Ziel der Arbeit war die systematische theoretische Behandlung von Gemischen aus bosonischen und fermionischen Atomen in einem Parameterbereich, der sich zur Beschreibung von aktuellen Experimenten mit ultra-kalten atomaren Gasen eignet.<br /> <br /> Zuerst wurde der Formalismus der Quantenfeldtheorie auf homogene, atomare Boson-Fermion Gemische erweitert, um grundlegende Größen wie Quasiteilchenspektren, die Grundzustandsenergie und daraus abgeleitete Größen über die Molekularfeldtheorie hinaus zu berechnen.<br /> <br /> Unter Zuhilfenahme der dieser Resultate System wurde ein Boson-Fermion Gemisch in einem Fallenpotential im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie beschrieben. Daraus konnten die Dichteprofile ermittelt werden und es ließen sich drei Bereiche im Phasendiagramm identifizieren: <br /> (i) ein Bereich eines stabilen Gemisches,<br /> (ii) ein Bereich, in dem die Spezies entmischt sind und <br /> (iii) ein Bereich, in dem das System kollabiert.<br /> <br /> Im letzten dieser drei Fällen waren Austausch--Korrelationseffekte signifikant. Weiterhin wurde die Änderung der kritischen Temperatur der Bose-Einstein-Kondensation aufgrund der Boson-Fermion-Wechselwirkung berechnet. Verursacht wird dieser Effekt von Dichtumverteilungen aufgrund der Wechselwirkung.<br /> <br /> Dann wurden Boson-Fermion Gemische in optischen Gittern betrachtet. Ein Stabilitätskriterium gegen Phasenentmischung wurde gefunden und es ließen sich Bedingungen für einen supraflüssig zu Mott-isolations Phasenübergang angeben. Diese wurden sowohl mittels einer Molekularfeldrechnung als auch numerisch im Rahmen eines Gutzwilleransatzes gefunden. Es wurden weiterhin neuartige frustrierte Grundzustände im Fall von sehr großen Gitterstärken gefunden. / The theory of atomic Boson-Fermion mixtures in the dilute limit beyond mean-field is considered in this thesis.<br /> Extending the formalism of quantum field theory we derived expressions for the quasi-particle excitation spectra, the ground state energy, and related quantities for a homogenous system to first order in the dilute gas parameter.<br /> <br /> In the framework of density functional theory we could carry over the previous results to inhomogeneous systems. We then determined to density distributions for various parameter values and identified three different phase regions: <br /> (i) a stable mixed regime, <br /> (ii) a phase separated regime, and <br /> (iii) a collapsed regime. <br /> <br /> We found a significant contribution of exchange-correlation effects in the latter case. Next, we determined the shift of the Bose-Einstein condensation temperature caused by Boson-Fermion interactions in a harmonic trap due to redistribution of the density profiles.<br /> <br /> We then considered Boson-Fermion mixtures in optical lattices. We calculated the criterion for stability against phase separation, identified the Mott-insulating and superfluid regimes both, analytically within a mean-field calculation, and numerically by virtue of a Gutzwiller Ansatz. We also found new frustrated ground states in the limit of very strong lattices. <br><br>----<br>Anmerkung:<br> Der Autor ist Träger des durch die Physikalische Gesellschaft zu Berlin vergebenen Carl-Ramsauer-Preises 2004 für die jeweils beste Dissertation der vier Universitäten Freie Universität Berlin, Humboldt-Universität zu Berlin, Technische Universität Berlin und Universität Potsdam.

