Cette thèse introduit tout d'abord une formule générale qui englobe toutes les mesures de pauvreté uni-dimensionnelles basées sur le revenu. Nous proposons ensuite deux types d'estimateurs non-paramétriques (à noyau et de type "plug-in") pour cet indice général de pauvreté, tout en étudiant leurs propriétés asymptotiques. Notre méthodologie, basée essentiellement sur la théorie moderne du processus empirique indexé des fonctions, offre un cadre global et rigoureux qui permet d'étudier, avec la même approche, le comportement asymptotique de tous les indices de pauvreté encore disponibles jusqu'ici dans la littérature. Nous obtenons la consistance forte uniforme d'une très large classe de mesures de pauvreté incluant presque tous les modèles d'indices proposés par les économistes, décomposables comme non-décomposables. Ce résultat est utilisé pour construire des intervalles de confiance simultanés, de niveau asymptotiquement optimal (100%). Un théorème central limite uniforme fonctionnel est également établi pour cette large classe d'indicateurs de pauvreté. Comme conséquence, des procédures d'inférence robustes, basées sur le noyau de covariance et utilisant un test de Wald, sont développées afin de comparer de façon non-ambiguë la pauvreté entre deux populations différentes.

Ce manuscrit présente mes contributions scientifiques de ces dix dernières années à l'interface entre traitement d'image et statistique. Il débute par l'étude d'un exemple jouet, l'estimation de la moyenne d'un vecteur gaussien, qui permet de présenter le type de question statistique auquel je me suis intéressé, de souligner l'importance de la théorie de l'approximation et de présenter le principe de parcimonie d'Ockham. Après une brève description de l'ensemble des contributions, le manuscrit s'organise autour des modèles statistiques que j'ai pu rencontrés: modèle de bruit blanc, modèle de densité et modèle de densité conditionnelle.

Le travail présenté se divise en trois partie. Dans un premier temps, nous montrons que le formalisme de la sélection de modèles permet d'établir la vitesse de décroissance de l'erreur d'estimation d'un estimateur par seuillage dans une base orthogonale de bandlettes d'une image bruitée par un bruit additif gaussien pour un modèle d'images géométriquement régulières. Cette vitesse étant optimale à un facteur logarithmique près pour les fonctions de régularité C_alpha en dehors de courbes C_alpha. Dans un second temps, nous montrons qu'une approche similaire permet également d'atteindre un estimateur optimal pour l'inversion de l'opérateur de tomographie sur la même classe de fonctions. Dans une troisième partie nous analysons la déconvolution sparse spike 1D par minimisation l_1 et montrons qu'une distance minimum entre les spikes, dépendant du filtre assure la reconstruction exacte de la déconvolution par minimisation l_1

Etude d'équations de croissance et de fragmentation, problèmes inverses et directs, et applications en biologie

Les atlases d'anatomie informatisé jouent un rôle important dans l'analyse d'images médicales. Cependant un atlas se réfère généralement à une image standard ou une moyenne d'image aussi appelé template, qui probablement représente bien d'une population observée, il ne suffit pas pour caractériser la population observée en détail. Un template doit être apprises conjointement avec la variabilité géométrique des formes représentées dans les observations. Ces deux quantités seront par la suite former l'atlas de la population correspondante. La variabilité géométrique est modélisée comme des déformations du template de sorte qu'il s'adapte aux observations. Dans la première partie du travail, nous fournissons un nouveau modèle statistique générative basée sur des templates déformables denses qui représente plusieurs types de tissus observés dans les images médicales. Notre atlas contient à la fois une estimation des templates probabiliste de chaque tissu (appelée classes) et la métrique de déformation. Nous utilisons un algorithme stochastique pour l'estimation de l'atlas probabilistes donné un ensemble de données. Cet atlas est ensuite utilisé pour la méthode de segmentation basée sur l'atlas pour segmenter les nouvelles images. Expériences sont montrées sur les images T1 du cerveau. Les analyses traditionnelles d'imagerie de résonance magnétique fonctionnelle utilisent peu d'informations anatomies. Le recalage des images vers un template est basé sur l'anatomie individuelle et ne tient pas compte des informations fonctionnelles, donc les activations détectées ne se limitent pas à la matière grise. Dans la deuxième partie du travail, on propose un modèle statistique pour estimer un atlas probabiliste de l'IRM fonctionnelle et T1 qui résume à la fois des informations anatomies et fonctionnelles et la variabilité géométrique de la population. Le recalage et la segmentation sont effectuées conjointement pendant l'estimation de l'atlas et l'activité fonctionnelle est limitée à la matière grise, augmenter la précision de l'atlas. Inférer l'abondance des protéines de l'intensité de peptides est l'étape clé dans la protéomique quantitative. La conclusion est nécessairement plus précis quand de nombreux peptides sont pris en compte pour une protéine donnée. Pourtant, l'information apportée par les peptides partagées par différentes protéines est souvent jeté. Dans la troisième partie du travail, nous proposons un système statistique basée sur une modèle hiérarchique à inclure cette information. Notre méthodologie, basée sur une analyse simultanée de tous les peptides quantifiés, gère les erreurs biologiques et techniques ainsi que l'effet des peptides. En outre, nous proposons une mise en œuvre pratique adapté à l'analyse de grandes bases de données. Par rapport à une méthode basée sur l'analyse d'une protéine à la fois (ce qui ne comprend pas les peptides partagés), notre méthodologie s'est révélée être beaucoup plus fiable pour estimer l'abondance de protéines et de tester les changements d'abondance.

