[pt] O objetivo principal deste trabalho é resolver o problema isoperimétrico no plano de Minkowski, isto é, determinar dentre todas as curvas convexas, fechadas, simples e suaves de perímetro fixo de um plano munido com uma norma qualquer, qual é aquela que delimita a maior área. Mostraremos que a solução para este problema não é necessariamente o círculo como no caso euclideano e sim uma curva conhecida como isoperimetrix. Para isto, vamos demonstrar a desigualdade de Minkowski a partir do conceito de área mista. Em seguida, vamos determinar se há outros casos (além do caso euclideano) em que o círculo coincide com o isoperimetrix. Também iremos mostrar que o perímetro da bola nestes planos pode assumir qualquer valor real entre seis e oito, sendo seis quando a bola for um hexágono regular afim e oito quando for um paralelogramo. / [en] The main objective of this work is to solve the isoperimetric problem in the Minkowski plane, i. e., determine among all smooth simple closed convex curves of a normed plane with fixed perimeter, what is that which defines the largest area. We will show that the solution to this problem is not necessarily the circle as in the Euclidean case, but a curve known as isoperimetrix. For this, we will demonstrate the Minkowski inequality from the concept of mixed area. Then, we determine if there are other cases (apart from the Euclidean case) in which the circle coincides with the isoperimetrix. We will also show that the ball perimeter in a normed plane can take any real value between six and eight. It is six when the ball is an affine regular hexagon and eight when it is a parallelogram.

[pt] Pesquisas na área de estrutura de dados são fundamentais para aumentar a generalidade e eficiência computacional da representacão de modelos geometricos. Neste trabalho, apresentamos duas estruturas de dados topológicas escalonáveis, uma para superfícies triânguladas, chamada CHE (Compact Half--Edge), e outra para malhas de tetraedros, chamada CHF (Compact Half--Face). Tais estruturas são compostas de diferentes níveis, que nos possibilitam alterar a quantidade de dados armazenados com objetivo de melhorar sua eficiência computacional. O uso de APIs baseadas no conceito de objeto, e de haran»ca de classes, possibilitam uma interface única para cada função em todos os níveis das estruturas. A CHE e a CHF requerem pouca memória e são simples de implementar já que substituem o uso de ponteiros pelo de contêineres genéricos e regras aritméticas. / [en] Research in data structure area are essential to increase the generality and computational effciency of geometric models` representation. In this work, we present two new scalable topological data structures, one for triangulated surfaces, called CHE (Compact Half { Edge ), and the another for tetrahedral meshes, called CHF (Compact Half { Face ). Such structures are composed of different levels, that enable us to modify the amount of data stored with the objective to improve its computational effciency. The use of APIs based in the object concept and class inheritance, makes possible an unique interface for each function at any level. CHE and CHF requires very few memory and are simple to implement since they substitute the use of pointers by generic containeres and arithmetical rules.

