Wir beweisen, dass die Tannaka Gruppe und Darstellung Jacobische Varietäten der Dimension bis zu 5 charakterisieren. Außerdem zeigen wir, dass dies in allen Dimensionen für nicht-hyperelliptische Jacobische Varietäten auf dem bielliptischen Prym-Locus gilt. Wir erhalten dieses Ergebnis durch Untersuchung des Theta-Divisors von bielliptischen Prym Varietäten: Wir berechnen den Grad der Gauß-Abbildung, die Chern-Mather-Klasse und die charakteristische Klasse. Dazu gehört auch die Untersuchung von Entartungen mit Hilfe der Theorie der zulässigen Abdeckungen von Beauville. Auf dem Weg dorthin erhalten wir ähnliche Ergebnisse für den Theta-Divisor zyklischer Nodalkurven. Schließlich berechnen wir den Grad der Gauß-Abbildung auf einer allgemeinen Abelschen Varietät der bekannten irreduziblen Komponenten des Andreotti-Mayer-Locus. Wir tun dies unter Verwendung der Lagrangeschen Spezialisierung. Wir beweisen auch eine allgemeine Formel, die den ersten Koeffizienten der Lagrangeschen Spezialisierung mit der Samuel-Multiplizität der Singularität in Beziehung setzt. / We prove that the Tannakian group and representation characterize Jacobians amongst principally polarized abelian varieties of dimension up to 5. More generally, we show that this holds in all dimensions, for non-hyperelliptic Jacobians, on the bielliptic Prym locus. We obtain this result by studying the theta divisor of bielliptic Pryms: We compute the degree of the Gauss map, the Chern-Mather class and the characteristic cycle. This involves also looking at degenerations of Prym varieties using Beauville's theory of admissible covers. Along the way, we obtain similar results for the theta divisor of cyclic nodal curves. Finally, we compute the degree of the Gauss map on a general principally polarized abelian variety of all known irreducible components of the Andreotti-Mayer locus. We do this using Lagrangian specialization. We also prove a general formula relating the first coefficient of the Lagrangian specialization to the Samuel multiplicity of the singularity.

Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.