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Dynamik von Gasen aus hoch angeregten Atomen. Es wird sowohl die Erzeugung von Rydberggasen, als auch ihre Dynamik nach der Laser-Anregung betrachtet. Zur Beschreibung des Anregungsprozesses wird ein quasi-klassischer Zugang verwendet. Er basiert auf der adiabatischen Eliminierung von Kohärenzen aus der vollen Quanten-Beschreibung und führt auf eine klassische Mastergleichung. Diese Näherung ist gerade für typische experimentelle Situationen durchführbar. Die klassische Mastergleichung kann durch ein simples Monte-Carlo-Verfahren für Systeme aus zehntausenden von Teilchen unter voller Berücksichtigung der Rydberg-Rydberg-Wechselwirkung gelöst werden. Mit Hilfe des Monte-Carlo-Verfahrens wird die Anregung von Rydbergatomen in einem ultrakalten Gas untersucht. Die in Experimenten gefundene Anregungsblockade wird durch die Methode gut beschrieben. Bei der Anregung von Rydbergatomen aus einem optischen Gitter wird sogar eine Anregungsverstärkung - eine Antiblockade - vorhergesagt. Die Antiblockade in einem Gitter erlaubt eine Charakterisierung räumlicher Korrelationen der Rydbergatome allein durch die Messung ihrer Dichte. Sie ist robust gegenüber Gitterfehlstellen und sollte mit heutigen experimentellen Techniken nachweisbar sein. Für die Anregung im ungeordneten Gas wird gezeigt, dass sich die räumlichen Korrelationen der Rydbergatome indirekt in den Momenten der Häufigkeitsverteilung angeregter Atome widerspiegeln. Durch die Untersuchung der Fluktuationen in der Zahl angeregter Atome lassen sich die Unterschiede in den Paarkorrelationsfunktionen bei Blockade und Antiblockade im Gas messen. Ein Vergleich mit experimentellen Daten zeigt eine qualitativ gute Übereinstimmung. Für die Dynamik des Rydberggases nach dem Abschalten der Anregungslaser ist der Fall besonders interessant, dass Atome in unterschiedlichen Rydbergzuständen resonant ihre Anregungsenergie austauschen können. In der Arbeit wird argumentiert, dass sich der räumliche Transfer von Anregungsenergie in Rydbergsystemen ohne störende Umgebungseinflüsse gezielt untersuchen lässt. Mit Hilfe der Frenkelschen Exziton-Theorie wird der Energietransfer entlang einer eindimensionalen Anordnung von Rydbergatomen untersucht. Zusätzlich wird dargelegt, dass die exzitonische Anregung auch mechanische Kräfte auf die Rydbergatome induziert. Diese werden mit Hilfe einer quanten-klassischen Methode analysiert. Der Zusammenhang der auftretenden Kräfte mit den Symmetrien der exzitonischen Eigenfunktionen wird aufgezeigt. In einer eindimensionalen Anordnung von Rydbergatomen wird ein adiabatischer Energietransfer vorhergesagt, der an die Bewegung der Atome gebunden ist. Er läuft vollständig auf einer einzigen adiabatischen Potentialfläche ab. Dieser Transport ist langsam genug, um mit heutigen experimentellen Methoden im Prinzip orts- und zeitaufgelöst abgebildet zu werden.