[pt] Esta Tese investiga mudanças ocorridas no texto de demonstração em geometria plana elementar, em livros-textos usados no ensino brasileiro a partir do século XIX. O trabalho está organizado em duas partes: a primeira, um estudo histórico de releituras dos Elementos de Euclides que, a partir do século XVI, em cada época influenciaram a constituição da matemática escolar em seu sentido mais amplo e a segunda, as análises das demonstrações. A base documental inclui obras históricas e livros relevantes no ensino-aprendizagem da geometria dedutiva no Brasil. As releituras de Euclides e os livros-texto permitiram estabelecer os parâmetros de análise das demonstrações e de inferências de ordem mais geral. As análises das demonstrações mostram evidências que confirmam mudanças de várias ordens: a redação, o método e a justificativa da prova. Foi possível identificar dois tipos básicos de livros-texto que denominamos elementos de geometria e livros de matemática, e caracterizar a correlação existente entre eles: o estudo dedutivo em geometria, originário no livro tipo elementos de geometria que se estrutura conforme o padrão euclidiano teorema- problema, se altera devido à interação geometria-álgebra- aritmética, a qual caracteriza o livro de matemática desde a sua origem até a atualidade. Foi possível constatar, ainda, que o estudo dedutivo em geometria tende a desaparecer quase totalmente nos textos tipo livro de matemática. O estudo - texto demonstrativo e suas mudanças - mostra uma história dos conteúdos matemáticos, dos livros-texto e da matemática escolar no Brasil. / [en] This thesis studies changes in proofs of elementary geometry theorems found in brazilian textbooks from the XVIIIth century on. The thesis is composed of two parts. The first one contains a historic survey of re-readings of Euclid´s Elements which, from the XVIth century on influenced the constitution of the school mathematics corpus, in its wide sense. The second ´part contains the actual analysis of proofs. We examine both historically important Works and books that were influential in the teaching and learning of deductive geometry in Brazil. The study of Euclid´s Elements and later works enabled us to set up the guidelines for the proofs analysis and all of more general inferences. The proofs analysis shows several types of change: the style, the method and the actual proof. It was possible to identify two basic kinds of text-books, which we call elements of geometry and mathematics books, respectively, and to establish the correlation between the two types: the deductive study of geometry, present in the elements of geometry, that adopted the Euclidean pattern of theorem - problem, changes due to the interaction between geometry, arithmetic and algebra, which characterizes the mathematics book, from their beginnings to the present. It was also possible to establish that the deductive study of geometry almost disappears in the mathematics books. The study of proofs and their changes shows the history of the contents of school mathematics, their text-books and of school mathematics in Brazil.

[pt] Muitas aplicações em processamento de imagens e computação gráfica recaem em propriedades geométricas de curvas, particularmente suas curvaturas. Uma outra propriedade importante mas menos explorada é a torção, sendo esta para curvas no espaço. Vários métodos para estimar curvaturas de curvas planas são conhecidos, a maioria deles para curvas digitais. Nesta dissertação fazemos um levantamento desses métodos e propomos um novo método baseado em aproximações por parábolas e cúbicas paramétricas. Apresentamos uma análise teórica do método e também estudamos a influência do ruído no cálculo da curvatura e da torção. O novo estimador foi comparado com outros estimadores e mostrou-se bastante robusto. / [en] Many applications in image processing and computer vision rely on geometric properties of curves, in particular their curvatures. Another important, but less exploited, property is the torsion for curves in space. Several methods of estimating the curvature of plane curves are known, most of them for digital curves. In this dissertation we survey these methods and propose a new method based on approximations by parabolic and cubic curves. We present a theoretical analysis of this method and also study the effect of noise. The new estimator is compared to other estimators and is seen to be very robust.

[pt] O Grupo de Cremona é o grupo das Transformações birracionais do plano projetivo e tem um papel muito importante em Geometria Birracional. Pelo Teorema de Nöether-Castelnuovo (final do século XIX), o Grupo de Cremona é gerado pelos automorfismos do plano projetivo e pela Transformação Quadrática Padrão. Apesar de compreendermos bem o grupo de automorfismos do Plano Projetivo e a Transformação Quadrática Padrão, o estudo do Grupo de Cremona é bastante desafiador, e sua estrutura ainda não é totalmente conhecida. Somente em 2013, Cantat e Lamy provaram que o Grupo de Cremona não é simples no caso de um corpo algebricamente fechado. Em 2016, Anne Lonjou provou o mesmo para qualquer corpo. Ambas as provas se baseiam em uma ação por isometrias do Grupo de Cremona em um espaço hiperbólico de dimensão infinita. Nosso objetivo será entender essa ação e como ela pode ser usada no estudo do Grupo de Cremona. / [en] The Cremona Group is the group of Birrational Transformations of the projective plane and has a very important role in Birrational Geometry. By the Nöether-Castelnuovo Theorem (late 19th century), the Cremona Group is generated by the automorphisms of the projective plane and by the Standard Quadratic Transformation. Although we understand well the group of automorphisms of the projective plane and the Standard Quadratic Transformation, the study of the Cremona Group is quite challenging, and its structure is not yet fully known. Only in 2013, Cantat and Lamy proved that the Cremona Group is not simple in the case of an algebraically closed field. In 2016, Anne Lonjou proved the same for any field. Both proofs are based on an action by isometries of the Cremona Group in a hyperbolic space of infinite dimension. Our goal will be to understand this action and how it can be used in the study of the Cremona Group.

