Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d'un paramètre ε et étu- dions l'asymptotique des solutions lorsque ce paramètre tend vers 0. Le premier problème est lié à l'équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non captif ne satisfaisant pas l'hypothèse de refocalisation des rayons introduite par F. Castella. On montre que l'ensemble des tra jectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l'origine et qui reviennent en 0 forme une sous-variété de dimension d − 1, où d est la dimension de l'espace. On montre alors que la solution de l'équation de Helmholtz converge vers une perturbation de la solution de Helmholtz avec condition de radiation à l'infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcée par une source po- larisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu'on la perturbe à l'instant initial. On construit une solution approchée du pro- blème à l'aide d'une couche limite à l'instant initial (t=0). Ce développement montre en particulier que des interactions d'ondes, se propageant à des échelles différentes, peuvent se traduire au niveau macroscopique par une augmentation de la viscosité. Enfin, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l'aide de méthodes d'énergie.

WKB procedure is used in the study of asymptotic solutions of differential equations of the hypergeometric type. Hence asymptotic forms of classical orthogonal polynomials associated with the names Jacobi, Laguerre and Hermite have been derived. In particular, the asymptotic expansion of the Jacobi polynomials $P^{(alpha, beta)}_n(x)$ as $n$ tends to infinity is emphasized.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第19471号 / 理博第4131号 / 新制||理||1594(附属図書館) / 32507 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 竹井 義次, 教授 岡本 久, 教授 小野 薫 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

L'instabilité du spectre des opérateurs non-autoadjoints constitue la thématique centrale de cette thèse. Notre premier objectif est de mettre en évidence ce phénomène dans le cas de certains modèles naturels tels que l'opérateur d'Airy, l'oscillateur harmonique ou l'oscillateur cubique complexes. Dans ce but, nous nous intéressons au comportement des projecteurs spectraux associés aux valeurs propres de ces opérateurs, poursuivant une démarche initiée par E. B. Davies. Le second objectif de notre travail consiste à montrer de quelle manière ces modèles peuvent contribuer à la compréhension de certains problèmes issus de domaines mathématiques et physiques aussi variés que la mécanique quantique, la supraconductivité ou la théorie du contrôle. Nos résultats sur l'instabilité spectrale de l'oscillateur cubique complexe viennent ainsi corroborer un travail de B. Krejcirik et P. Siegl, soulignant l'impossibilité de fournir une justification rigoureuse aux théories actuelles de la mécanique quantique non-hermitienne. Par ailleurs, nous nous appuyons sur les propriétés des modèles mentionnés ci-dessus pour obtenir des résultats sur le spectre et la résolvante d'opérateurs de Schrödinger à potentiels imaginaires purs dans des ouverts bornés. Ces résultats peuvent en particulier être appliqués à l'étude du système de Ginzburg-Landau dépendant du temps en supraconductivité. Enfin, nous présentons des résultats sur la contrôlabilité d'équations paraboliques dégénérées qui reposent sur une étude spectrale et pseudospectrale de l'opérateur d'Airy et de l'oscillateur harmonique complexes. Ce dernier travail est le fruit d'une collaboration avec K. Beauchard, B. Helffer et L. Robbiano. / Spectral instability of non-selfadjoint operators is the main subject of this thesis. Our first goal is to understand the pseudospectral behavior of natural models such as the complex Airy operator, harmonic oscillator and cubic oscillator. To this purpose, we analyze the asymptotic behavior of the spectral projections associated with the eigenvalues of these operators, following a work initiated by E.B. Davies. Our second goal is to illustrate how such models can be used in several problems arising in quantum mechanics, superconductivity or control theory. For instance, our results on the spectral instability of the complex cubic oscillator enable us to confirm that the current theory of non-hermitian quantum mechanics can not be rigorously justified, as recently pointed out by B. Krejcirik and P. Siegl. On the other hand, we obtain spectral information and resolvent estimates for semi-classical Schrödinger operators with purely imaginary potentials in a bounded domain, by using the properties of the models mentioned above. In particuler, these results entail some information on the time-dependent Ginzburg-Landau system in superconductivity. Finally, we reproduce a joint work with K. Beauchard, B. Helffer et L. Robbiano in which the controllability of some degenerate parabolic operators is investigated. An analysis of the spectrum and resolvent of the complex Airy operator and harmonic oscillator yields some controllability and non-controllability results for the equation under consideration.

