Dans la description à basse énergie de systèmes fortement corrélés, les champs de jauge peuvent émerger comme excitations collectives couplées à des quasiparticules fractionalisées. En particulier, certains aimants bidimensionnels dits frustrés sont décrits par un liquide de spin de Dirac comportant une symétrie de jauge U(1) compacte. La description infrarouge est donnée par une théorie conforme des champs, soit l'électrodynamique quantique en 2+1 dimensions avec 2N saveurs de fermions sans masse. Dans les aimants typiques, N=2 ou 4. L'aspect compact du champ de jauge implique également l'existence d'excitations topologiques, soit des instantons créés, dans ce contexte, par des opérateurs monopôles. Cette thèse porte sur les transitions de phase quantiques à partir d'un liquide de spin de Dirac et les propriétés des monopôles aux points critiques correspondants. Ces transitions sont induites en activant diverses interactions de type Gross-Neveu. Dans tous les cas à l'étude, la dimension d'échelle des monopôles est obtenue grâce à la correspondance état-opérateur et à un développement en 1/N. L'accent est d'abord mis sur une transition de confinement-déconfinement vers une phase antiferromagnétique décrite par la condensation d'un monopôle. Une levée de dégénérescence est observée au point critique alors que certaines dimensions d'échelle de monopôles sont réduites par rapport à leur valeur dans le liquide de spin de Dirac. Cette hiérarchie est caractérisée quantitativement en comparant les dimensions d'échelle dans des secteurs distincts du spin magnétique à l'ordre dominant en 1/N, puis qualitativement par une analyse en théorie des représentations. Des exposants critiques pour d'autres observables dans la théorie non compacte sont également obtenus. Enfin, deux transitions vers des liquides de spin topologiques, soit le liquide de spin chiral et le liquide de spin Z2, sont considérées. Les dimensions anormales des monopôles sont obtenues à l'ordre sous-dominant en 1/N. Ces résultats permettent de vérifier une dualité conjecturée avec un modèle bosonique et la valeur d'un coefficient universel pour les théories de jauge U(1) / In strongly correlated systems, gauge fields can emerge as collective excitations coupled to fractionalized quasiparticles. In particular, certain frustrated two-dimensional quantum magnets are described by a Dirac spin liquid which has a U(1) gauge symmetry. The infrared description is given by a conformal field theory, namely quantum electrodynamics in 2+1 dimensions with 2N flavours of massless fermions. In typical magnets, N=2 or 4. The compact aspect of the gauge field also implies the existence of topological excitations corresponding to instantons, which are created by monopole operators in this context. This thesis focuses on quantum phase transitions out of a Dirac spin liquid and the properties of monopoles at the corresponding critical points. These transitions are driven by activating various types of Gross-Neveu interactions. In all the cases studied, the scaling dimension of monopoles are obtained using the state-operator correspondence and a 1/N expansion. The confinement-deconfinement transition to an antiferromagnetic order produced by a monopole condensate is first studied. A degeneracy lifting is observed at the critical point, as certain monopoles have their scaling dimension reduced in comparison with the value in the Dirac spin liquid. This hierarchy is charactized quantitatively by comparing monopole scaling dimensions in distinct magnetic spin sector at leading-order in 1/N, and qualitatively by an analysis in representation theory. Critical exponents of various other operators are obtained in the non-compact model. Transitions to two topological spin liquids, namely a chiral spin liquid and a Z2 spin liquid, are also considered. Anomalous dimensions of monopoles are obtained at sub-leading order in 1/N. These results allow the verification of a conjectured duality with a bosonic model and the value of a universal coefficient in U(1) gauge theories.

