Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:35Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-04-18Bitstream added on 2014-06-13T20:48:03Z : No. of bitstreams: 1 antunesfilho_cr_me_ilha.pdf: 650754 bytes, checksum: 136fe73b69dadcdeada02b0f4eb75f31 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Uma metodologia de alocação de pólos é proposta para resolver o problema de rastreamento do sinal de referência, considerando-se, ainda, a presença de uma entrada exógena do tipo distúrbio ou perturbação na planta, propondo-se uma nova metodologia de modificação dos zeros para a atenuação do efeito desse sinal. Primeiramente, apresenta-se um método de minimização da norma H8 entre o sinal do erro de rastreamento e o sinal de referência, obtendo-se assim, um rastreador de sinais. A seguir, um método de minimização da norma H2 é proposto utilizando-se a modificação dos zeros, para a redução do efeito desse distúrbio na saída do sistema. Todo o projeto foi elaborado a partir de inequações matriciais lineares, que permitem descrever o equacionamento como um problema de otimização convexa, e através da alocação dos pólos ou zeros, apresenta a solução ótima para o sistema. Por fim, exemplos numéricos ilustram a viabilidade da metodologia proposta. / The tracking system problem is solved using a pole placement methodology, considering, also, an external signal of disturbance or perturbation in the plant and a new zeros modification methodology is proposed to solve the problem of disturbance rejection. Firstly, the pole placement is used in order to minimize the H8-norm from the reference input signal to the error signal, designing a controller and solving the tracking problem. An H2-norm minimization methodology is used to reduce the disturbance effect in the output system. The design was formulated by Linear Matrix Inequalities (LMI), such that the optimum is obtained. Numerical examples illustrate the viability of the proposed methodology.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:35Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-02-16Bitstream added on 2014-06-13T20:47:11Z : No. of bitstreams: 1 mendes_rat_me_ilha.pdf: 974679 bytes, checksum: 258abcb7515fb2e2e389d313c9dbcf4c (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho é proposta uma metodologia de modificação de zeros para solucionar o problema do rastreamento do sinal de referência em sistemas discretos considerando-se uma entrada de perturbação na planta. Em um primeiro momento é projetado um controlador discreto para minimizar a norma H8 entre a entrada exógena e o sinal de saída com o objetivo de reduzir o efeito da perturbação sobre a saída do sistema. Posteriormente, minimiza-se a norma H8 entre o sinal de referência e o erro de rastreamento através da modificação de zeros do sistema discreto, constituindo desta maneira o rastreador de sinal de referência. A formulação do projeto é descrita na forma de inequações matriciais lineares, pois estas permitem a descrição de problemas de otimização convexa. Por fim, são apresentados três exemplos numéricos que ilustram a viabilidade da metodologia proposta. / The tracking problem in discrete time systems, with the presence of a disturbance signal in the plant, is solved using a zero variation methodology. This methodology is proposed in this work. A discrete state feedback controller is designed in order to minimize the H8-norm between the exogen input and the output signal, such that the effect of the disturbance is attenuated. After, a discrete state estimator is designed for the tracking problem and the variation of the zeros is used to minimize the H8-norm from the reference input signal to the error tracking signal. The error is taking as the difference between the reference and the output signal, and so it is a tracking problem. The design is formulated in the Linear Matrix Inequalities (LMI) framework, such that the optimal solution of the stated control problem is obtained. Three numerical examples illustrate the proposed methodology viability.

Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

This dissertation is concerned with the zeros of holomorphic Hecke cusp forms in the space of newforms. We estimate a lower bound for the number of zeros on the imaginary axis and on the vertical line R(z)=1/2 in the upper half plane, both of which are outside the unit circle centered at the origin, and we denote these by δ1 and δ2 respectively. Ghosh and Sarnak call those zeros that lie on the rays 'real' including the arc z=exp (iθ), π/3 ≤ θ ≤ π/2, and they showed that a lower bound for the zeros on those geodesic lines is C log k for all sufficiently large weight k for the level 1 case. We extend their results to the newforms with levels N which are positive integers not divisible by 4 on δ2, and N which are positive integers on δ1. On δ2 we have C log k zeros if the weight k is sufficiently large and on δ1 we assume a nonnegativity result on the first negative Hecke eigenvalue and get a conditional result C log k zeros as the weight k goes to infinity. The analysis is closely related to the knowledge of Hecke eigenvalues λf (n). Most importantly it requires Deligne's bound λf (n) n^e (for every e > 0) with which we look into the proof of Theorem 3.1 in Ghosh and Sarnak cite[1], and get the same the approximation theorem for any level in Chapter 2. The estimation of zeros on δ1 also requires a `good' upper bound for the first negative Hecke eigenvalue for which we investigate an upper bound for central values of Hecke L-functions and a nonnegativity result on those values. Those will be studied in Chapters 3 and 4. In Chapter 5 we estimate lower bounds for the number of zeros on δi , i = 1, 2.

We impose a monotonicity condition with several reversals on the moduli of the coefficients of a polynomial. We then consider three types of polynomials: (1) those satisfying the condition on all of the coefficients, (2) those satisfying the condition on the even indexed and odd indexed coefficients separately, and (3) polynomials of the form P(z) = a0+ Σnj=µ ajzj where µ ≥ 1 with the coefficients aµ; aµ+1;…; an satisfying the condition. For each type of polynomial, we give a result which puts a bound on the number of zeros in a disk (in the complex plane) centered at the origin. For each type, we give an example showing the results are best possible.

We put restrictions on the coefficients of polynomials and give bounds concerning the number of zeros in a specific region. The restrictions involve a monotonicity-type condition on the coefficients of the even powers of the variable and on the coefficients of the odd powers of the variable (treated separately). We present results by imposing the restrictions on the moduli of the coefficients, the real and imaginary parts of the coefficients, and the real parts (only) of the coefficients.

A well known result due to Ankeny and Rivlin [1] states that if p(z) = ∑v=0n avzv is a polynomial of degree n satisfying p(z) ≠ 0 for |z| < 1 then for R > 1 max |z|=R|p(Z)| ≤Rn+1/2 max|z|=1|p(z)|. It was proposed by late Professor R.P. Boas, Jr. to obtain an inequality analogous to this inequality for polynomials having no zeros in |z| < K. K > 0. In this paper, we obtain some results in this direction, by considering polynomials of the form p(z) = a0 + ∑v=tn a vzv1 ≤ t ≤ n which have no zeros in |z| < K, K ≥1.

In this paper, a relationship between the zeros and critical points of a polynomial p(z) is established. The relationship is used to prove Sendov's conjecture in some special cases.