[pt] O principal objetivo deste trabalho é o estudo de representações que preservam tipo rho:Gamma - PU(2,1) de grupos triangulares Gamma no grupo de isometrias holomorfas do espaço hiperbólico complexo de dimensão dois H2C. O grupo triangular Gamma(p,q,r) é o grupo gerado por reflexões nos lados de um triângulo geodésico, com ângulos pi/p, pi/q e pi/r, no plano hiperbólico. Neste trabalho, nossas atenções são voltadas para os grupos Gamma (4,4,infinito) e Gamma(4,infinito,infinito). Demonstramos, entre outros resultados: Para cada caso, existe um caminho contínuo de representações rho_t que contém todas as representações que preservam tipo de Gamma em PU(2,1). Portanto, isto nos dá, em cada caso, uma descrição completa do espaço de representações de Gamma em PU(2,1). Para cada caso, existe um intervalo fechado J tal que rho_t é uma representação discreta e fiel se, e somente se, t pertence a J. Em cada caso, existe, na fronteira do espaço de deformações, uma representação com elementos parabólicos acidentais. Para demonstrar estes resultados, construímos parametrizações especiais de triângulos em H2C. Construímos poliedros fundamentais para os grupos e utilizamos uma variante do Teorema do Poliedro de Poincaré. / [en] The main aim of this work is to study type-preserving representations p: gamma PU(2, 1) of triangle groups _ in the group of holomorphic isometries of the twodimensional complex hyperbolic space H2C. The triangle group gamma(p, q, r) is the group generated by reflections in the sides of a geodesic triangle having angles pi/p, pi/q and pi/r. We focus our attention on the groups gamma(4,4, infinit) and gamma (4,infinit, infinit). Among other results, we prove that for each case: 1. There is a continuous path of representations pt which contains all type-preserving representations of gamma in PU (2,1) up to conjugation by isometries. This gives us a complete description of the representation space of gamma in PU(2,1). 2. There is a closed interval J such that pt is a discrete and faithful representation if and only if t belongs J. 3. On the boundary of the representation space there is a representation with accidental parabolic elements. To prove these results we give special parametrizations of triangles in H2C. We also build fundamental polyhedra for the groups and use a kind of Poincares Polyhedron Theorem.

On compact Riemann surfaces, the Laplacian $\Delta$ has a discrete, non-negative spectrum of eigenvalues $\{\lambda_{i}\}$ of finite multiplicity. The spectrum is intrinsically linked to the geometry of the surface. In this work, we consider surfaces of constant negative curvature with a large symmetry group. It is not possible to explicitly calculate the eigenvalues for surfaces in this class, so we combine group theoretic and analytical methods to derive results about the spectrum. In particular, we focus on the Bolza surface and the Klein quartic. These have the highest order symmetry groups among compact Riemann surfaces of genera 2 and 3 respectively. The full automorphism group of the Bolza surface is isomorphic to $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}. We analyze the irreducible representations of this group and prove that the multiplicity of $\lambda_{1}$ is 3, building on the work of Jenni, and identify the irreducible representation that corresponds to this eigenspace. This proof relies on a certain conjecture, for which we give substantial numerical evidence and a hopeful method for proving. We go on to show that $\lambda_{2}$ has multiplicity 4.

We obtain explicit formulae for Lagrangian representations of the (p, q, r)-triangle group into the group of direct isometries of the complex hyperbolic plane in the case where p=q=r. Numerically approximated matrix generators of representations of the (p, p, p)-triangle group are obtained using a special basis. The numerical approximations are then used to guess the exact generators by a process utilizing the LLL algorithm. The matrices are proved rigorously to generate Lagrangian representations of the (p, p, p)-triangle group and are applied to the problem of deciding whether or not an interval contains representations of the (p, p, p)-triangle group which are not discrete.

