Le travail de la thèse concerne l'étude de quelques problèmes inverses par différents approches mathématiques. Dans la première partie, nous considérons le problème inverse géométrique consistant à retrouver une fissure ou cavité(s) inconnue à partir de mesures sur le bord d'un domaine plan. Nous traitons ce problème par des techniques d'approximation rationnelle et méromorphe dans le plan complexe. Nous étudions un autre problème inverse consistant à estimer l'aire d'une cavité. Nous donnons une majoration explicite de l'aire de la cavité. Cette majoration est basée sur une estimation de croissance dans l'espace de Hardy­-Sobolev de la couronne. Nous appliquons également cette estimation pour donner la vitesse de comvergence d'un schéma d'ïnterpolation d'une fonction de l'espace de Hardy-Sobolev de la couronne. Dans la deuxième partie, nous considérons d'abord le problème inverse d'identification des paramètres de Lamé en élasticité linéaire. Nous transformons ce problème en un problème de minimisation et nous exhibons quelques exemples numériques. Nous considérons également le problème inverse d'identification d'une inclusion correspondant à une discontinuité de la conductivité. Nous utilisons la méthode du gradient topologique pour une première approximation et ensuite la méthode du gradient classique pour identifier plus précisément celles-ci. Enfin, nous étudions un problème inverse d'identification d'une inclusion en élasticité linéaire. Nous utilisons le gradient de forme pour retrouver numériquement des inclusions elliptiques. / This work concerns the study of some inverse problems by different mathematical approaches. ln the first part, we consider the geometrical inverse problem. related to the identification of an unknown crack or inclusion(s) by boundary measurements. We treat this problem by technique of rational and meromorphic approximation in the complex plane. We study another inverse problem, namely estimating the area of a cavity. We derivive an explicit upper bound on the area of the cavity. We also aplly this estimation, to find an upper bound on the rate of convergence of a recovery interpolation schema in the Hardy-Sobolev space of an annulus. ln the second part. we first consider the inverse problem of recovering the Lamé parameters in linear elasticity from boundary measurements. we perform numerical experiments. We also consider the inverse problem or identification of an inclusion corresponding to a discontinuity of the conductivity. We use the method of the topological gradient to obtain a first estimate on the location of one or several inclusions and then, we use the method of the classical gradient to identify more precisely these. Finally. in the context of shape optimization, we study the inverse problem of identification of an inclusion in linear elasticity. We calculate the shape gradient of a functional of Kohn-Vogelius type, minmax of a lagrangian with respect to the parameter of deformation. We use this gradient to numerically flnd elliptic inclusions

L’électronique de puissance nécessite des interconnexions à faible inductance et des températures de fonctionnement en dessous de certaines valeurs critiques. Les busbars laminés présentent une inductance très faible en comparaison avec les câbles. De plus, leur forme aplatie permet d’augmenter la surface d’échange avec l’environnent garantissant des bonnes performances thermiques. Dans cette thèse nous proposons une comparaison entre différentes méthodes de calcul d’inductance. Le but est d’en privilégier une en fonction de la complexité du problème à résoudre. La valeur d’inductance à calculer correspond à la boucle de commutation ayant lieu dans les convertisseurs de puissance. Des règles de conception permettant de minimiser la valeur de cette boucle sont aussi présentées. Concernant le calcul thermique, on propose une approche basée sur les éléments finis 2D. La superposition de plusieurs plaques bidimensionnelles permet de modéliser des busbars laminés de façon précise et plus rapide qu’une étude tridimensionnelle. Les conditions aux limites sont appliquées en fonction de la superposition des plaques. Grâce à la rapidité de cette approche, des optimisations topologiques peuvent être appliquées. Des algorithmes d’optimisation adaptés aux besoins industriels ont été développés pour la minimisation de l’inductance et de la température maximale des busbars. Ces algorithmes présentent de bonnes performances et sont utilisés lors des optimisations mono et multi-objectif. / Power electronics needs low inductance interconnections and operating temperatures below certain limits. Laminated busbars present low inductance compared with cables. Moreover, their flat geometry increases the heat exchange surface with the environment ensuring good thermal performances. In this PhD thesis we propose a comparison between different inductance calculation methods. The objective is to favor one according to the complexity of the problem to be solved. The inductance value is calculated during the switching loop taking place in the power converters. Several design rules are presented in order to minimize the inductance of the loop. Regarding the thermal management, we present an approach based on the 2D finite element method. The overlapping of the two-dimensional plates allows us to model the whole laminated busbar and faster way than a tridimensional study without losing precision. The boundary conditions are applied according to the overlapping between layers. Thanks to this approach, topology optimization techniques can be applied. Algorithms adapted to the industrial needs have been developed for the minimization of the inductance and the maximum temperature in busbars. These algorithms show good performances and are used in mono and multi-objective optimizations.