Dans le Chapitre 1, nous explorons le comportement joint des variables d'une marche aléatoire (X1, . . . ,Xn) lorsque leur valeur moyenne tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. Il est prouvé que toutes ces variables doivent partager la même valeur, ce qui généralise les résultats précédents, dans le cadre de grands dépassements de sommes finies de i.i.d variables aléatoires. Dans le Chapitre 2, nous montrons un théorème de Gibbs conditionnel pour une marche aléatoire (X1, ..,Xn) conditionnée à une déviation extrême. Il est prouvé que lorsque les opérandes ont des queues légères avec une certaine régularité supplémentaire, la distribution asymptotique conditionnelle de X1 peut être approximée par la distribution tiltée en norme de la variation totale, généralisant ainsi le cas classique du LDP. Le troisième Chapitre explore le principe du maximum de vraisemblance dans les modèles paramétriques, dans le contexte du théorème de grandes déviations de Sanov. Le MLE est associé à la minimisation d'un critère spécifique de type divergence, qui se généralise au cas du bootstrap pondéré, où la divergnce est fonction de la distribution des poids. Certaines propriétés de la procédure résultante d'inférence sont présenteés ; l'efficacité de Bahadur de tests est également examinée dans ce contexte.

Mes travaux portent essentiellement sur des champs aléatoires qui satisfont une propriété d'autosimilarité globale ou locale, éventuellement anisotrope. Au cours de ces dernières années, je me suis concentrée sur l'étude de la régularité des trajectoires de tels champs mais aussi de leur simulation, de l'estimation des paramètres ou encore de certaines propriétés géométriques (dimension d'Hausdorff). J'ai été amenée à introduire de nouvelles notions d'autosimilarité : autosimilarité locale pour des champs indexés par une variété et autosimilarité locale anisotrope. Une partie de mes travaux porte sur des séries de type shot noise (vitesse de convergence, régularité). Ces séries permettent notamment de proposer une méthode de simulation pour les champs fractionnaires ou multifractionnaires. Elles nous ont permis d'obtenir une majoration du module de continuité de champs aléatoires anisotropes stables mais sont aussi utiles pour l'étude de champs plus généraux (champs définis par une série aléatoire conditionnellement sous-gaussienne, champs multi-stables). L'étude de modèles anisotropes est motivée par la modélisation de roches mais aussi de radiographies d'os en vue de l'aide à la détection précoce de l'ostéoporose (projet ANR MATAIM). J'ai aussi abordé des questions plus statistiques : estimations des paramètres, propriété LAN (Local Asymptotic Normality). Enfin, au sein de l'équipe INRIA BIology Genetics and Statistics, je travaille sur des problématiques tournées vers des applications médicales en collaboration avec des automaticiens. J'ai en particulier travaillé sur un algorithme de débruitage en vue d'application à des ECG.