[pt] A quadratura do círculo é um dos problemas de construtibilidade com régua e compasso legados pela antiguidade clássica e entreteve alguns matemáticos por séculos a fio até que os avanços da Álgebra Moderna demostraram a impossibilidade de tal construção no plano euclideano. Entrementes, desenvolviam-se as chamadas Geometrias Não-Euclideanas, baseadas na substituição do Postulado V de Euclides (axioma das paralelas). O intuito deste trabalho é mostrar como é possível, sob certas condições, produzir um quadrilátero regular e um círculo de mesma área no plano hiperbólico usando apenas régua e compasso (hiperbólicos). Um exemplo é apresentado em detalhe, e as condições necessárias e suficientes para o êxito da construção são apresentadas e discutidas brevemente. / [en] Squaring the circle is one of the straightedge and compass constructibility problems whose inception goes back to classical antiquity and that have entertained some mathematicians in the centuries that followed. The development of Modern Algebra has shown beyond doubt that such a construction is impossible in the Euclidean plane. Meanwhile, the so called non-Euclidean Geometries appeared that were based on the replacement of Euclid s fifth postulate (the parallel axiom). The goal of this work is to show how it is possible — under certain constraints — to produce a regular quadrilateral and a circle of same area in the hyperbolic plane by means of (hyperbolic) straightedge and compass alone. An example is presented in full detail, and the necessary and sufficient conditions under which such construction is possible are briefly discussed.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-04-12Bitstream added on 2014-06-13T20:52:49Z : No. of bitstreams: 1 rossini_map_me_rcla.pdf: 3173837 bytes, checksum: 262f12484461eccfd7aff81dfec3e0c2 (MD5) / O principal objetivo deste trabalho foi contribuir para o ensino e aprendizagem da geometria hiperbólica, apresentando uma proposta que visa à introdução do estudo dessa geometria, utilizando o software Cabri - Géomètre II (menu hiperbólico) e, também, a régua e o compasso na abordagem dos conceitos fundamentais. Procedemos desta maneira por entendermos que estes recursos integrados podem cooperar para uma melhor compreensão e assimilação das noções apresentadas. Esta pesquisa tem abordagem do tipo qualitativa e foi desenvolvida seguindo a proposta metodológica de Romberg, e a coleta de dados se deu por meio de observações, anotações e fotos. A metodologia de resolução de problemas foi utilizada na elaboração das atividades, as quais foram aplicadas a alunos de um curso de graduação em engenharia elétrica. Os dados coletados foram analisados qualitativamente, buscando compreender como tais instrumentos educacionais associados podem auxiliar no processo ensino-aprendizagem desta geometria não-euclidiana. Ressaltamos que na evolução desta proposta foi possível reforçar o entendimento de conceitos da geometria euclidiana que são usados nas construções hiperbólicas / The ultimate goal of this essay is to contribute to the teaching and learning process of the hyperbolic geometry,introducing a proposal that aims for the presentation of the study of this geometry,making use of the software entitled Geomere Cabri ll ( hyperbolic menu ) and , also ,the ruler and the compasses in the approach of essential concepts. We followed this way of working as we understand that such resources when integrated, may cooperate in a better understanding and assimilation of those presented notions.This research has a qualitative kind of approach and was developed following the methodological proposal of Romberg, and we collect data by watching ,writing down notes and taking pictures.The methodology of problem solutions was deployed in the activities elaboration which were applied to students in an Electric Engineering degree course.The collected data were analyzed taking into account the quality, trying to understand how such educational tools together may help in the teaching- learningprocess of these no - Euclidian geometry concepts which are used in the hyperbolic constructions

Orientador: Claudemir Murari / Banca: Ruy Madsen Barbosa / Banca: Geraldo Perez / Resumo: O principal objetivo deste trabalho foi contribuir para o ensino e aprendizagem da geometria hiperbólica, apresentando uma proposta que visa à introdução do estudo dessa geometria, utilizando o software Cabri - Géomètre II (menu hiperbólico) e, também, a régua e o compasso na abordagem dos conceitos fundamentais. Procedemos desta maneira por entendermos que estes recursos integrados podem cooperar para uma melhor compreensão e assimilação das noções apresentadas. Esta pesquisa tem abordagem do tipo qualitativa e foi desenvolvida seguindo a proposta metodológica de Romberg, e a coleta de dados se deu por meio de observações, anotações e fotos. A metodologia de resolução de problemas foi utilizada na elaboração das atividades, as quais foram aplicadas a alunos de um curso de graduação em engenharia elétrica. Os dados coletados foram analisados qualitativamente, buscando compreender como tais instrumentos educacionais associados podem auxiliar no processo ensino-aprendizagem desta geometria não-euclidiana. Ressaltamos que na evolução desta proposta foi possível reforçar o entendimento de conceitos da geometria euclidiana que são usados nas construções hiperbólicas / Abstract: The ultimate goal of this essay is to contribute to the teaching and learning process of the hyperbolic geometry,introducing a proposal that aims for the presentation of the study of this geometry,making use of the software entitled Geomere Cabri ll ( hyperbolic menu ) and , also ,the ruler and the compasses in the approach of essential concepts. We followed this way of working as we understand that such resources when integrated, may cooperate in a better understanding and assimilation of those presented notions.This research has a qualitative kind of approach and was developed following the methodological proposal of Romberg, and we collect data by watching ,writing down notes and taking pictures.The methodology of problem solutions was deployed in the activities elaboration which were applied to students in an Electric Engineering degree course.The collected data were analyzed taking into account the quality, trying to understand how such educational tools together may help in the teaching- learningprocess of these no - Euclidian geometry concepts which are used in the hyperbolic constructions / Mestre