The dissertation covers phase transitions in the realm of the Anderson model of localization on topologically disordered Voronoi-Delaunay lattices. The disorder is given by random connections which implies correlations due to the restrictive lattice construction. Strictly speaking, the system features "strong anticorrelation", which is responsible for quenched long-range fluctuations of the coordination number. This attribute leads to violations of universal behavior in various system, e.g. Ising and Potts model, and to modifications of the Harris and the Imry-Ma criteria. In general, these exceptions serve to further understanding of critical phenomena. Hence, the question arises whether such deviations also occur in the realm of the Anderson model of localization in combination with random Voronoi-Delaunay lattice. For this purpose, four cases, which are distinguished by the spatial dimension of the systems and by the presence or absence of a magnetic field, are investigated by means of two different methods, i.e the multifractal analysis and the recursive Green function approach. The behavior is classified by the existence and type of occurring phase transitions and by the critical exponent v of the localization length. The results for the four cases can be summarized as follows. In two-dimensional systems, no phase transitions occur without a magnetic field, and all states are localized as a result of topological disorder. The behavior changes under the influence of the magnetic field. There are so-called quantum Hall transitions, which are phase changes between two localized regions. For low magnetic field strengths, the resulting exponent v ≈ 2.6 coincides with established values in literature. For higher strengths, an increased value, v ≈ 2.9, was determined. The deviations are probably caused by so-called Landau level coupling, where electrons scatter between different Landau levels. In contrast, the principle behavior in three-dimensional systems is equal in both cases. Two localization-delocalization transitions occur in each system. For these transitions the exponents v ≈ 1.58 and v ≈ 1.45 were determined for systems in absence and in presence of a magnetic field, respectively. This behavior and the obtained values agree with known results, and thus no deviation from the universal behavior can be observed. / Diese Dissertation behandelt Phasenübergange im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung in topologisch ungeordneten Voronoi-Delaunay-Gittern. Die spezielle Art der Unordnung spiegelt sich u.a. in zufälligen Verknüpfungen wider, welche aufgrund der restriktiven Gitterkonstruktion miteinander korrelieren. Genauer gesagt zeigt das System eine "starke Antikorrelation", die dafür sorgt, dass langreichweitige Fluktuationen der Verknüpfungszahl unterdrückt werden. Diese Eigenschaft hat in anderen Systemen, z.B. im Ising- und Potts-Modell, zur Abweichung vom universellen Verhalten von Phasenübergängen geführt und bewirkt eine Modifikation von allgemeinen Aussagen, wie dem Harris- and Imry-Ma-Kriterium. Die Untersuchung solcher Ausnahmen dient zur Weiterentwicklung des Verständnisses von kritischen Phänomenen. Somit stellt sich die Frage, ob solche Abweichungen auch im Anderson-Modell der Lokalisierung unter Verwendung eines solchen Gitters auftreten. Dafür werden insgesamt vier Fälle, welche durch die Dimension des Gitters und durch die An- bzw. Abwesenheit eines magnetischen Feldes unterschieden werden, mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden, d.h. der Multifraktalanalyse und der rekursiven Greensfunktionsmethode, untersucht. Das Verhalten wird anhand der Existenz und Art der Phasenübergänge und anhand des kritischen Exponenten v der Lokalisierungslänge unterschieden. Für die vier Fälle lassen sich die Ergebnisse wie folgt zusammenfassen. In zweidimensionalen Systemen treten ohne Magnetfeld keine Phasenübergänge auf und alle Zustände sind infolge der topologischen Unordnung lokalisiert. Unter Einfluss des Magnetfeldes ändert sich das Verhalten. Es kommt zur Ausformung von Landau-Bändern mit sogenannten Quanten-Hall-Übergängen, bei denen ein Phasenwechsel zwischen zwei lokalisierten Bereichen auftritt. Für geringe Magnetfeldstärken stimmen die erzielten Ergebnisse mit den bekannten Exponenten v ≈ 2.6 überein. Allerdings wurde für stärkere magnetische Felder ein höherer Wert, v ≈ 2.9, ermittelt. Die Abweichungen gehen vermutlich auf die zugleich gestiegene Unordnungsstärke zurück, welche dafür sorgt, dass Elektronen zwischen verschiedenen Landau-Bändern streuen können und so nicht das kritische Verhalten eines reinen Quanten-Hall-Überganges repräsentieren. Im Gegensatz dazu ist das Verhalten in dreidimensionalen Systemen für beide Fälle ähnlich. Es treten in jedem System zwei Phasenübergänge zwischen lokalisierten und delokalisierten Bereichen auf. Für diese Übergänge wurde der Exponent v ≈ 1.58 ohne und v ≈ 1.45 unter Einfluss eines magnetischen Feldes ermittelt. Dieses Verhalten und die jeweils ermittelten Werte stimmen mit bekannten Ergebnissen überein. Eine Abweichung vom universellen Verhalten wird somit nicht beobachtet.