Cette thèse présente une étude du modèle XY bidimensionnel dans des conditions réalistes, comme la présence d'imperfections (impuretés non magnétiques) ou la taille finie du réseau. Ces deux aspects sont typiques de situations expérimentales et nécessitent un questionnement théorique. Nous avons également considéré le comportement a basse température du modèle d'Heisenberg fini et avons trouve un comportement analogue a celui du modèle XY. Nous avons utilise a la fois une approche analytique et des simulations numériques pour traiter le problème. Les résultats essentiels de ce travail sont: (a) la détermination de l'exposant de décroissance algébrique de la fonction de corrélation du modèle XY dilue, analytiquement avec l'approximation d'ondes de spins et par simulations Monte Carlo a l'aide de l'algorithme de Wolff, (b) l'estimation correspondante dans le cas du modèle d'Heisenberg sur réseau fini a basse température assortie de simulations numériques également, (c) la forme de l'interaction entre les impuretés non magnétiques et les défauts topologiques dans le cadre du modèle de Villain et dans le modèle de Kosterlitz-Thouless, et l'estimation analytique de la réduction de température critique basée sur la forme de cette interaction, (d) la détermination numérique de la distribution de probabilité de l'aimantation résiduelle sur un système fini en présence de désordre. Pour l'ensemble de nos travaux, nous avons obtenu un bon accord entre les prédictions théoriques et les simulations numériques, de même qu'avec des travaux antérieurs le cas écheant. / The thesis presents a study of the two-dimensional XY model exposed to such realistic conditions as the presence of lattice imperfections (nonmagnetic impurities) and lattice finiteness. Both features are typical for experimentally accessible magnetic materials and ask for theoretical description. We also have explored the low-temperature behaviour of a finite two-dimensional Heisenberg model and found behaviour similar to that of the 2D XY model. We have used both analytical and computer experiment approaches to tackle the problem. The essential output of the work consists of: (a) estimation of the non-universal exponent of the power law decay of the pair correlation function of a diluted 2D XY model at low temperature as a function of dilution, analytically in the spin-wave approximation, and in the Monte Carlo simulations using the Wolff algorithm; (b) analytical estimation of the corresponding exponent of the 2D Heisenberg model in the low-temperature limit for the finite lattice size and its comparison to the Monte Carlo simulations; (c) evaluation of the form of interaction between nonmagnetic impurities and topological defects within the Villain model as well as in the Kosterlitz-Thouless model, and analytical prediction of the critical temperature reduction made on the basis of this interaction; (d) Monte Carlo investigation of the form of the residual magnetization probability distribution in a finite system in presence of nonmagnetic disorder (dilution). We found all our analytical predictions in quite well agreement with the Monte Carlo simulation results as well as with other researches of the similar problems.

Texte remanié de: Habilitationsschrift--Universität Rostock, 2003. / Bibliogr. p. 177-182.

Thèse (D. en mathématiques)--Université du Québec à Montréal, 2005. / En tête du titre: Université du Québec à Montréal. Bibliogr.: f. [136]-140. Publié aussi en version électronique.

Il y a seulement une dizaine d’années que l’invariant de la complexité topologique a été défini. Il y a encore beaucoup de travail à y consacrer. Ici nous comparons algébriquement les deux invariants TC(X) et tc(X). En fait, ce qui nous motive, c’est la conjecture de leur égalité. Dans le but d’appuyer cette conjecture, nous regardons les bornes inférieures et supérieures de chacun, pour resserrer l’intervalle dans lequel ils se trouvent. Ceci nous a permis de trouver un nouveau résultat: la borne supérieure 2cat(X) de TC(X) est aussi une borne supérieure de tc(X). Ensuite, pour trois espaces nous avons calculé l’intervalle dans lequel se trouvent TC(X) et tc(X). Tous nos résultats nous incitent à dire que ces deux invariants se comportent bien de la même façon.

