[pt] O estudo computacional de uniões de bolas possui aplicações em diversas áreas da Matemática. O objetivo principal deste trabalho é propor uma simplificação de união de bolas em R2 através de um movimento que obedece as direções do eixo medial, procurando preservar os grandes elementos geométricos da união de bolas. A desconexão ou não das formas é um aspecto essencial da evolução. Em alguns casos, pode significar uma divisão importante do objeto. Em outros, pode ser indesejada, pois gostaríamos de ter uma versão conexa simplificada da forma. / [en] The computational study of unions of balls has applications in several domains of the Mathematics. The purpose of this dissertation is to propose a simplification of the union of balls in R2 through a movement that obeys the direction of the medial axis in order to simplify it, maintaining the major geometric elements of its shape. The disconnection of the shape is an essential property of the evolution. In some cases, it could mean an important division of the object. In others, it may be undesirable because we would like to have a simplified version connected of this shape.

[pt] A regularidade de Catelnuovo-Munford r de uma variedade V contida no espaço projetivo P, n, k é um limite superior para o grau das hipersuperfícies que definem V. Neste trabalho damos uma cota superior para r quando V é uma curva aritmeticamente Cohen-Macaulay e subcanônica que é invariante por um campo vetorial sobre o espaço projetivo P, n, k (com coeficientes em um fibrado de retas), sob certas condições no corpo k. Além disso, damos uma cota superior para r (ou ainda, para o grau de V), quando V é uma hipersuperfície solução de um campo de Pfaff de posto 1 sobre o espaço projetivo P, n, k, sob certas condições no corpo k. Estes limites obtidos são generalizações do limite dado por E. Esteves em [17]. / [en] The Castelnuovo-Mumford regularity r of the variety V contained in a projective space P, n, k is an upper bound for the degrees of the hypersurfaces necessary to cut out V. In this work we give a bound for r when V is an arithmetically Cohen-Macaulay and sub-canonical curve which is invariant by a vector field on projective space P, n, k with coefficients in an invertible sheaf, under some conditions on the field k. Furthermore, we give a bound for r (i.e.for the degree of the V) when V is a hypersurface solution of the Pfaff equation of the rank 1, under some conditions on the field k. In both limits we consider the positions of the singularities of the V. These limits are the generalizations of the bounds given by E. Esteves in [17].

[pt] O principal objetivo deste trabalho é o estudo de representações que preservam tipo rho:Gamma - PU(2,1) de grupos triangulares Gamma no grupo de isometrias holomorfas do espaço hiperbólico complexo de dimensão dois H2C. O grupo triangular Gamma(p,q,r) é o grupo gerado por reflexões nos lados de um triângulo geodésico, com ângulos pi/p, pi/q e pi/r, no plano hiperbólico. Neste trabalho, nossas atenções são voltadas para os grupos Gamma (4,4,infinito) e Gamma(4,infinito,infinito). Demonstramos, entre outros resultados: Para cada caso, existe um caminho contínuo de representações rho_t que contém todas as representações que preservam tipo de Gamma em PU(2,1). Portanto, isto nos dá, em cada caso, uma descrição completa do espaço de representações de Gamma em PU(2,1). Para cada caso, existe um intervalo fechado J tal que rho_t é uma representação discreta e fiel se, e somente se, t pertence a J. Em cada caso, existe, na fronteira do espaço de deformações, uma representação com elementos parabólicos acidentais. Para demonstrar estes resultados, construímos parametrizações especiais de triângulos em H2C. Construímos poliedros fundamentais para os grupos e utilizamos uma variante do Teorema do Poliedro de Poincaré. / [en] The main aim of this work is to study type-preserving representations p: gamma PU(2, 1) of triangle groups _ in the group of holomorphic isometries of the twodimensional complex hyperbolic space H2C. The triangle group gamma(p, q, r) is the group generated by reflections in the sides of a geodesic triangle having angles pi/p, pi/q and pi/r. We focus our attention on the groups gamma(4,4, infinit) and gamma (4,infinit, infinit). Among other results, we prove that for each case: 1. There is a continuous path of representations pt which contains all type-preserving representations of gamma in PU (2,1) up to conjugation by isometries. This gives us a complete description of the representation space of gamma in PU(2,1). 2. There is a closed interval J such that pt is a discrete and faithful representation if and only if t belongs J. 3. On the boundary of the representation space there is a representation with accidental parabolic elements. To prove these results we give special parametrizations of triangles in H2C. We also build fundamental polyhedra for the groups and use a kind of Poincares Polyhedron Theorem.

[pt] Vamos apresentar neste trabalho dois métodos para calcular as propriedades diferenciais geométricas de uma curva discreta no R4. O primeiro é baseado em aproximações por comprimento de arco. O segundo é baseado na metodologia de derivação discreta. Esses métodos estimam numericamente as curvaturas k1, k2 e k3 e os vetores tangente, normal, binormal e trinormal para cada ponto da curva. São apresentados também cálculos dessas propriedades geométricas para curvas tanto na forma paramétrica como na forma implícita, com o objetivo final de testar a consistência dos métodos propostos comparando-os aos resultados teóricos. / [en] We present new algorithms for computing the diferential geometry properties of a discrete curve in R4 based on two different methods: arc-lenght aproximation and discrete derivatives.