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Dynamik von Gasen aus hoch angeregten Atomen. Es wird sowohl die Erzeugung von Rydberggasen, als auch ihre Dynamik nach der Laser-Anregung betrachtet. Zur Beschreibung des Anregungsprozesses wird ein quasi-klassischer Zugang verwendet. Er basiert auf der adiabatischen Eliminierung von Kohärenzen aus der vollen Quanten-Beschreibung und führt auf eine klassische Mastergleichung. Diese Näherung ist gerade für typische experimentelle Situationen durchführbar. Die klassische Mastergleichung kann durch ein simples Monte-Carlo-Verfahren für Systeme aus zehntausenden von Teilchen unter voller Berücksichtigung der Rydberg-Rydberg-Wechselwirkung gelöst werden. Mit Hilfe des Monte-Carlo-Verfahrens wird die Anregung von Rydbergatomen in einem ultrakalten Gas untersucht. Die in Experimenten gefundene Anregungsblockade wird durch die Methode gut beschrieben. Bei der Anregung von Rydbergatomen aus einem optischen Gitter wird sogar eine Anregungsverstärkung - eine Antiblockade - vorhergesagt. Die Antiblockade in einem Gitter erlaubt eine Charakterisierung räumlicher Korrelationen der Rydbergatome allein durch die Messung ihrer Dichte. Sie ist robust gegenüber Gitterfehlstellen und sollte mit heutigen experimentellen Techniken nachweisbar sein. Für die Anregung im ungeordneten Gas wird gezeigt, dass sich die räumlichen Korrelationen der Rydbergatome indirekt in den Momenten der Häufigkeitsverteilung angeregter Atome widerspiegeln. Durch die Untersuchung der Fluktuationen in der Zahl angeregter Atome lassen sich die Unterschiede in den Paarkorrelationsfunktionen bei Blockade und Antiblockade im Gas messen. Ein Vergleich mit experimentellen Daten zeigt eine qualitativ gute Übereinstimmung. Für die Dynamik des Rydberggases nach dem Abschalten der Anregungslaser ist der Fall besonders interessant, dass Atome in unterschiedlichen Rydbergzuständen resonant ihre Anregungsenergie austauschen können. In der Arbeit wird argumentiert, dass sich der räumliche Transfer von Anregungsenergie in Rydbergsystemen ohne störende Umgebungseinflüsse gezielt untersuchen lässt. Mit Hilfe der Frenkelschen Exziton-Theorie wird der Energietransfer entlang einer eindimensionalen Anordnung von Rydbergatomen untersucht. Zusätzlich wird dargelegt, dass die exzitonische Anregung auch mechanische Kräfte auf die Rydbergatome induziert. Diese werden mit Hilfe einer quanten-klassischen Methode analysiert. Der Zusammenhang der auftretenden Kräfte mit den Symmetrien der exzitonischen Eigenfunktionen wird aufgezeigt. In einer eindimensionalen Anordnung von Rydbergatomen wird ein adiabatischer Energietransfer vorhergesagt, der an die Bewegung der Atome gebunden ist. Er läuft vollständig auf einer einzigen adiabatischen Potentialfläche ab. Dieser Transport ist langsam genug, um mit heutigen experimentellen Methoden im Prinzip orts- und zeitaufgelöst abgebildet zu werden.

The present thesis is devoted to quantum simulation of strongly interacting systems of ultra-cold atoms in optical lattices. It is a theoretical work which focuses on the possibility to employ strong time-periodic forcing for the coherent control of these system. This form of quantum engineering is called Floquet engineering. Experimentally, time-periodic forcing has been successfully applied to realize a variety of physical models and phenomena, especially in the regime of weak interactions. We describe two novel proposals for interesting phenomena in the regime of strong interactions that rely on lattice shaking: melting of a Mott-insulator into an excited-state superfluid via coherent coupling of Bloch bands and the creation of 1D lattice anyons. Furthermore, the role of multiphoton excitations in a driven lattice is analyzed since these processes can lead to unwanted heating and thereby impeding of successful Floquet engineering in the experiment. The introductory Chapter 1 gives an overview over the field of quantum simulations with ultra-cold atoms in optical lattices and describes the experimental progress that has been made in the recent years. In Chapter 2, Floquet theory is reviewed, which provides an excellent framework to deal with time-periodic Hamiltonians and which is the basis of the analysis presented in the following chapters. Chapter 