[pt] Este trabalho tem como objetivo principal apresentar e demonstrar os teoremas de Miquel que tratam de retas, círculos e suas interseções, assim como a versão de Clifford para os mesmos. Mais especificamente do teorema referente ao pentágono que afirma que dado um pentágono, o prolongamento dos seus lados formam cinco triângulos e os círculos circunscritos a esses triângulos se intersectam dois a dois e os pontos de interseção distintos dos vértices estão sobre uma mesma circunferência. Os teoremas de Miquel são demonstrados de forma original, com exceção do teorema citado, cuja prova é igual àquela do artigo original, a menos de mudanças de notação e maior detalhamento de argumentos. A versão de Clifford para esse teorema é provada apenas com o uso de argumentos de geometria euclidiana, diferente do proposto em seu artigo, que lança mão de ferramentas da geometria projetiva e das curvas algébricas para chegar à sua tese. Também é feita uma demonstração para a generalização do teorema acima ao se tomar n retas. Além disso, este trabalho apresenta uma proposta de atividades pedagógicas com o uso do software de geometria dinâmica GeoGebra, como ferramenta facilitadora à visualização e dedução dos teoremas mais importantes do trabalho. / [en] This work aims to present and demonstrate Miquel s theorems dealing with straigt lines, circles and their intersections, as well as Clifford s version of the same theorems. More specifically regarding the theorem that makes reference to the pentagon, which asserts that given a pentagon, the extension of its sides form five triangles and the circles circumscribed to these triangles intersect two by two, and the intersection points, not considering the vertices, are on the same circumference. Miquel s theorems are presented in an original way, with the exception of the above theorem, which is equal to the original one, apart from little changes of notation and more detailed arguments. Clifford s version of this theorem is presented with the use of Euclidean geometry arguments differing from the one proposed in his article, which makes use of tools of projective geometry and algebraic curves to get to his thesis. There is also a demonstration for the generalization of the above theorem when n straigt lines are taken. In addition, this work proposes a pedagogical activity using the dynamic geometry software GeoGebra, as a facilitating tool for viewing and deduction of the most important theorems presented in this work.

[pt] O presente trabalho, desdobramento da pesquisa desenvolvida entre 2007 e 2009, relatada na dissertação de mestrado intitulada Design de estruturas reticuladas de bambu geradas a partir de superfícies mínimas, tem como objetivo principal a aplicação de alguns dos modelos de estruturas de cobertura desenvolvidos pelo LILD (Laboratório de Investigação em Livre Desenho), em escala e contexto real para uso comunitário. Isso ocorre através do ensino de técnicas simples e de baixo impacto ambiental, em processos de construção coletiva utilizando materiais e mão de obra locais. Por meio da elaboração de desenhos, modelos físicos reduzidos e da prática construtiva coletiva em si, obtém-se uma dinâmica de troca de saberes entre mestres e aprendizes, onde o conhecimento flui de maneira multidirecional, se retroalimenta. O aprendizado obtido fica evidente em dois momentos: no desenvolvimento das estruturas em laboratório, pois ampliam o repertório de unidades estruturais do LILD, e na construção das mesmas fora dos muros da universidade, pois trazem resultados reais tanto sobre os saberes trocados entre os envolvidos quanto à ação do meio físico e social sobre o experimento. / [en] The present work, unfolding of the research developed between 2007 and 2009, reported in the master dissertation entitled Design of bamboo frame structures generated from minimal surfaces, has as main objective the implementation of models of roof structures developed by LILD (Laboratory Research in Free Design) on a scale and real context for community use. It happens by teaching simple and low environmental impact techniques in processes of collective construction using local materials and labor. Through the development of drawings, reduced physical models and collective constructive practice itself, we can get a dynamic exchange of knowledge between teachers and learners in which knowledge flows multidirectional way, feeds itself. The knowledge gained is evident in two phases: in the development of structures in the laboratory, it expands the repertoire of structural units of the LILD, and building them outside the walls of the university, because they bring real results both on the knowledge exchanged between those involved as the action of the physical and social environment on them.

