Es werden verschiedene Stetigkeitskonzepte, die in der statistischen Theorie und Methodik eine Rolle spielen, erläutert.

Das vorliegende Skript ist aus einer Lehrveranstaltung hervorgegangen, die von mir mehrere Jahre an der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der TU Dresden gehalten wurde. Diese Lehrveranstaltung hatte erst die Bezeichnung "Monetäre Risikomaße" und später "Risikomaße". Mehrere frühere Fassungen dieses Skripts, das häufig überarbeitet und erweitert wurde, trugen den Namen Monetäre Risikomaße (Auflagen 1 bis 7). Die einzelnen Kapitel enthalten in der Regel die drei abschließenden Abschnitte "Übungsaufgaben", "Beweise" und "Ergänzung und Vertiefung" mit Material zum jeweiligen Kapitel, das nicht in der Vorlesung vorgetragen wurde.

[ES] Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales para modelizar y analizar sistemas dinámicos en Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales permiten a los ingenieros describir cómo cambian en el tiempo y/o en el espacio las magnitudes físicas como, por ejemplo, la posición de un sistema vibratorio (como puede ser un muelle), la deflexión de un estructura mecánica (como puede ser una viga), etc. Por otra parte, muchos sistemas del mundo real están afectados por incertidumbres. Por ejemplo, los errores de medición, la comprensión incompleta de fenómenos físicos complejos, el ruido termal en los circuitos electrónicos o las variaciones en las propiedades de los materiales debido a su heterogeneidad son factores que involucran cierto nivel de aleatoriedad que debe tenerse en cuenta en la modelización. Esta modelización suele realizarse en muchos casos mediante ecuaciones diferenciales que, por tanto, contienen en su formulación magnitudes con incertidumbre, dando lugar a ecuaciones diferenciales aleatorias/estocásticas. Proporcionar métodos rigurosos para estudiar dichas ecuaciones es fundamental para desarrollar soluciones robustas y fiables de problemas de Ingeniería. Esta tesis presenta un análisis probabilístico de tres clases de problemas de Ingeniería Mecánica, como son los sistemas vibratorios (osciladores), las estructuras mecánicas (deflexión de vigas) y un problema mecánico modelado por una ecuación diferencial fraccionaria aleatoria. A lo largo del trabajo se han aplicado diferentes técnicas probabilísticas para lograr una comprensión más profunda del comportamiento de estos sistemas bajo excitaciones aleatorias. Además, en esta tesis nos hemos centrado en construir aproximaciones, no sólo de los momentos estadísticos principales (media, varianza, etc.), sino también la función de densidad de probabilidad de la respuesta (solución) de los distintos modelos estudiados. Proporcionar una descripción probabilística completa de este tipo de modelos mecánicos es un tema que ha atraído un notable interés tanto de matemáticos como de ingenieros durante las últimas décadas. En primer lugar, se estudian dos osciladores aleatorios no lineales en los que el término de restauración depende de la posición, en el primer caso, y de la posición y la velocidad, en el segundo. El término no lineal está afectado por un pequeño parámetro de perturbación. Como en ambos casos no podemos obtener la solución explícitamente, utilizaremos el método de perturbación estocástica para construir aproximaciones de la solución estocástica y sus primeros momentos estadísticos. Esto, en combinación con el principio de máxima entropía, nos permitirá obtener aproximaciones de la función de densidad de probabilidad estacionaria de la solución. En segundo lugar, se aborda el estudio de dos modelos estáticos aleatorios que describen la deflexión de una viga en voladizo. Se distinguen dos escenarios con respecto al tipo de procesos estocásticos que modelan la distribución de la carga que soporta la viga, y suponiendo que algunos parámetros del modelo, como el módulo de Young o el parámetro de rigidez flexural, pueden ser aleatorios. Adaptamos convenientemente distintas técnicas estocásticas para calcular de forma exacta o aproximada la función de densidad de probabilidad de la deflexión de la viga en voladizo en cada uno de los dos modelos antes mencionados. Por último, se revisita un modelo sencillo propuesto recientemente para estudiar una clase de osciladores aleatorios formulados mediante la derivada fraccionaria de Caputo. Concretamente se construyen aproximaciones de la función de densidad de probabilidad de la respuesta estocástica aprovechando el método de transformación de variables aleatorias adaptado a procesos estocásticos. En este estudio se dan condiciones suficientes sobre los parámetros (que son variables aleatorias) del modelo para garantizar la convergencia de estas