3 deals with the proposal of coherently coupling Bloch bands of an optical lattice via resonant lattice shaking. In particular, the orbital-driven phase transition from a Mott insulating to a superfluid ground state is described in detail. In Chapter 4, a proposal of realizing 1D lattice anyons from strongly interacting bosons in a shaken and tilted lattice is worked out. Furthermore, Friedel oscillations are proposed to provide a measurable real-space signature for the anyonization. Finally, in Chapter 5 multiphoton excitations to higher Bloch bands are analyzed for the cases of a shaken and an amplitude-modulated lattice. The strength and the location of resonances, which are associated with heating, are described theoretically and numerically. / Die vorliegende Arbeit behandelt Quantensimulationen von stark wechselwirkenden Systemen ultrakalter Atome in optischen Gittern. Dabei fokussiert sich diese theoretische Arbeit auf die Möglichkeit, diese Systeme mit Hilfe eines hochfrequenten Antriebs kohärent zu kontrollieren. Diese Form des Quantenengineering nennt man Floquet-Engineering. Experimentell wurden mit Hilfe eines zeitperiodischen Antriebs des optischen Gitters bereits viele physikalische Phänomene und Modelle realisiert, insbesondere im Bereich geringer Wechselwirkungen. Hier beschreiben wir zwei neue Vorschläge für interessante Phänomene im Bereich starker Wechselwirkungen, welche durch zeitperiodisches Gitterschütteln ermöglicht werden: Das Schmelzen eines Mott-Isolators in einen angeregte suprafluiden Zustand durch kohärentes Koppeln von Bloch-Bändern, sowie die Erzeugung von eindimensionalen Gitter-Anyonen. Außerdem wird die Rolle von Multiphoton-Übergängen in angetriebenen Gittern untersucht, da diese Prozesse zu ungewolltem Heizen und damit zur Verhinderung von erfolgreichem Floquet-Engineering führen können. Das einleitende Kapitel 1 gibt einen Überblick über das Feld der Quantensimulationen mit ultrakalten Atomen und beschreibt den experimentellen Fortschritt der letzten Jahre auf diesem Gebiet. In Kapitel 2 wird die Floquet-Theorie eingeführt, die einen exzellenten Rahmen dafür bietet zeitperiodische Hamiltonians zu behandeln und die Grundlage für die folgenden Kapitel ist. Kapitel 3 stellt den Vorschlag vor, Bloch-Bänder in optischen Gittern durch das Schütteln des Gitters kohärent miteinander zu koppeln. Insbesondere wird im Detail gezeigt, wie dieses Bandkoppeln zu einem orbital getriebenen Phasenübergang von einem Mott-Isolator zu einem Suprafluid führen kann. In Kapitel 4 wird der Vorschlag erläutert, wie eindimensionale Anyonen durch stark wechselwirkende Bosonen erzeugt werden können, indem das Gitter gekippt und geschüttelt wird. Außerdem wird vorgeschlagen, Friedel-Oszillationen im Ortsraum als im Experiment messbare Signatur für die Anyonisierung zu nutzen. Schließlich werden in Kapitel 5 Multiphoton-Übergänge in höhere Bloch-Bänder untersucht, im Falle eines geschüttelten und eines Amplitudenmodulierten Gitters. Die Stärke und die Lage der Resonanzen, welche zu Heizen führen, werden hierbei theoretisch und numerisch beschrieben.

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

The present thesis is devoted to quantum simulation of strongly interacting systems of ultra-cold atoms in optical lattices. It is a theoretical work which focuses on the possibility to employ strong time-periodic forcing for the coherent control of these system. This form of quantum engineering is called Floquet engineering. Experimentally, time-periodic forcing has been successfully applied to realize a variety of physical models and phenomena, especially in the regime of weak interactions. We describe two novel proposals for interesting phenomena in the regime of strong interactions that rely on lattice shaking: melting of a Mott-insulator into an excited-state superfluid via coherent coupling of Bloch bands and the creation of 1D lattice anyons. Furthermore, the role of multiphoton excitations in a driven lattice is analyzed since these processes can lead to unwanted heating and thereby impeding of successful Floquet engineering in the experiment. The introductory Chapter 1 gives an overview over the field of quantum simulations with ultra-cold atoms in optical lattices and describes the experimental