Orientador: Reginaldo Palazzo Junior / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-17T22:23:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Queiroz_CatiaReginadeOliveiraQuilles_D.pdf: 1560188 bytes, checksum: 2b21f95bbc77dac42e165eb38509518e (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Neste trabalho apresentamos a construção de códigos geometricamente uniformes derivados de grafos sobre anéis quocientes de inteiros e de ordens dos quatérnios. Inicialmente propomos um procedimento para a geração de códigos quase-perfeitos derivados de grafos sobre anéis quocientes de inteiros, que além de serem geometricamente uniformes, são capazes de corrigir mais padrões de erros que os códigos perfeitos, porém com uma menor cardinalidade. Além disso, observamos que os códigos perfeitos são um caso particular dos códigos quase-perfeitos. Os códigos geometricamente uniformes derivados de quocientes de ordens dos quatérnios foram obtidos de forma similar, porém a geometria relacionada é a hiperbólica e os códigos derivados estão no plano hiperbólico. A estrutura algébrica associada a essa classe de códigos não havia sido obtida até então para esta geometria. Apresentamos ainda um procedimento para o rotulamento de pontos gerados por tesselações do plano hiperbólico no disco de Poincaré, e obtemos a representação geométrica dos códigos obtidos / Abstract: In this work we present the construction of geometrically uniform codes derived from graphs over quotient rings of integers and quaternion orders. Initially we propose a procedure to generate quasi-perfect codes derived from graphs over quotient rings of integers, which in addition to preserving the property of being geometrically uniform codes they are able to correct more error patterns than the perfect codes, by decreasing its cardinality. Furthermore, we observe that the perfect codes are a particular case of the quasi-perfect codes. The geometrically uniform codes derived from quotient of the quaternion orders are obtained similarly as in the previous case, however the related geometry is the hyperbolic and the derived codes are on the hyperbolic plane. The algebraic structure associated with this class of codes had not been obtained so far for this geometry. We also present a procedure for labeling the points generated by tesselations of the Poincaré disk, and showing the geometric representation of the aforementioned codes / Doutorado / Telecomunicações e Telemática / Doutor em Engenharia Elétrica