aproximaciones. / [CA] Les equacions diferencials són ferramentes fonamentals per a modelitzar i analitzar sistemes dinàmics en Enginyeria. Les equacions diferencials permeten als enginyers descriure com canvien en el temps i/o l'espai les magnituds físiques com, per exemple, la posició d'un sistema vibratori (com pot ser un moll), la deflexió d'una estructura mecànica (com pot ser una viga), etc. Per altra banda, molts sistemes del món real estan afectats per incerteses. Per exemple, els errors de mesurament, la comprensió incompleta de fenòmens físics complexos, el soroll termal en els circuits electrònics i les variacions en les propietats dels materials a causa de la seua heterogeneïtat són factors que involucren cert nivell d'aleatorietat que ha de tindre's en compte en la modelització. Esta modelització sol realitzar-se en molts casos mitjançant equacions diferencials que, per tant, contindrà en la seua formulació incertesa, donant lloc a equacions diferencials aleatòries/estocàstiques. Proporcionar mètodes rigorosos per a estudiar estes equacions és fonamental per a desenvolupar solucions robustes i fiables de problemes d'Enginyeria. Esta tesi presenta una anàlisi probabilística de tres classes de problemes d'Enginyeria Mecànica, com són els sistemes vibratoris (oscil·ladors), les estructures mecàniques (deflexió de bigues) i un problema mecànic modelat per una equació diferencial fraccionària aleatòria. Al llarg del nostre treball, hem aplicat diferents tècniques matemàtiques per a aconseguir una comprensió més profunda del comportament d'estos sistemes sota excitacions aleatòries. A més a més, en esta tesi ens hem centrat en construir aproximacions, no sols dels moments estadístics principals (mitjana, variància, etc.), sinó també la funció de densitat de probabilitat de la resposta (solució) dels diferents models estudiats. Proporcionar una descripció probabilística completa d'esta mena de models mecànics és un tema que ha atret l'interés tant de matemàtics com d'enginyers durant les últimes dècades. En primer lloc, estudiem dos oscil·ladors aleatoris no lineals en els quals el terme de restauració depén de la posició, en el primer cas, i de la posició i la velocitat, en el segon. El terme no lineal està afectat per un xicotet paràmetre de pertorbació. Com en tots dos casos no podem obtindre la solució explícitament, utilitzarem el mètode de pertorbació estocàstica per a construir aproximacions de la solució estocàstica i els seus primers moments estadístics. Això, en combinació amb el principi de màxima entropia, ens permetrà obtindre aproximacions fiables de la funció de densitat de probabilitat estacionària de la solució. En segon lloc, s'aborda l'estudi de dos models estàtics aleatoris que descriuen la deflexió d'una biga en volada. Distingim dos escenaris diferents respecte al tipus de processos estocàstics que modelen la distribució de la càrrega que suporta la biga i suposant aleatorietat per a alguns paràmetres del model, com el mòdul de Young o el paràmetre de rigidesa flexural. Adaptem convenientment diferents tècniques estocàstiques per a calcular de manera exacta o aproximada la funció de densitat de probabilitat de la deflexió de la biga en volada en cadascun dels dos models abans esmentats. Finalment, es revisita un model senzill proposat recentment per a estudiar una classe d' oscil·ladors aleatoris formulats mitjançant la derivada fraccionària de Caputo. Concretament, es construïxen aproximacions de la funció de densitat de probabilitat de la resposta estocàstica aprofitant el mètode de transformació de variables aleatòries adaptat a processos estocàstics. En este estudi es donen condicions suficients sobre els paràmetres (que són variables aleatòries) del model per a garantir la convergència d'estes aproximacions. Els resultats d'este estudi poden ser d'utilitat per emprendre en el futur l'estudi d' oscil·ladors aleatoris més complexos formulats mitjançant equacions diferencials fraccionàries. / [EN] Differential equations in Engineering are fundamental tools for modelling and analysing dynamical systems. Differential equations allow engineers to describe how physical quantities change over time and/or space, such as vibratory systems, mechanical structures, etc. However, many real-world systems are influenced by uncertainties. For instance, measurement errors, incomplete understanding of complex physical phenomena, random fluctuations like electronic circuit noise, and unpredictable material properties variations are aleatoric factors. Understanding both deterministic and random/stochastic differential equations is, therefore, vital for developing robust and reliable engineering solutions in a random world. This