progress that has been made in the recent years. In Chapter 2, Floquet theory is reviewed, which provides an excellent framework to deal with time-periodic Hamiltonians and which is the basis of the analysis presented in the following chapters. Chapter 3 deals with the proposal of coherently coupling Bloch bands of an optical lattice via resonant lattice shaking. In particular, the orbital-driven phase transition from a Mott insulating to a superfluid ground state is described in detail. In Chapter 4, a proposal of realizing 1D lattice anyons from strongly interacting bosons in a shaken and tilted lattice is worked out. Furthermore, Friedel oscillations are proposed to provide a measurable real-space signature for the anyonization. Finally, in Chapter 5 multiphoton excitations to higher Bloch bands are analyzed for the cases of a shaken and an amplitude-modulated lattice. The strength and the location of resonances, which are associated with heating, are described theoretically and numerically. / Die vorliegende Arbeit behandelt Quantensimulationen von stark wechselwirkenden Systemen ultrakalter Atome in optischen Gittern. Dabei fokussiert sich diese theoretische Arbeit auf die Möglichkeit, diese Systeme mit Hilfe eines hochfrequenten Antriebs kohärent zu kontrollieren. Diese Form des Quantenengineering nennt man Floquet-Engineering. Experimentell wurden mit Hilfe eines zeitperiodischen Antriebs des optischen Gitters bereits viele physikalische Phänomene und Modelle realisiert, insbesondere im Bereich geringer Wechselwirkungen. Hier beschreiben wir zwei neue Vorschläge für interessante Phänomene im Bereich starker Wechselwirkungen, welche durch zeitperiodisches Gitterschütteln ermöglicht werden: Das Schmelzen eines Mott-Isolators in einen angeregte suprafluiden Zustand durch kohärentes Koppeln von Bloch-Bändern, sowie die Erzeugung von eindimensionalen Gitter-Anyonen. Außerdem wird die Rolle von Multiphoton-Übergängen in angetriebenen Gittern untersucht, da diese Prozesse zu ungewolltem Heizen und damit zur Verhinderung von erfolgreichem Floquet-Engineering führen können. Das einleitende Kapitel 1 gibt einen Überblick über das Feld der Quantensimulationen mit ultrakalten Atomen und beschreibt den experimentellen Fortschritt der letzten Jahre auf diesem Gebiet. In Kapitel 2 wird die Floquet-Theorie eingeführt, die einen exzellenten Rahmen dafür bietet zeitperiodische Hamiltonians zu behandeln und die Grundlage für die folgenden Kapitel ist. Kapitel 3 stellt den Vorschlag vor, Bloch-Bänder in optischen Gittern durch das Schütteln des Gitters kohärent miteinander zu koppeln. Insbesondere wird im Detail gezeigt, wie dieses Bandkoppeln zu einem orbital getriebenen Phasenübergang von einem Mott-Isolator zu einem Suprafluid führen kann. In Kapitel 4 wird der Vorschlag erläutert, wie eindimensionale Anyonen durch stark wechselwirkende Bosonen erzeugt werden können, indem das Gitter gekippt und geschüttelt wird. Außerdem wird vorgeschlagen, Friedel-Oszillationen im Ortsraum als im Experiment messbare Signatur für die Anyonisierung zu nutzen. Schließlich werden in Kapitel 5 Multiphoton-Übergänge in höhere Bloch-Bänder untersucht, im Falle eines geschüttelten und eines Amplitudenmodulierten Gitters. Die Stärke und die Lage der Resonanzen, welche zu Heizen führen, werden hierbei theoretisch und numerisch beschrieben.

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

Diese Dissertation widmet sich der theoretischen Beschreibung ultrakalter Atome in einem optischen Einschluss. Das Hauptaugenmerk liegt hierbei auf inelastischen Resonanzen, die durch die Kopplung von Schwerpunkts- und Relativbewegung durch Anharmonizitäten im externen Potenzial Zustande kommen, der Entwicklung einer Methode zur theoretischen Beschreibung von ultrakalten Wenigteilchensystemen in einem vielseitigen Einschlusspotenzial und der Quantensimulation von Attosekundenphysik mit ultrakalten Atomen. / This thesis aims for a theoretical description of ultracold trapped atoms. The main focus are resonance phenomena due to the coupling of center-of-mass and relative motion, the development of a theoretical approach to treat ultracold few-body systems in versatile trap potentials, and the quantum simulation of attosecond physics with ultracold atoms.