[pt] Este trabalho tem como eixo principal a inclusão do estudo dos Poliedros de Arquimedes, para complementar o conteúdo mínimo de geometria espacial, que é exigido para desenvolvimento desse conteúdo no ensino médio da rede publica de ensino. O trabalho foi desenvolvido de forma a valorizar o estudo de geometria, que apesar da sua extrema importância, vem perdendo espaço para a álgebra dentro do currículo mínimo, imposto pela Secretaria Estadual de Educação, e despertar no aluno o interesse pelo conteúdo a ser trabalhado. Dividido em três etapas, o desenvolvimento do trabalho iniciou-se com a planificação de poliedros, abrangendo o conceito de face, vértices e arestas, posições de reta e plano no espaço, construção de poliedros, poliedros regulares e semirregulares, visualização espacial, a relação de Euler e a demonstração do motivo pelo qual só existam cinco poliedros regulares. A utilização de recursos tecnológicos como ferramenta facilitadora no ensino, nesse primeiro momento, teve também como grande função, a busca da atenção e do interesse do aluno pelo conteúdo. A segunda e terceira etapas foram de exposição do trabalho desenvolvido, no primeiro momento, com intuito de, através da arte, expor de forma rápida e sucinta, quais são os poliedros de Platão, os Poliedros de Arquimedes e suas principais características, buscando alcançar um público além da sala de aula. Na terceira etapa, o aluno passa a ser o protagonista no desenvolvimento da oficina, que acontece simultaneamente à exposição do conteúdo através da arte. / [en] The main axis of this work is the inclusion of the study of Polyhedra Archimedes to complement the minimum content of space geometry, which is required for the development of this subject in high school at public schools. The work was developed to enhance the study of geometry, that despite its extreme importance has been losing ground for algebra within the minimum curriculum, imposed by the State Department of Education, and awaken in the student interest in the content to be worked. Divided into three stages, the development of the work started with the planning of polyhedra, including the concept of face, vertices and edges, straight positions and plane in space, construction of polyhedra, regular polyhedra and semiregular, spatial visualization, the Euler relationship and the demonstration of why there are only five regular polyhedra. The use of technological resources as an enabling tool for teaching, this first time, also had a great function, the pursuit of attention and interest of the student for the content. The second and third stages were exhibition of work at first with a view to, through art, expose quickly and succinctly, what are the polyhedra of Plato, the Polyhedra of Archimedes and its main features, seeking to reach an audience beyond the classroom. In the third stage, the student becomes the protagonist in the development of the workshop, held concurrently with the exhibition s content through art.

[pt] Este trabalho surgiu da seguinte observação: os clássicos algoritmos de busca em 2d-tree começam da raiz para acessar dados armazenados nas folhas. Entretanto, como as folhas são os nós mais distantes da raiz, por que começar as buscas pela raiz? Com representações clássicas de 2d-trees, não existe outra forma de acessar uma folha. Existem 2d- trees, porém, que permitem acessar em tempo constante qualquer nó, dado sua posição e seu nível. Para o algoritmo de busca, a posição é conhecida, mas o nível não. Para estimar o nível de um nó qualquer, um método de otimização estatística do custo médio das buscas é proposto. Como os piores custos de busca são obtidos quando se começa da raiz, este método melhora ambos: o consumo de memória pelo uso de 2d-trees que permitem acessar em tempo constante qualquer nó, e o tempo de execução através da otimização proposta. / [en] This work emerged from the following observation: usual search procedures for 2d-trees start from the root to retrieve the data stored at the leaves. But since the leaves are the farthest nodes to the root, why start from the root? With usual 2d-trees representations, there is no other way to access a leaf. However, there exist 2d-trees which allow accessing any node in constant time, given its position in space and its depth in the 2d-tree. Search procedures take the position as an input, but the depth remains unknown. To estimate the depth of an arbitrary node a statistical optimization of the average cost for the search procedures is introduced. Since the highest costs of these algorithms are obtained when starting from the root, this method improves on both, the memory footprint by the use of 2d-trees which allow accessing any node in constant time, and execution time through the proposed optimization.