thesis presents a comprehensive probabilistic analysis of three mechanical engineering problems: vibratory systems (oscillators), mechanical structures (deflection of beams), and a foundational mechanical problem modelled by a random fractional differential equation. Throughout our work, we have applied different mathematical techniques to better understand these system's behavior under random excitations. A significant focus has been on accurately approximating not only the main statistical moments but also the probability density function of the model's response (solution) of the models studied throughout this dissertation. Providing a complete probabilistic description of such types of mechanical models is a topic that has attracted the interest of mathematicians and engineers during the last decades. In the first place, we will study two nonlinear random oscillators where the restoring term depends on the position, in the first case, and on the position and velocity, in the second one. The nonlinear term is affected by a small perturbative parameter. As in both cases, we cannot obtain the solution explicitly, we will use the stochastic perturbation method to construct approximations of the stochastic solution and its first statistical moments. This, in combination with the principle of maximum entropy, will result in obtaining reliable approximations of the stationary probability density function of the response. Second, we will study two models describing the deflection of a random static cantilever beam. We distinguish two different scenarios with respect to the type of stochastic processes modelling the distribution of the load spanned the beam and assuming randomness for some model parameters such as the Young's modulus or the flexural rigidity parameter. We then conveniently adapt different stochastic techniques to calculate exactly or approximately the probability density function of the deflection of the cantilever. Finally, we will revisit a simple model recently proposed to study a class of random oscillators formulated via the Caputo fractional derivative. We will construct approximations of the probability density function of the stochastic response, taking advantage of the random variable transformation method. We rigorously prove the convergence of these approximations under mild conditions of the model's parameters. This approach can inspire the study of more complex oscillators formulated via fractional differential equations. / López Navarro, E. (2024). Advances on Differential Equations with Uncertainties and their Applications to Probabilistic Mechanics Engineering [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213333

Today’s communication systems are in need of spectrally efficient and high throughput techniques more than ever because of high data rate applications and the scarcity and expense of bandwidth. To cope with increased data rate demands, more base stations are needed which is not cost and energy efficient in cellular networks. It has been shown that wireless relay networks can provide higher network throughput and increase power efficiency with low complexity and cost. Furthermore, network resources can be utilized more efficiently by using network coding in relay networks. A wireless relay network in which multiple nodes exchange information with the help of relay node(s) is called a multi-way relay channel (MWRC). MWRCs are expected to be an integral part of next generation wireless standards. The main focus of this dissertation is the investigation of transmission schemes in an MWRC to improve the throughput and error performance. An MWRC with full data exchange is assumed in which a half-duplex relay station (RS) is the enabler of communication. One of the challenges with signal demodulation in MWRCs is the existence of ambiguous points in the received constellation. The first part of this dissertation investigates a transmission scheme for full data exchange in MWRC that benefits from these points and improves its throughput by 33% compared to traditional relaying. Then an MWRC is considered where a RS assists multiple nodes to exchange messages. A different approach is taken to avoid ambiguous points in the superposition of user symbols at the relay. This can be achieved by employing complex field network coding (CFNC) which results in full data exchange in two communication phases. CFNC may lead to small Euclidean distances between constellation points, resulting in poor error performance. To improve this performance, the optimal user precoding values are derived such that the power efficiency of the relay constellation is highest when channel state information is available at the users. The error performance of each user is then analyzed and compared with other relaying schemes. Finally, focusing on the uplink of multi-way relay systems, the performance of an MWRC is studied in which users can employ arbitrary modulation schemes and the links between the users and the relay have different gains, e.g. Rayleigh fading. Analytical expressions for the exact average pairwise error probability of these MWRCs are derived. The probability density function (PDF) and the mean of the minimum Euclidean distance of the relay constellation are closely approximated, and a tight upper bound on the symbol error probability is developed. / Graduate

