Erdos proved the well-known result that every graph has a spanning, bipartite subgraph such that every vertex has degree at least half of its original degree. Bollobas and Scott conjectured that one can get a slightly weaker result if we require the subgraph to be not only spanning and bipartite, but also balanced. We prove this conjecture for graphs of maximum degree 3. The majority of the paper however, will focus on graph tiling. Graph tiling (or sometimes referred to as graph packing) is where, given a graph H, we find a spanning subgraph of some larger graph G that consists entirely of disjoint copies of H. With the Regularity Lemma and the Blow-up Lemma as our main tools, we prove an asymptotic minimum degree condition for an arbitrary bipartite graph G to be tiled by another arbitrary bipartite graph H. This proves a conjecture of Zhao and also implies an asymptotic version of a result of Kuhn and Osthus for bipartite graphs.

This thesis contributes towards the maximal-in-time well-posedness theory of three nonlinear dispersive partial differential equations (PDEs). We are interested in questions that extend beyond the usual well-posedness theory: what is the ultimate fate of solutions? How does Hamiltonian structure influence PDE dynamics? How does randomness, within the PDE or the initial data, interact with well-posedness of the Cauchy problem? The first topic of this thesis is the analysis of blow-up solutions to the elliptic-elliptic Davey-Stewartson system, which appears in the description of surface water waves. We prove a mass concentration property for H^1-solutions, analogous to the one known for the L^2-critical nonlinear Schrodinger equation. We also prove a mass concentration result for L^2-solutions. The second topic of this thesis is the invariance of the Gibbs measure for the (gauge transformed) periodic quartic KdV equation. The Gibbs measure is a probability measure supported on H^s for s<1/2, and local solutions to the quartic KdV cannot be obtained below H^{1/2} by using the standard fixed point method. We exhibit nonlinear smoothing when the initial data are randomized, and establish almost sure local well-posedness for the (gauge transformed) quartic KdV below H^{1/2}. Then, using the invariance of the Gibbs measure for the finite-dimensional system of ODEs given by projection onto the first N>0 modes of the trigonometric basis, we extend the local solutions of the (gauge transformed) quartic KdV to global solutions, and prove the invariance of the Gibbs measure under the flow. Inverting the gauge, we establish almost sure global well-posedness of the (ungauged) periodic quartic KdV below H^{1/2}. The third topic of this thesis is well-posedness of the stochastic KdV-Burgers equation. This equation is studied as a toy model for the stochastic Burgers equation, which appears in the description of a randomly growing interface. We are interested in rigorously proving the invariance of white noise for the stochastic KdV-Burgers equation. This thesis provides a result in this direction: after smoothing the additive noise (by a fractional derivative), we establish (almost sure) local well-posedness of the stochastic KdV-Burgers equation with white noise as initial data. We also prove a global well-posedness result under an additional smoothing of the noise.

Submitted by Maike Costa (maiksebas@gmail.com) on 2016-03-30T13:20:26Z No. of bitstreams: 1 arquivo total.pdf: 931700 bytes, checksum: fa2250c9a71513dd14a73f23193f0cfa (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-30T13:20:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivo total.pdf: 931700 bytes, checksum: fa2250c9a71513dd14a73f23193f0cfa (MD5) Previous issue date: 2014-02-26 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this paper we prove the compactness of the full set of solutions of the Yamabe problem when n 24. We begin with the study of basic properties of blow-up points and then prove sharp pointwise estimates that will be crucial for the proof of Weyl Vanishing Theorem in these dimensions. The compactness problem then reduces to show the positivity of a certain quadratic form. We also show that this quadratic form has negative eingenvalues, if n 25. It is noteworthy that during this process the Positive Mass Theorem is a key tool in obtaining the main result. / Neste trabalho provaremos a compacidade do conjunto de solu cões do problema de Yamabe quando n 24. Iniciaremos com o estudo das propriedades báasicas de pontos de blow-up e em seguida provaremos estimativas pontuais, ótimas em certo sentido, que ser~ao de fundamental importância para a demonstra cão do Teorema do Anulamento de Weyl nestas dimensoes. O problema de compacidade ent~ao se reduz a mostrar a positividade de uma certa forma quadr atica. Provaremos ainda que, se n 25, tal forma quadr atica tem autovalores negativos. Vale ressaltar que durante tal processo o Teorema de Massa Positiva ser a uma ferramenta chave na obten cão do resultado principal.