L'optimisation de forme topologique permet d'obtenir une grande variété de formes possibles. Ces domaines, qui peuvent être complexes, sont généralement représentés implicitement par une fonction courbe de niveaux: la densité de matière dans le cas de l'optimisation topologique par homogénéisation, une fonction courbe de niveaux dans le cas de la méthode des level-sets et le gradient topologique donné par l'expression de l'asymptotique topologique. Le dernier cas, objet de cette thèse, présente une propriété fondamentale: la positivité du gradient topologique est une condition nécessaire et même suffisante d'optimalité. Plus précisément, soit Omega un domaine borné et j(Omega) = J(u_Omega), un critère qui dépend de Omega via la solution d'un problème d'équations aux dérivées partielles noté u_Omega. Dans la plupart des cas, la variation j(Omega - B(x, epsilon)) - j(Omega) admet un développement asymptotique (par rapport à epsilon) qui s'écrit sous la forme: f(epsilon)g(x)+o(f(epsilon)), où f(epsilon) est une fonction positive qui tend vers 0 avec epsilon. Ainsi, pour minimiser le critère, il faut créer des trous là où la fonction $g$, appelée gradient topologique, est négative. De telles formules asymptotiques ont été déjà établies pour divers problèmes. Dans cette thèse, les principaux points abordés sont: l'insertion d'une inhomogénéité dans le domaine, le cas d'opérateurs différentiels dont le symbole est non homogène (Helmholtz, Maxwell), trou de forme quelconque et le cas d'un trou sur le bord du domaine. Les résultats obtenues sont validés par des tests numériques comme par exemple l'optimisation des guides d'onde.

Le document comporte quatre thèmes de recherche: 1. Méthode de la dérivée topologique en optimisation de formes 2. Convexité en dimension infinie 3. Inégalité de Wente pour l'opérateur de Helmholtz modifié 4. Théorie du point fixe et applications

La modélisation des systèmes mécatroniques nécessite le même type de méthodologie pour la conception et le prototypage de dispositifs mécatroniques. Une ingénierie unifiée et intégrée doit être déployée. Diverses approches sont actuellement proposées pour atteindre de la modélisation multi-physique comme la théorie des graphes, les approches équationnelles ou les techniques. Dans ce contexte, l’objectif de nos travaux de recherche est la conception d'une méthodologie appliquée aux modèles dynamiques multi-physiques à topologie dynamique. Pour une telle contribution, il est nécessaire de partir d’une approche existante. Cette approche porte sur la modélisation topologique puisqu’elle est basée sur les collections topologiques et les transformations. Cette approche topologique est utilisée pour modéliser les systèmes mécatroniques.Son point fort est la séparation de la topologie (loi d'interconnexion) et la loi de comportement (physique) qui permet la simplification de la modélisation de systèmes complexes que l'on peut décrire comme un ensemble d'interactions locales entre entités élémentaires. La thèse propose donc une nouvelle méthodologie nommée 4Mo(DS)2 qui se rapporte à la modélisation multi-niveaux, multi-domaines et multi-physiques basée sur des systèmes dynamiques qui ont des structures dynamiques. Cette méthodologie permet la modélisation topologique des modèles dynamiques multi-physiques à topologie dynamique pendant la phase de conception tout en prenant en compte les modifications topologiques, le contrôle et commande ainsi que l’intégration de la dimension deux dans leur structure topologique. / Mechatronic systems modelling requires the same type of methodology for the design and prototyping of mechatronic devices. Unified and integrated engineering must be deployed. Various approaches are currently proposed to achieve multi-physics modeling such as graph theory, equational approaches or techniques. In this context, the objective of our research work is the design of a methodology applied to dynamic multi-physical models with dynamic topology. For such a contribution, it is necessary to start from an existing approach. This approach focuses on topological modelling since it is based on topological collections and transformations. This topological approach is used to model mechatronic systems.Its strong point is the separation of topology (interconnection law) and behavior law (physical) which allows the simplification of the modeling of complex systems that can be described as a set of local interactions between elementary entities. The thesis therefore proposes a new methodology named 4Mo(DS)2 which relates to multilevel, multi-physical and multi-domain modeling based on dynamic systems that have dynamic structures. This methodology allows the topological modeling of dynamic multi-physical dynamic topology models during the design phase while taking into account topological modifications, control and command as well as the integration of dimension two into their topological structure.

Durant la phase haploïde de la spermatogénèse (spermiogenèse), les nucléohistones sont remplacées par des protéines hautement basiques, les protamines. Chez les mammifères, ce processus de transition est engendré par l'apparition de protéines nucléaires abondantes dites"de transition" (TP). Les protéines de transition assureraient conséquemment une condensation importante du génome haploïde, entraînant un remodelage majeur de la chromatine de type somatique et une inactivation des enzymes impliqués dans le métabolisme de l'ADN. L'intégrité du processus de restructuration de la chromatine est maintenant considérée comme un déterminant essentiel de la fertilité chez l'homme. TP1, une des protéines de transition majeure de la spermiogenèse, est une protéine de 6 KDa riche en résidus basiques et possédant une activité déstabilisatrice de l'ADN. La protéine de transition majeure TP2, quant à elle, est une protéine basique de 13 KDa comprenant deux structures en"doigts à zinc" situées dans sa partie N-terminale. Au contraire de TP1, TP2 est caractérisée par son potentiel stabilisateur de l'ADN. Notre objectif initial était de déterminer les propriétés structurales de liaison à l'ADN des protéines TP1 et TP2."--Résumé abrégé par UMI.