Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) constitue un important outil de modélisation utilisé dans plusieurs domaines (biologie, économie, finance, géologie, hydrologie, télécommunications, etc.) ; toutefois, ce modèle ne parvient pas toujours à donner une description suffisamment fidèle de la réalité, à cause, entre autres, des deux limitations suivantes : d'une part le mbf est un processus gaussien, et d'autre part, sa rugosité locale (mesurée par un exposant de Hölder) reste la même tout le long de sa trajectoire, puisque cette rugosité est partout égale au paramètre de Hurst H qui est une constante. En vue d'y remédier, S. Stoev et M.S. Taqqu (2004 et 2005) ont introduit le mouvement multifractionnaire stable linéaire (mmsl) ; ce processus stochastique strictement α-stable (StαS), désigné par {Y(t)}, est obtenu en remplaçant la mesure brownienne par une mesure StαS et le paramètre de Hurst H par une fonction H(.) dépendant de t. On se place systématiquement dans le cas où cette fonction est continue et à valeurs dans l'intervalle ouvert ]1/α,1[. Il convient aussi de noter que l'on a pour tout t, Y(t)=X(t,H(t)), où {X(u,v)} est le champ stochastique StαS, tel que pour tout v fixé, le processus {X(u,v)} est un mouvement fractionnaire stable linéaire. L'objectif de la thèse est de mener une étude approfondie du mmsl, au moyen de méthodes d'ondelettes ; elle consiste principalement en trois parties. (1) On détermine de fins modules de continuité, globaux et locaux de {Y(t)} ; cela repose essentiellement sur une nouvelle représentation de {X(u,v)}, sous la forme d'une série aléatoire, dont on montre la convergence presque sûre dans certains espaces de Hölder. (2) On introduit, via la base de Haar, une autre représentation de {X(u,v)} en série aléatoire ; cette dernière permet la mise en place d'une méthode de simulation efficace du mmsl, ainsi que de ses parties hautes et basses fréquences. (3) On construit des estimateurs par ondelettes du paramètre fonctionnel H(.) du mmsl, ainsi que de son paramètre de stabilité α.

Ce manuscrit se décompose en deux parties principales, associées à deux types d'applications assez différentes. Dans la première partie qui comprend les deux premiers chapitres, je m'intéresse à des systèmes issus de problèmes de contrôle et d'estimation en physique quantique; dans la deuxième partie (troisième chapitre du manuscrit), j'étudie la propagation d'ondes électriques le long des fils classiques dans un réseau de lignes de transmission et je considère certains problèmes d'estimation de paramètres. Dans le premier chapitre nous étudions le problème de la planification de trajectoires pour des systèmes quantiques fermés modélisés par des équations de Schrödinger bilinéaire. Nous démontrons alors des résultats de la stabilisation approchée pour le cas d'une boite quantique infinie ainsi que pour le cas d'un potentiel décroissant. Dans les deux cas, le manque de pré-compacité des trajectoires dans des espaces fonctionnels appropriés nous oblige à proposer des méthodes de Lyapunov qui évitent des phénomènes de perte de masse à l'infini. Dans le deuxième chapitre nous étudions le problème de stabilisation de systèmes quantiques en observation. Cette observation nécessite l'ouverture du système à son environnement. Les modèles pertinents pour l'évolution de ce type de systèmes sont des modèles stochastiques basés sur des trajectoires de Monte-Carlo quantiques. Nous étudions alors certains problèmes de stabilisation qui parviennent de vraies expériences physiques. Enfin, dans le chapitre 3 nous considérons le problème d'estimation de paramètres pour un réseau de fils de câblage électrique. Dans ce but, nous étudions deux approches : l'approche temporelle et l'approche fréquentielle. Dans l'approche temporelle, nous considérons le réseau le plus simple qui consiste d'une seule ligne de transmission et nous proposons un algorithme d'identification pour l'équation d'onde associé qui est basé sur l'application des observateurs asymptotiques. Dans l'approche fréquentielle, nous considérons un réseau plus compliqué de la forme étoile. Nous proposons alors des résultats d'identifiabilité basés sur des techniques de l'inverse scattering.

Les principaux thèmes de cette thèse sont la théorie des trajectoires rugueuses développée par T. Lyons (1998) et ses applications, notamment à l'étude des équations différentielles stochastiques (EDS) et au calcul de sensibilités. Des applications potentielles des résultats théoriques en science du vivant et en finance y sont également développés. En premier lieu, sont étendues l'existence et l'expression des grecques Delta et Véga, sensibilités bien connues en finance, pour des EDS à coefficients bornés et dirigées par un processus gaussien multidimensionnel centré, à trajectoires continues, au-dessus duquel il existe une trajectoire géométrique naturelle. Le cas du mouvement brownien fractionnaire a particulièrement été développé afin de proposer d'une part, une application du calcul de Véga dans un modèle de marché financier à volatilité stochastique fractionnaire et d'autre part, d'effectuer des simulations. En second lieu, est étudiée une généralisation d'équation mean-reverting au cas d'un signal gaussien unidimensionnel, centré et à trajectoires continues : existence globale et unicité de la solution, intégrabilité, continuité et différentiabilité de l'application d'Itô, existence d'un schéma d'approximation convergeant dans tous les Lp avec une vitesse de convergence presque-sure, un principe de grandes déviations et, l'existence d'une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. L'étude de cette famille d'EDS a débouché sur une application en pharmacocinétique.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles.