We study a stochastic particle system with a logarithmically-singular inter-particle interaction potential which allows for inelastic particle collisions. We relate the squared Bessel process to the evolution of localized clusters of particles, and develop a numerical method capable of detecting collisions of many point particles without the use of pairwise computations, or very refined adaptive timestepping. We show that when the system is in an appropriate parameter regime, the hydrodynamic limit of the empirical mass density of the system is a solution to a nonlinear Fokker-Planck equation, such as the Patlak-Keller-Segel (PKS) model, or its multispecies variant. We then show that the presented numerical method is well-suited for the simulation of the formation of finite-time singularities in the PKS, as well as PKS pre- and post-blow-up dynamics. Additionally, we present numerical evidence that blow-up with an increasing total second moment in the two species Keller-Segel system occurs with a linearly increasing second moment in one component, and a linearly decreasing second moment in the other component.

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Motivated by the results concerning the regularity of solutions to the fractional Navier-Stokes system and questions about the influence of noise on the formation of singularities in hydrodynamic models, we have explored these two problems in the context of the fractional 1D Burgers equation. First, we performed highly accurate numerical computations to characterize the dependence of the blow-up time on the the fractional dissipation exponent in the supercritical regime. The problem was solved numerically using a pseudospectral method where integration in time was performed using a hybrid method combining the Crank-Nicolson and a three-step Runge-Kutta techniques. A highlight of this approach is automated resolution refinement. The blow-up time was estimated based on the time evolution of the enstrophy (H1 seminorm) and the width of the analyticity strip. The consistency of the obtained blow-up times was verified in the limiting cases. In the second part of the thesis we considered the fractional Burgers equation in the presence of suitably colored additive noise. This problem was solved using a stochastic Runge-Kutta method where the stochastic effects were approximated using a Monte-Carlo method. Statistic analysis of ensembles of stochastic solutions obtained for different noise magnitudes indicates that as the noise amplitude increases the distribution of blow-up times becomes non-Gaussian. In particular, while for increasing noise levels the mean blow-up time is reduced as compared to the deterministic case, solutions with increased existence time also become more likely. / Thesis / Master of Science (MSc)

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de trois équations aux dérivées partielles et d'évolution non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l'équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d'exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque $t\rightarrow+\infty$ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D'autre part, dans le cas d'exposant sous-critique, l'effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec le laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini $T_{\max}>0$ pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme $L^1$ de la solution en précisant le taux d'explosion lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_{\max}.$ Nous cherchons encore les conditions nécessaires à l'existence locale et globale de la solution. Une toisième partie est consacré à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes $2\times 2$ avec le laplacien ordinaire. On étudie l'existence locale de la solution ainsi qu'un résultat sur l'explosion de la solution avec les mêmes propriétés étudiées dans le troisième chapitre. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans $\mathbb{R}^N,$ pour tout $N\geq2,$ avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale de la solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et les exposants du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions sur les exposants, que la solution explose en temps fini, pour toute condition initiale ayant de moyenne strictement positive.

Les travaux de cette thèse sont regroupés en trois grandes parties traitant respectivement-des ondes stationnaires des systèmes de Schr"odinger-Maxwell-Proca et de Klein-Gordon-Maxwell-Proca sur une variété riemannienne fermée (compacte sans bord dans toute la thèse),-de systèmes elliptiques de Kirchhoff sur une variété riemannienne fermée,-de phénomènes d'explosion propres aux petites dimensions. / This thesis, divided into three main parts, deals with-standing waves for Schrödinger-Maxwell-Proca and Klein-Gordon-Maxwell-Proca systems on a closed Riemannian manifold (compact without boundary during all the thesis),-elliptic Kirchhoff systems on a closed manifold,-low-dimensional blow-up phenomena.

Dans cette thèse a été obtenue une description fine de dynamiques explosives (Universalité de la bulle et de la vitesse de concentration, stabilité du régime explosif) pour trois problèmes paraboliques critiques : le flot de la chaleur harmonique en dimension deux pour des solutions 1-corotationnelles, l'équation de la chaleur semi-linéaire dans le cas énergie critique en dimension quatre, ainsi que le modèle de Patlak-Keller-Segel dans sa version parabolique-elliptique, pour des solutions de masse surcritique (M>8π). Les quatre premiers chapitres sont consacrés à la présentation de chacun de ses problèmes, ainsi que celle de la méthode de preuve. Dans les trois derniers chapitres ont été placés les articles dans leur version soumise à publication.