Afin de permettre le développement de modèles manipulables par les concepteurs, il est nécessaire de pouvoir comprendre le fonctionnement des nanotubes, en particulier le transport des électrons et leurs propriétés électroniques. C'est dans ce contexte général que cette thèse s'intègre. Le travail a été mené sur quatre plans : • Développement de modèles permettant la description des phénomènes physiques importants au niveau des dispositifs, • Expertise sur le fonctionnement des nano-composants permettant de dégager les ordres de grandeurs pertinents pour les dispositifs, les contraintes, la pertinence de quelques procédés de fabrication (reproductibilité, taux de défauts), • Collection de caractéristiques mesurées et développement éventuel d'expériences spécifiques, • Expertise et conception des circuits innovatifs pour l'électronique numérique avec ces nano-composants. Mots clés — Modélisation compacte, transistor Schottky à nanotube de carbone, simulation circuit, cellule mémoire SRAM, effet tunnel, WKB.

In this doctoral thesis the two dimensional material graphene has been studied in depth with particular respect to Zener tunnelling devices. From the hexagonal structure the Hamiltonian at a Dirac point was derived with the option of including an energy gap. This Hamiltonian was then used to obtain the tunnelling properties of various graphene nano-devices; the devices studied include Zener tunnelling potential barriers such as single and double graphene potential steps. A form of the Landauer formalism was obtained for graphene devices. Combined with the scattering properties of potential barriers the current and conductance was found for a wide range of graphene nano-devices. These results were then compared to recently obtained experimental results for graphene nano-ribbons, showing many similarities between nano-ribbons and infinite sheet graphene. The methods studied were then applied to materials which have been shown to possess three dimensional Dirac cones known as topological insulators. In the case of Cd3As2 the Dirac cone is asymmetrical with respect to the z-direction, the effect of this asymmetry has been discussed with comparison to the symmetrical case.

La première partie concerne les interactions acoustique-vorticité dans les écoulements cisaillés linéaires incompressibles, qui peuvent être décomposés en la somme d'une partie hyperbolique et d'une partie rotation solide. L'écoulement de Couette en est un exemple. En utilisant la démarche non-modale , les équations d'évolution de perturbations compressibles se réduisent à une EDO de dimension trois en temps, qui dépend d'un paramètre adimensionné ε représentant le rapport entre le taux de cisaillement de l'écoulement et la fréquence des perturbations. Pour ε faible, la méthode WKB permet d'exhiber naturellement trois modes (deux modes acoustiques et un mode de vorticité) et permet de mettre en évidence des couplages entre ces modes. Ces couplages sont exponentiellement faible en 1/ε, et ne peuvent être pris en compte par une méthode asymptotique. Ils semblent être liés à la partie hyperbolique de l'écoulement. La seconde partie traite de la réflexion d'une onde par une surface de géométrie complexe. Une transformation conforme permet de transformer une frontière complexe en une frontière plane, mais fait apparaître des coefficients non constants dans les équations en volume. Celles-ci sont résolues au moyen de la méthode de la matrice d'impédance multimodale qui ramène le problème à une équation de Riccati pour la matrice d'impédance. Une méthode pour trouver des géométries admettant des modes piégés est proposée. Puis la méthode de résolution est appliquée à la modélisation de la couche limite visqueuse d'un fluide oscillant au contact d'une surface complexe périodique. Une solution perturbative est proposée. La présence de zones de recirculation est étudiée.