The dissertation covers phase transitions in the realm of the Anderson model of localization on topologically disordered Voronoi-Delaunay lattices. The disorder is given by random connections which implies correlations due to the restrictive lattice construction. Strictly speaking, the system features "strong anticorrelation", which is responsible for quenched long-range fluctuations of the coordination number. This attribute leads to violations of universal behavior in various system, e.g. Ising and Potts model, and to modifications of the Harris and the Imry-Ma criteria. In general, these exceptions serve to further understanding of critical phenomena. Hence, the question arises whether such deviations also occur in the realm of the Anderson model of localization in combination with random Voronoi-Delaunay lattice. For this purpose, four cases, which are distinguished by the spatial dimension of the systems and by the presence or absence of a magnetic field, are investigated by means of two different methods, i.e the multifractal analysis and the recursive Green function approach. The behavior is classified by the existence and type of occurring phase transitions and by the critical exponent v of the localization length. The results for the four cases can be summarized as follows. In two-dimensional systems, no phase transitions occur without a magnetic field, and all states are localized as a result of topological disorder. The behavior changes under the influence of the magnetic field. There are so-called quantum Hall transitions, which are phase changes between two localized regions. For low magnetic field strengths, the resulting exponent v ≈ 2.6 coincides with established values in literature. For higher strengths, an increased value, v ≈ 2.9, was determined. The deviations are probably caused by so-called Landau level coupling, where electrons scatter between different Landau levels. In contrast, the principle behavior in three-dimensional systems is equal in both cases. Two localization-delocalization transitions occur in each system. For these transitions the exponents v ≈ 1.58 and v ≈ 1.45 were determined for systems in absence and in presence of a magnetic field, respectively. This behavior and the obtained values agree with known results, and thus no deviation from the universal behavior can be observed.:1. Introduction 2. Random Voronoi-Delaunay lattice 2.1. Definition 2.2. Properties 2.3. Numerical construction 3. Anderson localization 3.1. Conventional Anderson transition 3.1.1. Fundamentals 3.1.2. Scaling theory of localization 3.1.3. Universality 3.2. Quantum Hall transition 3.2.1. Universality 3.3. Random Voronoi-Delaunay Hamiltonian 4. Methods 4.1. Multifractal analysis 4.1.1. Fundamentals 4.1.2. Box-size scaling 4.1.3. Partitioning scheme 4.1.4. Numerical realization 4.2. Recursive Green function approach 4.2.1. Fundamentals 4.2.2. Recursive formulation 4.2.3. Layer construction 4.3. Finite-size scaling approach 4.3.1. Scaling functions 4.3.2. Numerical determination 5. Electron behavior on 2D random Voronoi-Delaunay lattices 5.1. 2D orthogonal systems 5.2. 2D unitary systems 5.2.1. Density of states and principal behavior 5.2.2. Criticality in the lowest Landau band 5.2.3. Criticality in higher Landau bands 5.2.4. Edge states 6. Electron behavior on 3D random Voronoi-Delaunay lattices 6.1. 3D orthogonal systems 6.1.1. Pure connectivity disorder 6.1.2. Additional potential disorder 6.2. 