Orientadores: Reginaldo Palazzo Junior, Eduardo Brandani da Silva / Tese (doutorado) - Universidade Estadula de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-13T12:13:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Albuquerque_ClariceDiasde_D.pdf: 1059216 bytes, checksum: 2cecc7c883d512057587e36d3635e775 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho apresentamos um amplo estudo de códigos quânticos topológicos, trazendo inovação para esta área. Inicialmente geramos novos códigos quânticos teóricos, dentre os quais se destaca a classe [[d2,2,d]] cujos parâmetros são os melhores ate então apresentados para este tipo de código. Nesta proposta sistematizamos a construção de códigos teóricos baseados em teoria de grupos e também em analise combinatória. Com respeito aos códigos quânticos topológicos em superfícies com gênero g = 2, apresentamos uma construção baseada em geometria hiperbólica, generalizando a construção de Kitaev. Reproduzimos e ampliamos a classe de códigos quânticos com distancia 3 decorrentes de mergulhos de grafos completos em superfícies com gêneros específicos obtidos primeiramente por Bombin e Martin-Delgado, com o diferencial de descreve-los geometricamente e exibir claramente seus parâmetros. Obtemos uma classe de códigos MDS Maximum Distance Separable). Explicitamos em tabelas os melhores códigos para superfícies com gênero g = 2,3,4 e 5 obtidos a partir dessa construção, e analisamos esses resultados. / Abstract: In this work we present an extensive study of topological quantum codes. As a consequence, new promising ideas, concepts and results are also presented. First of all, new toric quantum codes are constructed among which the [[d2,2,d]] class stands out as the best known so far. This proposed construction of toric codes is realized based upon group theory and combinatorial analysis. Regarding the topological quantum codes in surfaces with genus g = 2, we consider a construction method based on hyperbolic geometry and so generalizing Kitaev's construction. We reproduce and enlarge the class of quantum codes with distance 3 as a consequence of the embedding of complete graphs in surface with specific genus. This class was first proposed by Bombin andMartin-Delgado. The latter class is geometrically described and its parameters are explicitly exhibited. We also obtain a class of MDS (Maximum Distance Separable) codes in surfaces with genus g = 2,3,4 and 5, obtained by the proposed construction are tabulated and analyzed. / Doutorado / Telecomunicações e Telemática / Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Edson Agustini / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação / Made available in DSpace on 2018-08-11T06:10:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arcari_Inedio_M.pdf: 2739163 bytes, checksum: 0ea17bdba620035f3cb29f9033fab926 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: A presente dissertação é um texto introdutório de Geometria Hiperbólica com alguns resultados e comentários de Geometria Elíptica. Nossa intenção foi compilar um material que possa ser utilizado em cursos introdutórios de Geometria Hiperbólica tanto em nível de licenciatura quanto de bacharelado. Para tornar o texto mais acessível, notas históricas sobre a bela página do desenvolvimento das Geometrias Não Euclidianas foram introduzidas logo no primeiro capítulo. Procuramos ilustrar fartamente o texto com figuras dentre as quais várias que foram baseadas no Modelo Euclidiano do Disco de Poincaré para a Geometria Hiperbólica. Atualmente, o estudo de Geometria Hiperbólica tem sido bastante facilitado pelo uso de softwares de geometria dinâmica, como o Cabri-Géometre, GeoGebra e NonEuclid, sendo esses dois últimos softwares livres / Abstract: The present work is an introductory text of Hyperbolic Geometry with some results and comments of Elliptic eometry. Our aim in this work were to compile a material that can be used as introduction to Hyperbolic Geometry inundergraduated courses. In the first chapter we introduced historical notes about the beautiful development of the Non Euclid Geometries in order to turn the text more interesting and accesible. We illustrated the text with many figures which were done on the Euclidean Model of the Poincaré' s Disk for the Hyperbolic Geometry. In this way, the study of Hyperbolic Geometry has been softened by the use of softwares of dynamic geometry, like Cabri-Geométre and the freeware softwares GeoGebra and NonEuclid / Mestrado / Mestre em Matemática

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-07-03T19:23:35Z No. of bitstreams: 1 josecarlosvalerio.pdf: 982623 bytes, checksum: 72d4cd36b83464bfd6a83caee289315d (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-08-08T13:23:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 josecarlosvalerio.pdf: 982623 bytes, checksum: 72d4cd36b83464bfd6a83caee289315d (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-08T13:23:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 josecarlosvalerio.pdf: 982623 bytes, checksum: 72d4cd36b83464bfd6a83caee289315d (MD5) Previous issue date: 2017-05-04 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Na presente dissertação será introduzido o desenvolvimento histórico da Geometria Hiperbólica. Será apresentado o quinto postulado de Euclides, de acordo com o ponto de vista dos Axiomas de Hilbert, correlacionando-os com os resultados da Geometria Neutra. Serão apresentados e provados alguns resultados da Geometria Hiperbólica, no que diz respeito às propriedades das retas paralelas, dos triângulos generalizados e seus critérios de congruência. Por fim, serão discutidas as propriedades que são válidas tanto para a Geometria Euclidiana quanto Hiperbólica, enfatizando que a principal diferença entre elas é o postulado das paralelas. / In the present dissertation we will introduce the historical development of the hyperbolic geometry. We will present Euclid’s fifth postulate from the Hilbert’s axioms point of view and we will correlate them with results of the Neutral Geometry. We will present and prove some results of the Hyperbolic Geometry, regarding the properties of the parallel lines, and the generalized triangles and their congruence criteria. At last, we will discuss the proprieties which are valid in both Euclidean and Hyperbolic Geometry, and we will emphasize that the main difference between them is the parallel postulate.