[pt] Sistemas CAD – Computer-Aided Design Systems – são muito utilizados nas diferentes etapas do ciclo de vida de um empreendimento de engenharia, como a elaboração do projeto conceitual, a construção da estrutura física e a operação da planta. A manutenção das instalações é uma tarefa de muita importância durante a operação, onde a pintura de equipamentos e estruturas é essencial. Estimar a área de pintura dos diferentes objetos possui um custo elevado se feito manualmente, com a utilização de trenas e lasers. Uma forma mais eficiente de calcular essas áreas é através do uso das ferramentas CAD. Entretanto, o processo de modelagem do modelo CAD, utilizando objetos paramétricos e malhas tridimensionais, insere superfícies que estão encobertas por outros objetos. Essas superfícies encobertas não são pintadas, e considerar suas áreas na orçamentação da pintura resulta em erros consideráveis. Portanto, o uso de um cálculo simples de todas as áreas de superfícies que compõem os objetos não é adequado. Com o objetivo de eliminar as superfícies escondidas do cálculo da área de pintura, este trabalho propõe uma abordagem baseada em campos de distância adaptativos juntamente com operações de geometria sólida construtiva. Primeiramente, as malhas passam por uma fase de pré-processamento, no qual são ajustadas de forma que cumpram com os requisitos necessários para a construção do campo de distância adaptativo, e em seguida os seus campos são calculados. Objetos parametrizados não necessitam dessa etapa pois já possuem um campo de distância implícito. Operações de geometria sólida construtiva foram então utilizadas para obter o campo da diferença e da interseção de cada objeto com a cena. De posse desses dados, foi desenvolvida uma fórmula que utiliza as áreas da diferença com a cena, da interseção e a área superficial de cada objeto para calcular a sua área de pintura. Em testes controlados, as áreas de pintura obtidas diferenciaram em no máximo 0,84 por cento das áreas reais. Nos testes com modelos reais, foi obtido uma redução de até 38 por cento da área estimada em relação a abordagem simplista de não tratar as superfícies ocultas. / [en] CAD Systems – Computer-Aided Design Systems – are widely used in the different life cycle stages of an engineering enterprise, such as conceptual design, physical structure construction, and plant operation. The maintenance of the facility is a very important task during the operation, where painting the equipments and structures is essential. Estimating the painting area of the different objects has a high cost if done manually, using measuring tapes and lasers. A more efficiently way to calculate these areas is through the use of CAD tools. However, the modeling process of the CAD model, using parametric objects and three-dimensional meshes, inserts surfaces that are hidden by other objects. These hidden surfaces are not painted, and considering their areas in the painting budgeting leads to considerable errors. Therefore, the use of a simple calculation of all the surfaces areas that compose the objects is not adequate. With the objective of eliminating the hidden surfaces of the painting area computation, this work proposes an approach based on adaptive distance fields together with constructive solid geometry operations. Firstly, the meshes pass through a preprocessing phase, in which they are adjusted to fulfill the requirements for the adaptive distance field construction, and then their fields are computed. Parametrized objects do not need this step because they already have an implicit distance field. Constructive solid geometry operations were then used to obtain the difference and the intersection fields of each object with the scene. With this data, the painting areas are calculated considering the areas of the difference with the scene, the intersection and the surface area of each object. In controlled tests, the painting areas obtained differs of a maximum of 0.84 percent of the real areas. In tests with real models, a reduction of up to 38 percent of the estimated area was obtained in relation to the simplistic approach of not treating hidden surfaces.