Cette thèse porte sur l'étude des dépendance entre risques, à l'aide des copules. La prise en compte des dépendances qui peuvent exister entre risques est devenue cruciale pour les gestionnaires de risques, et les enjeux peuvent être colossaux (risque de contagion – et de faillites en chaîne - au sein d'un portefeuille d'obligations risquées, ou corrélations entre risques extrêmes en réassurance – ou plusieurs risques a priori indépendants sont affectés lorsqu'une catastrophe survient). Une meilleure connaissance des structures de dépendance est alors fondamentale afin de proposer une modélisation adéquate. Aussi, l'accent est mis, dans cette thèse, sur la déformation des copules en fonction du temps, ou dans les queues de distribution.<br /><br />La première partie est consacrée à la déformation temporelle des copules, dans un contexte de risque de crédit. En introduisant les copules conditionnelles, il est ainsi possible d'étudier la dépendance entre les durées de vie avant le défaut d'un émetteur, sachant qu'aucun défaut n'a été observé pendant une période de temps donnée. Des théorèmes de point fixe permettent d'obtenir des comportement limites, et d'obtenir des résultats sur les first-to-default, par exemple.<br /><br />Les chapitres suivant traitent de l'utilisation des copules conditionnelles dans la modélisation des risques extrêmes. La théorie des extrêmes dans un cadre multivarié a été faite traditionnellement en modélisant les maximas par composantes. Mais l'étude par dépassement de seuil joint offre une richesse beaucoup plus grande. En particulier, l'étude dans la queue supérieure et inférieure est présentée dans le cas des copules Archimédiennes, en insistant sur les caractérisations des cas d'indépendance asymptotique, d'ordinaire si difficile à appréhender.<br /><br />La dernière partie aborde l'estimation nonparamétrique des densités de copules, où des estimateurs à noyaux sont étudiés, permettant d'éviter des effets de bords traditionnellement inévitable lorsque l'on estime une densité à support compact. En particulier, les techniques sont utilisées pour estimer correctement la densité dans les queues de distributions, y compris avec des données censurées.<br /><br />Enfin, une bijgevoegde stelling conclue cette thèse sur l'étude de la dépendance temporelle pour les risques climatiques. Des modèles à mémoire longue sont ainsi utilisé pour modéliser le risque de tempête et estimer la période de retour de la canicule d'août 2003. Et enfin, des modèles haute-fréquences (proches de ceux utilisé en finance pour modéliser les prix de titres transaction par transaction) sont utilisés pour modéliser des données hydrologiques, et proposer de nouvelles estimations pour le risque de crue.

Cette thèse se place dans le cadre de la Statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. L'estimation des quantiles extrêmes se fait dans la littérature en deux étapes. La première étape consiste à utiliser une approximation des quantiles basée sur la théorie des valeurs extrêmes. La deuxième étape consiste à estimer les paramètres inconnus de l'approximation en question, et ce en utilisant les valeurs les plus grandes du jeu de données. Cette décomposition mène à deux erreurs de nature différente, la première étant une erreur systémique de modèle, dite d'approximation ou encore d'extrapolation, la seconde consituant une erreur d'estimation aléatoire. La première contribution de cette thèse est l'étude théorique de cette erreur d'extrapolation mal connue.Cette étude est menée pour deux types d'estimateur différents, tous deux cas particuliers de l'approximation dite de la "loi de Pareto généralisée" : l'estimateur Exponential Tail dédié au domaine d'attraction de Gumbel et l'estimateur de Weissman dédié à celui de Fréchet.Nous montrons alors que l'erreur en question peut s'interpréter comme un reste d'ordre un d'un développement de Taylor. Des conditions nécessaires et suffisantes sont alors établies de telle sorte que l'erreur tende vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. De manière originale, ces conditions mènent à une division du domaine d'attraction de Gumbel en trois parties distinctes. En comparaison, l'erreur d'extrapolation associée à l'estimateur de Weissman présente un comportement unifié sur tout le domaine d'attraction de Fréchet. Des équivalents de l'erreur sont fournis et leur comportement est illustré numériquement. La deuxième contribution est la proposition d'un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Le problème est abordé dans le cadre du modèle ``log Weibull-tail'' généralisé, où le logarithme de l'inverse du taux de hasard cumulé est supposé à variation régulière étendue. Après une discussion sur les conséquences de cette hypothèse, nous proposons un nouvel estimateur des quantiles extrêmes basé sur ce modèle. La normalité asymptotique dudit estimateur est alors établie et son comportement en pratique est évalué sur données réelles et simulées.La troisième contribution de cette thèse est la proposition d'outils permettant en pratique de quantifier les limites d'extrapolation d'un jeu de données. Dans cette optique, nous commençons par proposer des estimateurs des erreurs d'extrapolation associées aux approximations Exponential Tail et Weissman. Après avoir évalué les performances de ces estimateurs sur données simulées, nous estimons les limites d'extrapolation associées à deux jeux de données réelles constitués de mesures journalières de variables environnementales. Dépendant de l'aléa climatique considéré, nous montrons que ces limites sont plus ou moins contraignantes. / This thesis takes place in the extreme value statistics framework. It provides three main contributions to this area. The extreme quantile estimation is a two step approach. First, it consists in proposing an extreme value based quantile approximation. Then, estimators of the unknown quantities are plugged in the previous approximation leading to an extreme quantile estimator.The first contribution of this thesis is the study of this previous approximation error. These investigations are carried out using two different kind of estimators, both based on the well-known Generalized Pareto approximation: the Exponential Tail estimator dedicated to the Gumbel maximum domain of attraction and the Weissman estimator dedicated to the Fréchet one.It is shown that the extrapolation error can be interpreted as the remainder of a first order Taylor expansion. Necessary and sufficient conditions are then provided such that this error tends to zero as the sample size increases. Interestingly, in case of the so-called Exponential Tail estimator, these conditions lead to a subdivision of Gumbel maximum domain of attraction into three subsets. In constrast, the extrapolation error associated with Weissmanestimator has a common behavior over the whole Fréchet maximum domain of attraction. First order equivalents of the extrapolation error are thenderived and their accuracy is illustrated numerically.The second contribution is the proposition of a new extreme quantile estimator.The problem is addressed in the framework of the so-called ``log-Generalized Weibull tail limit'', where the logarithm of the inverse cumulative hazard rate function is supposed to be of extended regular variation. Based on this model, a new estimator of extreme quantiles is proposed. Its asymptotic normality is established and its behavior in practice is illustrated on both real and simulated data.The third contribution of this thesis is the proposition of new mathematical tools allowing the quantification of extrapolation limits associated with a real dataset. To this end, we propose estimators of extrapolation errors associated with the Exponentail Tail and the Weissman approximations. We then study on simulated data how these two estimators perform. We finally use these estimators on real datasets to show that, depending on the climatic phenomena,the extrapolation limits can be more or less stringent.