Ce travail de thèse concerne la modélisation mathématique et l’étude du comportement d’une population de neurones. Dans tout ce travail on s’arrêtera principalement sur une population de neurones auto-excitateurs où chaque cellule du réseau est supposée suivre la loi de l’intègre et tire. Néanmoins nous aborderons au détour d’un chapitre la modélisation d’une population de neurones inhibiteurs, et dans une dernière partie, nous discuterons la modélisation d’une population de neurones obéissant au modèle Ermentrout-Kopell aussi appelé le théta-neurone. L’angle de vue adopté dans cette thèse est donné par l’approche densité de population. Cette approche, dont nous rappellerons en détail les hypothèses et la construction, a été introduite il ya maintenant plus d’une dizaine d’années afin de faciliter la simulation d’une grande population de neurones. Dit plus précisément, une telle approche donne une équation aux dérivées partielles sur la densité de population de neurones dans l’espace d’état formé des potentiels admissibles du neurone. Nous ferons de plus l’hypothèse que la réponse d’un neurone à l’arrivée d’une impulsion est une dépolarisation instantanée, autrement dit un saut de potentiel. Comme nous le verrons,cette équation aux dérivées partielles est non linéaire (à cause du couplage de la population) et non locale (à cause du saut de potentiel). Si cette idée est compliquée et abstraite, elle anéanmoins prouvé tout au long de ces dix dernières années son importance dans la simulation numérique des grands réseaux.Il s’agit avant tout dans ce travail de thèse de donner un cadre mathématique adéquat aux équations aux dérivées partielles qui surgissent d’une telle approche. Ainsi nous discuterons,selon les différents choix de modélisation, du caractère bien posé du modèle par densité de populationet de sa possible explosion en temps fini. Nous discuterons comment la prise en compte d’hypothèses réalistes supplémentaires dans la modélisation, comme le retard entre l’émission d’un potentiel d’action et sa réception ou encore la période réfractaire peut stopper l’explosionen temps fini et garantir l’existence d’une solution globale. Un autre aspect abordé dans ce travail concerne les explications et la prédiction de la synchronisation des neurones. Deux définitions de la synchronisation seront explicitées selon encoreune fois les choix de modélisation. Nous verrons qu’en interprétant l’explosion en temps fini dela solution comme l’arrivée d’une masse de Dirac dans le taux de décharge de la populationon peut relier l’explosion à la synchronisation. Toutefois, avec des hypothèses de modélisation plus réalistes, comme les retards et la période réfractaire, ce phénomène est exclu. Nous verrons néanmoins qu’avec ces paramètres physiques supplémentaires des solutions périodiques apparaissent offrant différents rythmes de décharge de la population. Encore une fois, l’apparition de ces oscillations sera perçue comme la synchronisation de la population. / This thesis concerns the mathematical modelling and the study of the behavior of a population of neurons. In this work we will mainly consider a population of excitatory neurons whe reall the cells of the network follow the integrate-and-fire model. Nonetheless, we will tackle in a chapter the modelling of an inhibitory population of neurons, and we will discuss in the lastchapter the modelling of a population of neurons that follows the Ermentrout-Koppell model.The point of view of this thesis is given by the population density approach that has beenintroduced more than a decade ago in order to facilitate the simulation of a large assembly ofneurons. More precisely, this approach gives a partial differential equation that describes thedensity of neurons in the state space that is the set of all admissible potential of a neuron. We will assume that when receiving an action potential, the potential of the neuron makes a small jump. As we will see this partial differential equation is non linear (due to the coupling betweenneurons) and non-local (due to the potential jump). If this idea is complicated and abstract, itallows to simulate easily a large neural network.First of all, the thesis gives a mathematical framework for the equations that arise from thisthe population density approach. Then we will discuss the existence and the possible blow upin finite time of the solution. We will discuss how the consideration of more realistic modellingassumptions, as the refractory period and the delay between the emission and the reception ofan action potential can stop the blow up of the solution and give a well posed model.We will also try to caracterise the occurence of synchronization of the neural network. Twodifferent ways of seeing the synchronization will be describe. One relates the blow up in finitetime of the solution to the occurence of a Dirac mass in the firing rate of the population.Nonetheless, taking into account the delays, this kind of blow up will not be observed anymore.Nonetheless, as we will see, with this additional features the model will generate some periodicalsolutions that can also be related to the synchronization of the population.