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l'apparition de produits dérivés divers et variés. Parmi les plus répandus, on retrouve les options américaines. Une option américaine est par définition une option qu'on a le droit d'exercer avant l'échéance convenue T. Les plus basiques sont le Put ou le Call américain (respectivement option de vente (K - x)+ ou d'achat (x - K)+). La première partie, et la plus conséquente, de cette thèse est consacrée à l'étude des options américaines dans des modèles exponentiels de Lévy. On commence dans un cadre multidimensionnel caractérise le prix d'une option américaine, dont le Pay-off appartient à une classe de fonctions non forcément bornées, à l'aide d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. On étudie, ensuite, les propriétés générales de la région d'exercice ainsi que de la frontière libre. On affine encore ces résultats en étudiant, en particulier, la région d'exercice d'un Call américain sur un panier d'actifs, où on caractérise en particulier la région d'exercice limite (à l'échéance). Dans un deuxième temps, on se place dans un cadre unidimensionnel et on étudie le comportement du prix critique (fonction délimitant la région d'exercice) d'un Put américain près de l'échéance. Particulièrement, on considère le cas où le prix ne converge pas vers le strike K, dans un modèle Jump-diffusion puis dans un modèle où le processus de Lévy est à saut pur avec un comportement proche de celui d'un &-stable. La deuxième partie porte sur l'approximation numérique de la Credit Valuation Adjustment (CVA). On y présente une méthode basée sur le calcul de Malliavin inspirées de celles utilisées pour les options américaines. Une étude de la complexité de cette méthode y est aussi présentée et comparée aux méthodes purement Monte Carlo et aux méthodes fondées sur la régression.

Les Processus Markoviens D eterministes par Morceaux (PDMP) ont et e introduits dans la litt erature par M.H.A Davis comme une classe g en erale de mod eles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui d ecrivent une trajectoire d eterministe ponctu ee par des sauts al eatoires. Dans une premi ere partie, les PDMP sont utilis es pour calculer des probabilit es d' ev enements redout es pour un cas-test de la abilit e dynamique (le r eservoir chau e) par deux m ethodes num eriques di erentes : la premi ere est bas ee sur la r esolution du syst eme di erentiel d ecrivant l' evolution physique du r eservoir et la seconde utilise le calcul de l'esp erance de la fonctionnelle d'un PDMP par un syst eme d' equations int egro-di erentielles. Dans la seconde partie, nous proposons une m ethode num erique pour approcher la fonction valeur du probl eme d'arr^et optimal pour un PDMP. Notre approche est bas ee sur la quanti cation de la position apr es saut et le temps inter-sauts de la chaî ne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discr etisation en temps adapt ee a la trajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence de notre sch ema num erique et de calculer un temps d'arrêt epsilon-optimal.

0n s'intéresse à la modélisation probabiliste pour l'évolution génétique de populations diploïdes, dans un contexte d'éco-évolution. La population considérée est modélisée par un processus de naissance et mort multi-types, avec interaction, et dont les taux de naissance modélisent la reproduction mendélienne. En particulier, la taille de la population considérée n'est pas constante et peut être petite. Une première partie du travail est consacrée à l'étude probabiliste du vortex d'extinction démo-génétique, un phénomène au cours duquel la taille d'une petite population décroît de plus en plus rapidement suite à des fixations de plus en plus fréquentes de mutations délétères. Nous donnons notamment une formule pour la probabilité de fixation d'un allèle légèrement délétère en fonction de la composition génétique de la population et nous prouvons l'existence d'un vortex d'extinction sous une hypothèse de mutations rares. Nous donnons par ailleurs des résultats numériques et une analyse biologique détaillée des comportements obtenus. Nous étudions en particulier l'impact du vortex sur la dynamique de la taille moyenne de population, et nous quantifions ce phénomène en fonction des paramètres écologiques. Dans une deuxième partie, sous une asymptotique de grande taille de population et événements de naissance et mort fréquents, nous étudions d'abord la convergence vers une dynamique lente-rapide et le comportement quasi-stationnaire d'une population diploïde caractérisée par sa composition génétique à un locus bi-allélique. Nous étudions en particulier la possibilité de coexistence en temps long de deux allèles dans la population conditionnée à ne pas être éteinte. Ensuite nous généralisons cette dynamique lente-rapide à une population présentant un nombre fini quelconque d'allèles. La population est alors modélisée par un processus à valeurs mesures dont nous prouvons la convergence lorsque le nombre d'allèles tend vers l'infini vers un superprocessus de Fleming-Viot généralisé, avec une taille de population variable et une sélection diploïde additive.