Cette thèse a pour objectif d’explorer plusieurs approches pour traiter des comportements extrêmes. Nous commençons par définir une nouvelle classe M de fonctions positives et mesurables à support R^+ ayant un comportement asymptotique polynomial, strictement plus grande que la classe de fonctions à variation régulière (RV). Les fonctions U∊M sont identifiées à un indice réel, appelé le M -indice de U, correspondant à l’indice de RV si U est RV. Nous démontrons des propriétés algébriques et analytiques, ainsi que plusieurs caractérisations de M. Nous pouvons étendre M et certaines de ses propriétés à deux classes, M_∞ et M_(-∞), ensembles de fonctions dont le comportement asymptotique est de type e^x et e^(-x) respectivement. Nous généralisons également le théorème de Karamata et le théorème Taubérien de Karamata à M, et mettons en relation le domaine d’attraction de Fréchet et M, ainsi que celui de Gumbel et M_(-∞). Nous pouvons proposer une preuve unifiée des théorèmes Taubériens de type exponentiel donnés par Kohlbecker, de Bruijn, et Kasahara, en utilisant une caractérisation de M. La seconde partie de la thèse traite d’une part de l’analyse empirique des avantages économiques générées par le partenariat de Swiss Life France avec un organisme tiers, révélant des relations non linéaires entre les variables impliquées dans l’étude; d’autre part de l’analyse empirique des relations entre les risques de mortalité et de marché mettant en évidence une dépendance faible entre ces extrêmes. Dans la dernière partie de la thèse, nous proposons un nouveau modèle relationnel à risque accéléré, intégré dans une régression de Poisson, montrant un excellent ajustement aux données réelles. / The main objective of this thesis is to explore several approaches to deal with extreme behaviors. We start defining a new class M of positive and measurable functions with support R^+ and polynomial asymptotic tail behavior, strictly larger than the class of regularly varying (RV) functions. The functions U∊M are identified by a real index, called the M-index of U, which corresponds to the RV index when U is RV. Algebraic and analytic properties and characterizations of M are given. M is extended into two classes, called M_∞ and M_(-∞), of which functions have exponential asymptotic tail behaviors of the types e^x and e^(-x) respectively. Properties satisfied on M also hold on those classes. Extensions on M of Karamata’s theorem and Karamata’s Tauberian theorem are given. Relations between the domain of attraction of Fréchet and M, as well as that of Gumbel and M_(-∞) are provided. Using a characterization of M, a unified proof of the Tauberian theorems of exponential type given by Kohlbecker, de Bruijn, and Kasahara is given. The second part of the thesis presents on one hand an empirical analysis on the economic benefits generated by the partnership of Swiss Life France with a third-party organization revealing non-linear relations between variables involved in the study; on the other hand, an empirical study on relations between mortality and market risks provides evidence of weak dependence between these extremes. The last part of the thesis presents an accelerated hazard relational model, embedded in a Poisson regression framework, showing an excellent fit to real data.

Cette thèse se décompose en quatre parties auxquelles s'ajoute une présentation. Dans un premier temps, on expose les outils mathématiques essentiels à la compréhension des prochains chapitres. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à la régression non paramétrique locale pour des données fonctionnelles appartenant à un espace de Hilbert. On propose, tout d'abord, un estimateur de l'opérateur de régression. La construction de cet estimateur est liée à la résolution d'un problème inverse linéaire. On établit des bornes de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur de l'opérateur de régression en utilisant une décomposition classique. Cette EQM dépend de la fonction de petite boule de probabilité du régresseur au sujet de laquelle des hypothèses de type Gamma-variation sont posées. Dans le chapitre suivant, on reprend le travail élaboré dans le précédent chapitre en se plaçant dans le cadre de données fonctionnelles appartenant à un espace semi-normé. On établit des bornes de l'EQM de l'estimateur de l'opérateur de régression. Cette EQM peut être vue comme une fonction de la fonction de petite boule de probabilité. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse à l'estimation de la fonction auxiliaire associée à la fonction de petite boule de probabilité. D'abord, on propose un estimateur de cette fonction auxiliare. Ensuite, on établit la convergence en moyenne quadratique et la normalité asymptotique de cet estimateur. Enfin, par des simulations, on étudie le comportement de de cet estimateur au voisinage de zéro. / This thesis is divided in four sections with an additionnal presentation. In the first section, We expose the essential mathematics skills for the comprehension of the next sections. In the second section, we adress the problem of local non parametric with functional inputs. First, we propose an estimator of the unknown regression function. The construction of this estimator is related to the resolution of a linear inverse problem. Using a classical method of decomposition, we establish a bound for the mean square error (MSE). This bound depends on the small ball probability of the regressor which is assumed to belong to the class of Gamma varying functions. In the third section, we take again the work done in the preceding section by being situated in the frame of data belonging to a semi-normed space with infinite dimension. We establish bound for the MSE of the regression operator. This MSE can be seen as a function of the small ball probability function. In the last section, we interest to the estimation of the auxiliary function. Then, we establish the convergence in mean square and the asymptotic normality of the estimator. At last, by simulations, we study the bahavour of this estimator in a neighborhood of zero.