Dans le cadre du projet européen ENVISION (2010-2014) et en collaboration avec l'équipe CAS-PHABIO de l'IPNL, cette thèse constitue une contribution méthodologique et technique dans le domaine de la dosimétrie et de l'imagerie de contrôle par émission des positons (TEP) pour les organes en mouvement. Les méthodes actuelles utilisent le recalage déformable d'images CT pour estimer le mouvement des organes internes. Le recalage déformable permet d'estimer le déplacement de chaque voxel d'une image à une autre. La dose radio-thérapeutique ainsi que l'activité TEP sont accumulées sur des voxels. Ces approches ont des difficultés quand il s'agit de prendre en compte la variation de densité à l'intérieur des organes et l'aspect non-répétitif du mouvement respiratoire. Les travaux antérieurs de l'équipe ont permis de développer un premier modèle biomécanique complet du système respiratoire qui, corrélé avec des signaux externes, pourrait prendre en compte la variabilité du mouvement respiratoire. Cette thèse présente une approche qui permet d'intégrer un tel modèle biomécanique dans un système de planification de traitement pour l'hadronthérapie. Dans cette thèse, nous avons choisi d'investiguer de près l'utilisation des maillages tétraédriques déformables dans la dosimétrie et la reconstruction d'images TEP afin d'estimer les avantages et inconvénients de ce type de géométrie. En conclusion, notre approche peut être utilisée avec n'importe quel modèle de déformation basé sur une géométrie tétraédrique et dont le mouvement est décrit par le déplacement des nœuds des maillages et donc contrairement aux méthodes basés images, notre approche n'est pas nécessairement dépendante de l'existence des images internes à tout moment. Dans le futur, les méthodes développées dans cette thèse pourraient être utilisées avec un modèle biomécanique complet du système respiratoire afin de quantifier, par exemple, les effets de la variabilité de la respiration sur le dépôt de dose / Respiratory-induced organ motion is a technical challenge to nuclear imaging and to charged particle therapy dose calculations for lung cancer treatment in particular. Internal organ tissue displacements and deformations induced by breathing need to be taken into account when calculating Monte Carlo dose distributions as well as when performing tomographic reconstructions for PET imaging. Current techniques based on Deformable Image Registration (DIR) cannot fully take into account the density variations of the tissues nor the fact that respiratory motion is not reproducible. As part of the ENVISION (2010-2014) European project, in collaboration with the CAS-PHABIO team from IPNL (the Nuclear Physics Institute from Lyon), this PhD project presents a methodological contribution to physical dose calculations and PET-based treatment verification for hadron therapy in the case of moving tumours. Contrary to DIR-based methods where motion is described by relative voxel displacement, each organ is represented as a deformable grid of tetrahedra where internal motion is described by mesh vertex transformations calculated using continuum mechanics. First, this PhD project proposes a new method to calculate four dimensional dose distribution over tetrahedral meshes, which are deformed using biomechanical modeling based on Finite Element Analysis (FEA). The second part of the PhD is focused on motion compensation for PET image reconstruction using deformable tetrahedral meshes

In this thesis, we present a simple and efficient \emph{a posteriori} error estimation procedure for a discontinuous finite element method applied to scalar first-order hyperbolic problems on structured and unstructured tetrahedral meshes. We present a local error analysis to derive a discontinuous Galerkin orthogonality condition for the leading term of the discretization error and find basis functions spanning the error for several finite element spaces. We describe an implicit error estimation procedure for the leading term of the discretization error by solving a local problem on each tetrahedron. Numerical computations show that the implicit \emph{a posteriori} error estimation procedure yields accurate estimates for linear and nonlinear problems with smooth solutions. Furthermore, we show the performance of our error estimates on problems with discontinuous solutions. We investigate pointwise superconvergence properties of the discontinuous Galerkin (DG) method using enriched polynomial spaces. We study the effect of finite element spaces on the superconvergence properties of DG solutions on each class and type of tetrahedral elements. We show that, using enriched polynomial spaces, the discretization error on tetrahedral elements having one inflow face, is O(h^{p+2}) superconvergent on the three edges of the inflow face, while on elements with one inflow and one outflow faces the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on the outflow face in addition to the three edges of the inflow face. Furthermore, we show that, on tetrahedral elements with two inflow faces, the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on the edge shared by two of the inflow faces. On elements with two inflow and one outflow faces and on elements with three inflow faces, the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on two edges of the inflow faces. We also show that using enriched polynomial spaces lead to a simpler{a posterior error estimation procedure. Finally, we extend our error analysis for the discontinuous Galerkin method applied to linear three-dimensional hyperbolic systems of conservation laws with smooth solutions. We perform a local error analysis by expanding the local error as a series and showing that its leading term is O( h^{p+1}). We further simplify the leading term and express it in terms of an optimal set of polynomials which can be used to estimate the error. / Ph. D.