Η εκπόνηση της συγκεκριμένης Μεταπτυχιακής Εργασίας, εξετάζει, καταρχήν, την έννοια της πιθανότητας και τις βασικές ιδιότητές της, όπως την τυχαία μεταβλητή και τη συνάρτηση κατανομής. Παράλληλα όμως, παρουσιάζει στοιχεία βασικών διακριτών και συνεχών κατανομών, όπως της κανονικής, της ομοιόμορφης, της Poisson, και άλλων κατανομών της γραμμικής στατιστικής. Στη συνέχεια, αναφέρεται στις βασικές έννοιες της περιγραφικής στατιστικής, όπως οργάνωση και γραφική αναπαράσταση στατιστικών δεδομένων, ομαδοποίηση παρατηρήσεων, ιστόγραμμα συχνοτήτων, καθώς και περιγραφικά μέτρα γραμμικών δεδομένων. Κυρίως, όμως, η παρούσα μελέτη αποτελεί μία γενική επισκόπηση των στατιστικών μεθόδων παρουσίασης και ανάλυσης των περιοδικών δεδομένων. Με τον όρο "περιοδικά δεδομένα", εννοούμε τυχαίες διευθύνσεις και κατευθύνσεις προσανατολισμού. Η παρουσίασης των τυχαίων γωνιών, των γραφικών αναπαραστάσεων των περιοδικών δεδομένων καθώς και των περιγραφικών μέτρων - μέτρα θέσεως, διασποράς, λοξότητας, κυρτώσεως - θα μας οδηγήσουν σε μία καλύτερη προσέγγιση, κατανόηση των περιοδικών κατανομών. Επιπλέον, θα παρουσιαστούν αναλυτικά οι βασικές περιοδικές κατανομές, ομοιόμορφη και Von Mises κατανομή. Όμως, θα εξεταστούν και άλλες κατανομές μονοκόρυφες ή πολυκόρυφες, όπως οι περιελιγμένες κατανομές , η συνημίτονο και η καρδιοειδής κατανομή, οι λοξές κατανομές κ.ά. Τέλος, η εργασία θα αναφερθεί σε μία οικογένεια συμμετρικών περιοδικών κατανομών που προτάθηκε από τον κύριο Παπακωνσταντίνου και αποτελεί επέκταση της καρδιοειδούς κατανομής,σύμφωνα με εργασία των επιστημόνων Toshihiro Abe,Arthur Pewsey,Kunio Shimizu, παρέχοντας σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες οικογένειες κατανομών. / The preparation of this thesis examines, in principle,the concept of probability and its basic properties, such as the random variable and distribution function and presents data of basic discrete and continuous distributions, including normal, uniform, the Poisson, and other distributions of linear statistics. Then it refers to the basic concepts of descriptive statistics, such as the organization and the graphic representation of statistical data, grouping observations Frequency histogram as well as descriptive measures of linear data. Mostly, though, this study represents an overview of statistic methods of presentation and analysis of periodic data. By the term "periodic data" we mean random addresses and directions orientation. The presentation of random angles, graphic representations of periodic data and descriptive measures - measures of location, dispersion, skewness and kurtosis - will lead us to a better approach and understanding of periodic distributions. Furthermore, we present in detail the basic periodic distributions, the uniform and the Von Mises distribution. But other unimodal and multimodal distributions will be examined such as wrapped distributions, the cosine and cardioid distribution, skewed distributions, etc. Finally, this thesis will mention a family of symmetric periodic distributions proposed by Mr. Papakonstantinou and an extension of the cardioid distribution, according to the paper published by the scientists Toshihiro Abe,Arthur Pewsey and Kunio Shimizu, where significant advantages are provided over other families of distributions.

The thesis presents methods and criteria for creation and optimization of design of computer experiments. Using the core of a program Freet the optimized designs were created by combination of these methods and criteria. Then, the suitability of the designs for statistical analysis of the tasks vith input random variables was assessed by comparison of the obtained results of six selected functions and the exact (analytically obtained) solutions. Basic theory, definitions of the evaluated functions, description of the setting of optimization and the discussion of the obtained results, including recommendations related to identified weaknesses of certain designs, are presented. The thesis also contains a description of an application that was created to display the results.