogenannten Infinitesimalitätsbedingung hergeleitet. Es werden Abschätzungen angegeben sowohl unter der Voraussetzung endlicher Streuungen als auch ohne diese Voraussetzung. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben. / The pseudo-moments serve as a characteristic of the approach of the components of a cumulative distribution function to the components of the limit distribution function. In the terminology of pseudo-moments estimates of the approximation of the cumulative distribution function by an indefinite divisible distribution function can be specified. The results are derived without the assumption of the so-called condition of infinitesimality. There are given some estimations with or without the assumption of finite variances. Finally some references are given.

Die Pseudomomente dienen als Charakteristikum der Annäherung der Komponenten einer Summenverteilungsfunktion gegen die Komponenten der Grenzverteilungsfunktion. In der Terminologie der Pseudomomente werden Abschätzungen der Annäherung der Summenverteilungsfunktion gegen eine unbegrenz teilbare Verteilungsfunktion angegeben. Dabei werden die Aussagen ohne die Voraussetzung der sogenannten Infinitesimalitätsbedingung hergeleitet. Es werden Abschätzungen angegeben sowohl unter der Voraussetzung endlicher Streuungen als auch ohne diese Voraussetzung. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben.:1. Einleitung S. 2 2. Abschätzungen unter Voraussetzung endlicher Streuungen S. 3 3. Abschätzungen ohne die Voraussetzung über die Existenz der Streuungen S. 6 4. Beweise S. 9 5. Beispiel S. 11 Literatur S. 12 / The pseudo-moments serve as a characteristic of the approach of the components of a cumulative distribution function to the components of the limit distribution function. In the terminology of pseudo-moments estimates of the approximation of the cumulative distribution function by an indefinite divisible distribution function can be specified. The results are derived without the assumption of the so-called condition of infinitesimality. There are given some estimations with or without the assumption of finite variances. Finally some references are given.:1. Einleitung S. 2 2. Abschätzungen unter Voraussetzung endlicher Streuungen S. 3 3. Abschätzungen ohne die Voraussetzung über die Existenz der Streuungen S. 6 4. Beweise S. 9 5. Beispiel S. 11 Literatur S. 12

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.