[pt] A quadratura do círculo é um dos problemas de construtibilidade com régua e compasso legados pela antiguidade clássica e entreteve alguns matemáticos por séculos a fio até que os avanços da Álgebra Moderna demostraram a impossibilidade de tal construção no plano euclideano. Entrementes, desenvolviam-se as chamadas Geometrias Não-Euclideanas, baseadas na substituição do Postulado V de Euclides (axioma das paralelas). O intuito deste trabalho é mostrar como é possível, sob certas condições, produzir um quadrilátero regular e um círculo de mesma área no plano hiperbólico usando apenas régua e compasso (hiperbólicos). Um exemplo é apresentado em detalhe, e as condições necessárias e suficientes para o êxito da construção são apresentadas e discutidas brevemente. / [en] Squaring the circle is one of the straightedge and compass constructibility problems whose inception goes back to classical antiquity and that have entertained some mathematicians in the centuries that followed. The development of Modern Algebra has shown beyond doubt that such a construction is impossible in the Euclidean plane. Meanwhile, the so called non-Euclidean Geometries appeared that were based on the replacement of Euclid s fifth postulate (the parallel axiom). The goal of this work is to show how it is possible — under certain constraints — to produce a regular quadrilateral and a circle of same area in the hyperbolic plane by means of (hyperbolic) straightedge and compass alone. An example is presented in full detail, and the necessary and sufficient conditions under which such construction is possible are briefly discussed.

[pt] No presente trabalho apresentamos um estudo de curvas silhuetas discretas sobre alguns tipos particulares de malhas, com o objetivo de avaliar propriedades dessas curvas. Nosso objeto de estudo são malhas quadrangulares, ou seja, onde todas as faces sejam quadriláteros e também sejam planares. Em particular dois tipos de malhas são discutidas: circular e cônica. Essas malhas são particularmente interessantes em arquitetura para modelagem de estrutura de vidros. A geração das malhas é feita aplicando-se um processo de otimização e em seguida, sobre essas malhas, definimos curvas discretas como candidatas a silhuetas e buscamos medidas de qualidade para essas curvas. / [en] In this work we study discrete silhouette curves on Planar Quad meshes (PQ meshes), with the objective of evaluate some properties of these curves. PQ meshes correspond to planar quadrilaterals meshes, and our interest is focused particularly on two kinds of meshes: Conical and Circular. They are interesting in architecture for design with glass structures. An optimization process is applied for the mesh generation and we follow defining discrete curves on the meshes to obtain silhouette and to measure their quality.

[pt] O estudo das Curvas Cônicas tem sido cada vez menos abordado no Ensino Médio e, nos poucos casos em que tal abordagem é apresentada, verifica-se uma prioridade indevida à memorização de equações. Por outro lado, embora a eficiência do Origami não seja divulgada com frequência no ensino de assuntos matemáticos de maior complexidade, existe uma geometria axiomática consistente por trás desta arte de dobrar papéis que a torna um instrumento de ensino capaz de explorar, com clareza, propriedades e definições de assuntos matemáticos. O presente trabalho pretende unir esses dois elementos, curvas cônicas e origami, com o intuito de desenvolver conceitos do primeiro a partir de construções do segundo. Desta forma, faz-se um relato histórico e conceitual sobre as Curvas Cônicas; descreve-se a importância do Origami e seu uso no ensino da Matemática; apresenta-se o estudo das sete possibilidades para uma única dobragem no Origami conhecidas como os axiomas de Huzita-Hatori com o objetivo de sugerir o uso das dobraduras no estudo da elipse, da parábola e da hipérbole no Ensino Médio das escolas do país. A fim de divulgar o Origami como um recurso eficiente e interessante no ensino das Cônicas e validar a pesquisa apresentada, uma oficina foi desenvolvida, aplicada, avaliada e aprimorada num pequeno grupo de estudantes de Licenciatura em Matemática e seus resultados estão aqui expostos. / [en] The study of Conic Curves has been each time less approached at High School and, in those few cases it is presented, it s possible to verify an improperly prioritized of equation memorizations. On the other hand, although the efficiency of the Origami is not often divulged at teaching mathematical subjects of greater complexity, there is a consistent axiomatic geometry behind this art of folding papers that makes it an a teaching tool able to explore, clearly, the properties and definitions of mathematical subjects. This study aims to join these two elements, conic curves and origami, in order to develop concepts from the first to building the second one. This way, it can make a historical and conceptual essay about the Conic Curves; describing the importance of the Origami and its use in Mathematics teaching; presenting the study of the seven possibilities for a single folding in Origami known as Huzita-Hatori s axioms in order to suggest the use of the folding in the study of ellipse, parable and hyperbole at High Schools all over the country. Divulging the Origami as an efficient and interesting resource in the teaching of the Conics and validate this research, a workshop was developed, applied, evaluated and improved in a small group of students of Degree in Mathematics and its results are exposed here.