Nous étudions le comportement asymptotique des dérivées intrinsèques d'une courbe évoluant sous l'action d'un système dynamique aléatoire régulier. Etant donnée une courbe $c$ sur une variété riemannienne, nous désignons par "dérivées intrinsèques de la courbe $c$ en un point $m$", les dérivées à l'origine d'une paramétrisation normale de la courbe transportée sur l'espace tangent au point $m$, par l'application exponentielle. En utilisant le théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets, nous obtenons une condition suffisante sur les deux premiers exposants de Lyapounov d'un système dynamique aléatoire régulier, réversible et ergodique, pour que les premières dérivées intrinsèques des images d'une courbe par ce système convergent. Si $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les deux premiers exposants de Lyapounov du système, $\lambda_1$ étant supposé de multiplicité un, la condition "$\lambda_2-k\lambda_1<0$" assure la convergence des $k$ premières dérivées intrinsèques ; elle n'exclut donc pas les systèmes dynamiques aléatoires stables. La preuve proposée utilise un développement des dérivées intrinsèques à l'aide de diagrammes et donne un procédé récursif pour déterminer les limites des dérivées intrinsèques. Lorsque le premier exposant de Lyapounov est strictement positif, nous faisons le lien entre les limites des dérivées intrinsèques et les variétés instables associées à cet exposant. Nous vérifions ensuite "l'optimalité" de la condition $\lambda_2-2\lambda_1<0$ assurant la convergence de la courbure, en étudiant une classe particulière de systèmes dynamiques aléatoires : les flots browniens isotropes sur la sphère unité de $R^d$. Plus généralement, nous établissons que la norme au carré du vecteur courbure de l'image d'une courbe par un tel système dynamique aléatoire est une diffusion. L'étude du comportement asymptotique de cette diffusion en fonction de la valeur des deux premiers exposants de Lyapounov montre que, sauf si elle est presque sûrement constante, cette diffusion est récurrente positive si et seulement si $\lambda_2-2\lambda_1<0$.

Cette thèse est consacrée à l'inférence de modèles stochastiques d'évolution de l'ADN avec dépendance au contexte, l'étude portant spécifiquement sur la classe de modèles stochastiques RN95+YpR. Cette classe de modèles repose sur un renforcement des taux d'occurrence de certaines substitutions en fonction du contexte local, ce qui introduit des phénomènes de dépendance dans l'évolution des différents sites de la séquence d'ADN. Du fait de cette dépendance, le calcul direct de la vraisemblance des séquences observées met en jeu des matrices de dimensions importantes, et est en général impraticable. Au moyen d'encodages spécifiques à la classe RN95+YpR, nous mettons en évidence de nouvelles structures de dépendance spatiales pour ces modèles, qui sont associées à l'évolution des séquences d'ADN sur toute leur histoire évolutive. Ceci rend notamment possible l'utilisation de méthodes numériques particulaires, développées dans le cadre des modèles de Markov cachés, afin d'obtenir des approximations consistantes de la vraisemblance recherchée. Un autre type d'approximation de la vraisemblance, basé sur des vraisemblances composites, est également introduit. Ces méthodes d'approximation de la vraisemblance sont implémentées au moyen d'un code en C++. Elles sont mises en œuvre sur des données simulées afin d'étudier empiriquement certaines de leurs propriétés, et sur des données génomiques, notamment à des fins de comparaison de modèles d'évolution

Dans une première partie, on s'intéresse à un système d'EDP stochastiques variant selon deux échelles de temps, et plus particulièrement à l'approximation de la composante lente à l'aide d'un schéma numérique efficace. On commence par montrer un principe de moyennisation, à savoir la convergence de la composante lente du système vers la solution d'une équation dite moyennée. Ensuite on prouve qu'un schéma numérique de type Euler fournit une bonne approximation d'un coefficient inconnu apparaissant dans cette équation moyennée. Finalement, on construit et on analyse un schéma de discrétisation du système à partir des résultats précédents, selon la méthodologie dite HMM (Heterogeneous Multiscale Method). On met en évidence l'ordre de convergence par rapport au paramètre d'échelle temporelle et aux différents paramètres du schéma numérique; on étudie les convergences au sens fort (approximation des trajectoires) et au sens faible (approximation des lois). Dans une seconde partie, on étudie une méthode d'approximation de solutions d'EDP paraboliques, en combinant une approche semi-lagrangienne et une discrétisation de type Monte-Carlo. On montre d'abord dans un cas simplifié que la variance dépend des pas de discrétisation; enfin on fournit des simulations numériques de solutions, afin de mettre en avant les applications possibles d'une telle méthode.