3D unitary systems 6.2.1. Pure topological disorder 7. Conclusion Bibliography A. Appendices A.1. Quantum Hall effect on regular lattices A.1.1. Simple square lattice A.1.2. Triangular lattice A.2. Further quantum Hall transitions on 2D random Voronoi-Delaunay lattices Lebenslauf Publications / Diese Dissertation behandelt Phasenübergange im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung in topologisch ungeordneten Voronoi-Delaunay-Gittern. Die spezielle Art der Unordnung spiegelt sich u.a. in zufälligen Verknüpfungen wider, welche aufgrund der restriktiven Gitterkonstruktion miteinander korrelieren. Genauer gesagt zeigt das System eine "starke Antikorrelation", die dafür sorgt, dass langreichweitige Fluktuationen der Verknüpfungszahl unterdrückt werden. Diese Eigenschaft hat in anderen Systemen, z.B. im Ising- und Potts-Modell, zur Abweichung vom universellen Verhalten von Phasenübergängen geführt und bewirkt eine Modifikation von allgemeinen Aussagen, wie dem Harris- and Imry-Ma-Kriterium. Die Untersuchung solcher Ausnahmen dient zur Weiterentwicklung des Verständnisses von kritischen Phänomenen. Somit stellt sich die Frage, ob solche Abweichungen auch im Anderson-Modell der Lokalisierung unter Verwendung eines solchen Gitters auftreten. Dafür werden insgesamt vier Fälle, welche durch die Dimension des Gitters und durch die An- bzw. Abwesenheit eines magnetischen Feldes unterschieden werden, mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden, d.h. der Multifraktalanalyse und der rekursiven Greensfunktionsmethode, untersucht. Das Verhalten wird anhand der Existenz und Art der Phasenübergänge und anhand des kritischen Exponenten v der Lokalisierungslänge unterschieden. Für die vier Fälle lassen sich die Ergebnisse wie folgt zusammenfassen. In zweidimensionalen Systemen treten ohne Magnetfeld keine Phasenübergänge auf und alle Zustände sind infolge der topologischen Unordnung lokalisiert. Unter Einfluss des Magnetfeldes ändert sich das Verhalten. Es kommt zur Ausformung von Landau-Bändern mit sogenannten Quanten-Hall-Übergängen, bei denen ein Phasenwechsel zwischen zwei lokalisierten Bereichen auftritt. Für geringe Magnetfeldstärken stimmen die erzielten Ergebnisse mit den bekannten Exponenten v ≈ 2.6 überein. Allerdings wurde für stärkere magnetische Felder ein höherer Wert, v ≈ 2.9, ermittelt. Die Abweichungen gehen vermutlich auf die zugleich gestiegene Unordnungsstärke zurück, welche dafür sorgt, dass Elektronen zwischen verschiedenen Landau-Bändern streuen können und so nicht das kritische Verhalten eines reinen Quanten-Hall-Überganges repräsentieren. Im Gegensatz dazu ist das Verhalten in dreidimensionalen Systemen für beide Fälle ähnlich. Es treten in jedem System zwei Phasenübergänge zwischen lokalisierten und delokalisierten Bereichen auf. Für diese Übergänge wurde der Exponent v ≈ 1.58 ohne und v ≈ 1.45 unter Einfluss eines magnetischen Feldes ermittelt. Dieses Verhalten und die jeweils ermittelten Werte stimmen mit bekannten Ergebnissen überein. Eine Abweichung vom universellen Verhalten wird somit nicht beobachtet.:1. Introduction 2. Random Voronoi-Delaunay lattice 2.1. Definition 2.2. Properties 2.3. Numerical construction 3. Anderson localization 3.1. Conventional Anderson transition 3.1.1. Fundamentals 3.1.2. Scaling theory of localization 3.1.3. Universality 3.2. Quantum Hall transition 3.2.1. Universality 3.3. Random Voronoi-Delaunay Hamiltonian 4. Methods 4.1. Multifractal analysis 4.1.1. Fundamentals 4.1.2. Box-size scaling 4.1.3. Partitioning scheme 4.1.4. Numerical realization 4.2. Recursive Green function approach 4.2.1. Fundamentals 4.2.2. Recursive formulation 4.2.3. Layer construction 4.3. Finite-size scaling approach 4.3.1. Scaling functions 4.3.2. Numerical determination 5. Electron behavior on 2D random Voronoi-Delaunay lattices 5.1. 2D orthogonal systems 5.2. 2D unitary systems 5.2.1. Density of states and principal behavior 5.2.2. Criticality in the lowest Landau band 5.2.3. Criticality in higher Landau bands 5.2.4. Edge states 6. Electron behavior on 3D random Voronoi-Delaunay lattices 6.1. 3D orthogonal systems 6.1.1. Pure connectivity disorder 6.1.2. Additional potential disorder 6.2. 3D unitary systems 6.2.1. Pure topological disorder 7. Conclusion Bibliography A. Appendices A.1. Quantum Hall effect on regular lattices A.1.1. Simple square lattice A.1.2. Triangular lattice A.2. Further quantum Hall transitions on 2D random Voronoi-Delaunay lattices Lebenslauf Publications