[pt] O estudo de geometria, em particular área de polígonos simples, é pouco trabalhado em sala de aula, sendo assim o presente trabalho tem como finalidade apresentar o Teorema de Pick, com algumas demonstrações, como ferramenta de cálculo de área. Atenção especial é necessária para polígonos simples mas não necessariamente convexos. Além disso discutimos outros Teoremas relacionados, como Jordan e Euler. Espera-se que esta pesquisa se some a outras no sentido de contribuir para o ensino de matemática de forma qualitativa, podendo se utilizar de técnicas aqui abordadas ou ainda serem adaptadas às diversas realidades para o seu melhor aproveitamento. / [en] The study of plane geometry, in particular the computation of areas of simple polygons, is little explored in the classroom. Our aim here is to state and prove Pick s Theorem. We also present sever al examples and more than one proof. Simple polygons (which are not necessarily convex) receive special attention. We also consider some related results, such as the theorems of Jordan and Euler. It is hoped that this re e arch will contribute to the teaching of mathematics in a qualitative way.

[pt] Este trabalho situa-se numa das linhas de pesquisa da PUC-Rio de projeto de unidades flutuantes tais como, navios e plataformas semi-submersíveis. Nesta linha de pesquisa estão sendo desenvolvidos os programas gráficos MG (Mesh Generator) e o Sstab. O primeiro programa é um modelador geométrico por meio de seções transversais e gerador de malhas para modelos de estruturas flutuantes. O segundo programa é utilizado para a análise de estabilidade estática dos modelos gerados pelo MG. Este trabalho propõe um ambiente integrado de modelagem e de análise estática e dinâmica de estruturas flutuantes. O principal diferencial deste ambiente está no fato de possibilitar a geração automática de variantes de um determinado modelo padrão, a fim de atingir uma configuração desejada, seja no aspecto geométrico ou com relação a sua estabilidade estática. Este ambiente faz uso da linguagem Lua e é possível definir variáveis globais para serem utilizadas como parâmetros de modelagem que extraem, ou modificam, dados como comprimento, largura, altura etc. É possível parametrizar um modelo qualquer, em função de variáveis escolhidas pelo usuário, o que possibilita uma modelagem automática, com a variação de alguns destes parâmetros. Foram ainda desenvolvidas algumas ferramentas auxiliares que facilitam a modelagem de uma estrutura flutuante. Estas ferramentas verificam a consistência topológica de uma malha, gerar uma subdivisão gradativa das curvas cortadas e simplificar as novas malhas geradas. É possível também detectar se o modelo possui simetria num determinado plano e realizar, de forma automática, cortes do modelo final para diferentes calados. / [en] This work is related to the PUC-Rio research area of vessel´s designs such as ships and semi-sub platforms. In this research area two softwares have been developed: MG and Sstab. The first is a geometric modeler based on cross sections and also on a mesh generator; the second is a software for the analysis of static and dynamic stability of MG models. This work proposes an integrated environment for modeling, and static and dynamic analysis of vessels. The main advantage of the proposed environment is that it is possible to obtain automatically variants of a specific model in order to achieve a desired configuration, not only in relation to geometry but also concerning the static stability aspect. This environment uses the Lua programming language and it is possible to define global variables to be used as parameters which retrieve or modify modeling values such as length, width, height, and so on. Any model can be parameterized, as a function of user chosen variables, which allows an automatic modeling with the variation of those parameters. There has been also developed some auxiliary tools which help the modeling of floating structures. Those tools verify the topological consistency of a mesh, generate a gradual subdivision of intersected curves and simplify the new generated meshes. They are also able to detect if the model has symmetry in relation to a certain plane, and sections can be automatically obtained according to different draughts.

[pt] A confiabilidade dos dados coletados diretamente ao longo do caminho de poços de petróleo é maior que a confiabilidade de dados sísmicos e, por isto, os primeiros podem ser utilizados para ajustar o volume de aquisição sísmica. Este trabalho propõe um ajuste dos volumes de amplitudes sísmicas através de uma algoritmo de três passos. O primeiro passo é a identificação de feições comuns através de um algoritmo de reconhecimento de padrões. O segundo passo consiste em gerar e otimizar uma malha alinhada às feições de interesse do dado sísmico voluméletrico através de um novo algoritmo baseado em processamento de imagens e inteligência computacional. E o terceiro e último passo é a realização de uma deformação volumétrica pontoa- ponto usando interpolação por funções de base radial para registrar o volume sísmico aos poços. A dissertação apresenta ainda resultados de implementações 2D e 3D dos algoritmos propostos de forma a permitir algumas conclusões e sugestões para trabalhos futuros. / [en] Data acquired directly from borehole are more reliable than seismic data, and then, the first can be used to adjust the second. This work proposes the correction of a volume of seismic amplitudes through a three step algorithm. The first step is the identification of common features in both sets using a pattern recognition algorithm. The second step consists of the generation and the optimization of a mesh aligned with the features in the volumetric data using a new algorithm based on image processing and computational intelligence. The last step is the seismic-to-well registration using a point-to-point volumetric deformation achieved by a radial basis function interpolation. The dissertation also presents some results from 2D and 3D implementations allowing conclusions and suggestions for future work.