The semi-classical black hole tunnelling method is a useful technique to calculate black hole temperature and understand black hole thermodynamics. I will investigate the black hole tunnelling method in detail. I will compare two different approaches used to calculate black hole tunnelling. The tunnelling method can be applied to a broad range of spacetimes and I will show this explicitly in order to demonstrate the robustness of the tunnelling technique. In particular, I will apply the tunnelling method to spacetimes including: Rindler (the method can recover the Unruh temperature), and more general spacetimes (such as Kerr-Newman and Taub-NUT). I will also discuss the 5d Kerr-Gödel spacetimes in detail (while showing a previous unobserved property of these spaces). Once the parameter space of Kerr-Gödel is understood in detail, I will show how the tunnelling method can also be successfully applied to the Kerr-Gödel black hole. Finally, the key result of my thesis involves extending the tunnelling method to model fermion emission. The previous tunnelling calculations all involved the emission of scalar particles. I will model the emission of spin-1/2 fermions from various spacetimes including the Rindler spacetime and general non-rotating black holes. I will also model the emission of charged spin-1/2 fermions from the Kerr-Newman spacetime to show that the method is also applicable to rotating spacetimes. In all these cases I show that the correct Hawking temperature (Unruh temperature in the case of Rindler) is recovered for spin-1/2 fermion emission. Although this final result is not surprising, it is an important result because it confirms that Dirac particles will radiate from the black hole at the same temperature as scalar particles. It has always been assumed that this is the case but there is very little literature involving fermion radiation of black holes. So the results of my calculations are twofold, I demonstrate that Dirac particles are emitted at the same temperature as scalar particles from a black hole and it shows how robust the semi-classical tunnelling technique is.

The semi-classical black hole tunnelling method is a useful technique to calculate black hole temperature and understand black hole thermodynamics. I will investigate the black hole tunnelling method in detail. I will compare two different approaches used to calculate black hole tunnelling. The tunnelling method can be applied to a broad range of spacetimes and I will show this explicitly in order to demonstrate the robustness of the tunnelling technique. In particular, I will apply the tunnelling method to spacetimes including: Rindler (the method can recover the Unruh temperature), and more general spacetimes (such as Kerr-Newman and Taub-NUT). I will also discuss the 5d Kerr-Gödel spacetimes in detail (while showing a previous unobserved property of these spaces). Once the parameter space of Kerr-Gödel is understood in detail, I will show how the tunnelling method can also be successfully applied to the Kerr-Gödel black hole. Finally, the key result of my thesis involves extending the tunnelling method to model fermion emission. The previous tunnelling calculations all involved the emission of scalar particles. I will model the emission of spin-1/2 fermions from various spacetimes including the Rindler spacetime and general non-rotating black holes. I will also model the emission of charged spin-1/2 fermions from the Kerr-Newman spacetime to show that the method is also applicable to rotating spacetimes. In all these cases I show that the correct Hawking temperature (Unruh temperature in the case of Rindler) is recovered for spin-1/2 fermion emission. Although this final result is not surprising, it is an important result because it confirms that Dirac particles will radiate from the black hole at the same temperature as scalar particles. It has always been assumed that this is the case but there is very little literature involving fermion radiation of black holes. So the results of my calculations are twofold, I demonstrate that Dirac particles are emitted at the same temperature as scalar particles from a black hole and it shows how robust the semi-classical tunnelling technique is.

Submitted by Livia Mello (liviacmello@yahoo.com.br) on 2016-09-23T20:38:51Z No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:35:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:35:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-26T20:35:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5) Previous issue date: 2016-02-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this thesis we study the asymptotic properties for the solution of the Cauchy problem for the Klein-Gordon equation with non-effective time-dependent potential. The main goal was define a suitable energy related to the Cauchy problem and derive decay estimates for such energy. Strichartz’ estimates and results of scattering and modified scattering was established. The C m theory and the stabilization condition was applied to treat the case where the coefficient of the potential term has very fast oscillations. Moreover, we consider a semi-linear wave model scale-invariant time- dependent with mass and dissipation, in this step we used linear estimates related with the semi-linear model to prove global existence (in time) of energy solutions for small data and we show a blow-up result for a suitable choice of the coefficients. / Nesta tese estudamos as propriedades assintóticas para a solução do problema de Cauchy para a equação de Klein-Gordon com potencial não efetivo dependente do tempo. O principal objetivo foi definir uma energia adequada relacionada ao problema de Cauchy e derivar estimativas para tal energia. Estimativas de Strichartz e resultados de scatering e scatering modificados também foram estabelecidos. A teoria C m e a condição de estabilização foram aplicados para tratar o caso em que o coeficiente da massa oscila muito rápido. Além disso, consideramos um mod- elo de onda semi-linear scale-invariante com massa e dissipação dependentes do tempo, nesta etapa usamos as estimativas lineares de tal modelo para provar ex- istência global (no tempo) de solução de energia para dados iniciais suficientemente pequenos e demonstramos um resultado de blow-up para uma escolha adequada dos coeficientes.