L’estimation de la distribution de dose et d’énergie en présence du mouvement des tissus induit par la respiration, constitue un défi technologique important dans la planification du traitement en hadronthérapie. Notamment pour le cancer pulmonaire, dans lequel de nombreuses difficultés apparaissent comme la variation de densité des tissues, le changement de la forme des organes ainsi que le décalage de la position de la tumeur pendant la respiration. Tous ces paramètres affectent la portée du faisceau d’ions utilisés pendant le traitement, et, par conséquent entraînent une distribution de dose inattendue. L’objectif principal de cette thèse est de proposer une méthode de calcul de dose basée sur les structures tétraédriques, qui permet d’estimer les distributions de dose des organes en mouvement en utilisant les simulations Monte Carlo. Ces distributions de dose sont calculées en utilisant une carte de densité tétraédrique dépendante du temps, décrivant l’anatomie interne du corps humain. De plus, le mouvement interne peut être représenté à l'aide d'une modélisation biomécanique résolue par la méthode des éléments finis (MEF) ou d'une carte de déplacement issue d’un recalage d’images déformable. Contrairement aux méthodes basées sur les structures classiques à base de voxels, la dose déposée s’accumule à l’intérieur de chaque tétraèdre au cours de la déformation, surmontant ainsi le problème du suivi tissulaire puisque le tétraèdre est défini comme une partie d’un tissu dont la composition chimique et la topologie ne changent pas. Dans la première partie de la thèse, nous avons développé une méthode de calcul de dose qui génère une carte de dose 4D en utilisant un modèle tétraédrique spécifique au patient. En outre, nous étudions l’effet du niveau de détail des maillages tétraédriques sur la précision de la distribution de la dose obtenue. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur l’optimisation de la géométrie tétraédrique pour réduire le temps de simulation, sachant que l’obtention d’une distribution de dose précise peut être coûteux en termes de temps. Pour surmonter ce problème, nous avons proposé une nouvelle approche qui prend en compte la direction du faisceau afin de minimiser l'erreur de l’épaisseur équivalent eau des tétraèdres avant le volume de la tumeur. Cette méthode permet d'obtenir un maillage tétraédrique grossier et, par conséquent, d'améliorer les performances de calcul dans les simulations de Monte Carlo, tout en conservant une distribution de dose précise dans le volume cible / The estimation of energy and dose distribution patterns in respiratory-induced organ motion constitutes a significant challenge in hadron therapy treatment planning and dosimetry. Notably for lung cancer in which many difficulties arise, like tissue densities variation and the tumor position shifting during respiration. All these parameters affect the ranges of protons or ions used in treatment when passing through different tissues and can easily result in unexpected dose distribution. The present work consists of calculating the dose distributions of moving organs by means of Monte Carlo simulations and patient-specific modeling tools. The dose distributions are calculated using a time-dependent tetrahedral density map, describing the internal anatomy of the human body. Additionally, the internal motion can be described using either a biomechanical modeling based on Finite Element Analysis (FEA) or deformable image registration displacement map. Unlike methods based on the conventional voxel-based structures, the deposited energy is accumulated inside each tetrahedron during deformation, thus overcoming the problem of tissue tracking since that the tetrahedron is defined as a part of a tissue whose chemical composition and topology do not change. The first part of the Ph.D. project proposes a dose calculation method that generates a 4D dose map using a patient-specific tetrahedral model. Besides, we study the effect of the level of detail of tetrahedral meshes on the accuracy of the resulted dose distribution. In the second part, we focus on the optimization of the tetrahedral geometry to address the problem of time simulation, since obtaining a precise dose distribution can be very time-consuming. To overcome this issue, we've defined a new approach that takes into account the direction of the beam to minimize the error of the water equivalent thickness of the tetrahedrons before the tumor volume. This method allows for a coarsened tetrahedral mesh and as a result, improved computational performance in Monte Carlo simulations while guaranteeing a precise dose distribution in the target volume

Ce travail porte sur la résolution numérique des transferts couplés par rayonnement et conduction au sein d'un milieu semi-transparent pour une géométrie 3D de forme complexe. Le rayonnement thermique est simulé par un code de calcul développé durant cette thèse. Ce code résout l'équation du transfert radiatif (ETR) par une méthode aux volumes finis (MVF) avec une formulation " cell-vertex " s'appliquant à des maillages tétraédriques non structurés. Il utilise un schéma de fermeture de type exponentiel, un ordre de parcours ainsi qu'une résolution matricielle innovante pour la MVF appliquée à l'ETR. Le modèle mis en place traite des milieux absorbants, émettants, gris ou non-gris bordés par des surfaces noires ou opaques à réflexion diffuse. Le couplage rayonnement-conduction s'effectue sur le même maillage avec un code d'éléments finis pour la conduction. La validation du code de rayonnement et du couplage passe par de nombreux cas tests issus de la littérature. Il aborde les milieux gris, isotherme avec différentes géométries où les effets de la discrétisation spatiale et angulaire sont observés au travers d'une étude de sensibilité. Trois schémas de fermeture ont été étudiés sur un milieu transparent pour montrer leurs influences sur la précision et la diffusion numérique. Les études des transferts de chaleur couplés traitent le problème de l'équilibre radiatif et du couplage conduction-rayonnement en régime stationnaire ou instationnaire avec les équations adimensionnées. La dernière étude porte sur un milieu non-gris tel que le verre en considérant la conduction et le rayonnement en régime stationnaire avec une méthode spectrale par bande pour la partie radiative / This work deals with the numerical solution of coupled radiative and conductive heat transfer in participating media in complex 3D geometries. Thermal radiation is simulated by a numerical code developed during this thesis. This code solves the radiative transfer equation (RTE) by a modified finite volume method (FVM) with a cell-vertex formulation applied to unstructured tetrahedral meshes. It uses a closure relation based on an exponential scheme, a marching order map and an innovative matrix solution for the FVM applied to the RTE. The model is applied to absorbing-emitting, grey or non-grey media bounded by black or opaque walls with diffuse reflection. The mesh used for the radiation-conduction coupling is the one used by the finite element code for the conduction. The validation of the radiative code and the coupling are carried out through several test cases taken from the literature. Grey and isothermal media with different geometries are considered, and the effects of the spatial and angular discretizations are observed through a sensitivity study. Three closure schemes have been studied on a transparent medium in order to show their influence on the accuracy and false scattering. Studies of coupled heat transfer are carried out on radiative equilibrium problems and coupled radiation-conduction problems in steady or transient states with the dimensionless equations. Finally a non-grey medium such glass is also studied, considering conduction and radiation in steady state with a spectral band model for radiation