Cette thèse propose et étudie deux techniques d'inférence bayésienne dans les modèles où la vraisemblance possède une composante latente. Dans ce contexte, la vraisemblance d'un jeu de données observé est l'intégrale de la vraisemblance dite complète sur l'espace de la variable latente. On s'intéresse aux cas où l'espace de la variable latente est de très grande dimension et comporte des directions de différentes natures (discrètes et continues), ce qui rend cette intégrale incalculable. Le champs d'application privilégié de cette thèse est l'inférence dans les modèles de génétique des populations. Pour mener leurs études, les généticiens des populations se basent sur l'information génétique extraite des populations du présent et représente la variable observée. L'information incluant l'histoire spatiale et temporelle de l'espèce considérée est inaccessible en général et représente la composante latente. Notre première contribution dans cette thèse suppose que la vraisemblance peut être évaluée via une approximation numériquement coûteuse. Le schéma d'échantillonnage préférentiel adaptatif et multiple (AMIS pour Adaptive Multiple Importance Sampling) de Cornuet et al. nécessite peu d'appels au calcul de la vraisemblance et recycle ces évaluations. Cet algorithme approche la loi a posteriori par un système de particules pondérées. Cette technique est conçue pour pouvoir recycler les simulations obtenues par le processus itératif (la construction séquentielle d'une suite de lois d'importance). Dans les nombreux tests numériques effectués sur des modèles de génétique des populations, l'algorithme AMIS a montré des performances numériques très prometteuses en terme de stabilité. Ces propriétés numériques sont particulièrement adéquates pour notre contexte. Toutefois, la question de la convergence des estimateurs obtenus par cette technique reste largement ouverte. Dans cette thèse, nous montrons des résultats de convergence d'une version légèrement modifiée de cet algorithme. Sur des simulations, nous montrons que ses qualités numériques sont identiques à celles du schéma original. Dans la deuxième contribution de cette thèse, on renonce à l'approximation de la vraisemblance et on supposera seulement que la simulation suivant le modèle (suivant la vraisemblance) est possible. Notre apport est un algorithme ABC séquentiel (Approximate Bayesian Computation). Sur les modèles de la génétique des populations, cette méthode peut se révéler lente lorsqu'on vise une approximation précise de la loi a posteriori. L'algorithme que nous proposons est une amélioration de l'algorithme ABC-SMC de Del Moral et al. que nous optimisons en nombre d'appels aux simulations suivant la vraisemblance, et que nous munissons d'un mécanisme de choix de niveaux d'acceptations auto-calibré. Nous implémentons notre algorithme pour inférer les paramètres d'un scénario évolutif réel et complexe de génétique des populations. Nous montrons que pour la même qualité d'approximation, notre algorithme nécessite deux fois moins de simula- tions par rapport à la méthode ABC avec acceptation couramment utilisée.

Cette thèse étudie l'effet de l'imprécision sur un opérateur intervenant dans la résolution d'un problème inverse. La problématique habituelle des problèmes inverses est l'approximation d'un signal d'entrée à partir de son image par un opérateur régularisant. A l'incertitude habituelle contaminant l'observation du signal de sortie, on ajoute cette erreur commise sur l'opérateur que l'on modélise par un processus Gaussien d'une certaine amplitude, potentiellement différente de la précédente. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas où l'opérateur en question est un opérateur à noyau, lorsque ce dernier est lui même bruité. Ce modèle recouvre par exemple les cas de la convolution de Fourier périodique, de Laplace/Volterra, ou bien la convolution sphérique. \\Nous développons des procédures statistiques d'estimation dans chacun de ces cas, en traitant de manière adéquate la nouvelle erreur commise sur le noyau selon la forme de la matrice associée à un schéma de Galerkin. Plus précisément, nous étudions le risque quadratique dans le cas où cette dernière est diagonale, diagonale par blocs ou bien triangulaire inférieure et de Toeplitz. Dans chacun de ces cas, nous mettons en évidence de nouvelles vitesses de convergence faisant intervenir de manière explicite les deux paramètres d'incertitude (sur le signal de sortie et sur le noyau) et dont nous prouvons l'optimalité au sens minimax. Enfin, nous étudions spécifiquement le cas de la déconvolution sphérique en mettant à profit les needlets sphériques, sorte d'équivalent d'ondelettes sur la sphère, dans la construction d'une procédure qui traite ce même problème pour un risque en norme Lp.

L'étude est associée aux problèmes de lois limites associées à un échantillon (X1,..,Xn). Le chapitre 1 est consacré à certains aspects de la loi multinomiale, et dégage une loi limite sur les valeurs extrêmes de problèmes d'occupation. Il améliore significativement les résultats de P.Revesz (1971-72), et conduit à des lois limites sur l'estimation de la densité dans Rs, par deux méthodes dites d'estimation par histogramme aléatoire. Le chapitre 2 est consacré à la loi conjointe des écarts inter-quantiles, et donne une nouvelle loi limite des extrêmes de ces écarts, généralisant les travaux de G.Tusnady (1974). Le chapitre 3 prolonge les travaux de ce dernier sur l'estimation de la densité par histogramme aléatoire. Le caractère asymptotiquement poissonnien de la loi multinomiale et de la loi de Dirichlet est mis en évidence dans des conditions très générales.