[pt] Embora por vezes pouco utilizadas, as tecnologias de informação e comunicação (TICs) estão atualmente presentes numa grande quantidade de escolas públicas e privadas do país. O aluno contemporâneo em geral tem acesso a uma enorme quantidade de recursos tecnológicos que são usados, prioritariamente, como entretenimento. Por outro lado, na sala de aula, vive-se o constante desafio de motivar o alunado, construir aulas interessantes e alcançar um nível satisfatório no processo de ensino-aprendizagem. Baseado nessas premissas, o presente trabalho apresenta um projeto interdisciplinar que procura desenvolver o ensino de tópicos de geometria interagindo com artes e tecnologia. Uma parte do projeto foi aplicada numa escola pública do estado do Rio de Janeiro o que contribui para melhorias e análises de desempenho aqui descritas. A proposta apresentada cria um ambiente agradável de valorização do ensino de Geometria através do uso do software Geogebra e utiliza o estudo das Artes como agente motivador. Acredita-se que além do incremento cultural que promove igualdades sociais, o trabalho estimula a capacidade de reflexão, o desenvolvimento da criatividade e a valorização do ensino da matemática. Pretende-se que possa ser adaptado e utilizado por professores na educação básica em diversas realidades. / [en] Although sometimes underused, information and communication technologies (ICTs) are currently present in a large number of public and private schools. The contemporary student generally has access to a huge amount of technological resources that are used primarily as entertainment. On the other hand, in the classroom, the constant challenge to motivate the student body lives up, by building engaging lessons, in order to achieve a satisfactory level in the teaching-learning process. Based on these assumptions, this paper presents an interdisciplinary project that seeks to develop the teaching of geometry topics interacting with arts and technology. Part of the project was implemented in a public school in the state of Rio de Janeiro which contributed to improvements and performance analyzes described herein. The proposal creates a pleasant and valiant environment while teaching Geometry, through the use of Geogebra software and it also uses the study of Arts as motivator. It is believed that in addition to the cultural growth that promotes social equality, work stimulates the ability of reflection, the development of creativity and the appreciation of mathematics teaching. It is intended to be adapted and used by teachers in basic education for different realities.

[pt] A presente dissertação analisa a relação interdisciplinar entre a matemática e as artes, dando especial destaque ao Teorema de Desargues como uma ponte entre estas áreas. Destaca-se a importância atual da interdisciplinaridade na educação, embasada pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC), que dá destaque à integração de tecnologia e conhecimento em múltiplas áreas do currículo escolar. O Teorema de Desargues é abordado como um conceito que rompe os limites da matemática, alcançando também os campos da arte e da tecnologia. A Geometria Projetiva é contextualizada historicamente, apresentando seus primeiros passos e progresso ao longo do tempo. Revela Girard Desargues como um como precursor de ideias nesse contexto, contribuindo tanto para o avanço da matemática quanto para a expressão artística. A dissertação enfatiza a aplicação prática do Teorema de Desargues no contexto educacional, propondo atividades significativas e atrativas para os alunos no contexto escolar. Apresenta o produto educacional desenvolvido pelos autores como uma fonte valiosa de sugestões para educadores que pretendem se dedicar à interdisciplinaridade. A dissertação promove uma abordagem educacional que estimula o diálogo entre disciplinas, destacando a conexão entre matemática, geometria projetiva, arte e tecnologia, para isso utiliza o Teorema de Desargues desempenhando um papel central nesse processo. / [en] The present dissertation examines the interdisciplinary relationship between mathematics and the arts, with special emphasis on Desargues Theorem as a bridge between these fields. It highlights the current importance of interdisciplinarity in education, supported by the National Common Curricular Base (BNCC), which emphasizes the integration of technology and knowledge across multiple areas of the school curriculum. Desargues Theorem is approached as a concept that transcends the boundaries of mathematics, also reaching into the realms of art and technology. Projective Geometry is historically contextualized, tracing its origins and development over time. Girard Desargues is revealed as a precursor of ideas in this context, contributing to both the advancement of mathematics and artistic expression. The dissertation emphasizes the practical application of Desargues Theorem in the educational context, proposing meaningful and engaging activities for students in the school setting. It presents the educational product developed by the authors as a valuable source of suggestions for educators looking to dedicate themselves to interdisciplinarity. The dissertation promotes an educational approach that encourages dialogue between disciplines, highlighting the connection between mathematics, projective geometry, art, and technology, utilizing Desargues Theorem as a central element in this process.

[pt] Este trabalho propõe uma abordagem inovadora para o ensino dos fundamentos da Geometria Analítica aos professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, utilizando a dança como meio. Inicia-se com a apresentação da história da dança, seguida de uma reflexão sobre as contribuições das atividades físicas em geral para as atividades cognitivas, sob a perspectiva da Neurociência, convidando o docente a considerar métodos que incorporem o movimento ao ensino na realização de uma prática diferenciada, lúdica e atrativa. A construção da base teórica para essa proposta é fundamentada em autores renomados, como Vygotsky, Piaget, Ausubel e Montessori. Em seguida, é apresentado um breve estudo da Geometria Analítica, abordando sua origem histórica, aplicações atuais e conceitos fundamentais. A análise dos documentos curriculares oficiais revela que esse ramo da matemática, embora muitas vezes negligenciado, deve ser introduzido já na primeira série do Ensino Fundamental, prevenindo assim dificuldades em etapas posteriores. Por fim, o trabalho oferece sugestões práticas para a implementação das ideias apresentadas, visando enriquecer o processo de aprendizagem e tornar o ensino da Geometria Analítica mais acessível e envolvente para os alunos desde o início de sua trajetória escolar. / [en] This work proposes an innovative approach to teaching the fundamentals of Analytical Geometry to teachers in the Early Years of Elementary School, using dance as a medium. It begins with the presentation of the history of dance, followed by a reflection on the contributions of physical activities in general tocognitive activities, from the perspective of Neuroscience, inviting the teacher to consider methods that incorporate movement into teaching when carrying out a dance. differentiated, playful and attractive practice. The construction of the theoretical basis for this proposal is based on renowned authors, such as Vygotsky,Piaget, Ausubel and Montessori. Next, a brief study of Analytical Geometry is presented, covering its historical origin, current applications and fundamental concepts. Analysis of official curriculum documents reveals that this branch of mathematics, although often neglected, should be introduced in the first year of elementary school, thus preventing difficulties in later stages. Finally, the workoffers practical suggestions for implementing the ideas presented, aiming to enrich the learning process and make the teaching of Analytical Geometry more accessible and engaging for students from the beginning of their school career.

[pt] A dissertação em tela foi desenvolvida com o intuito de proporcionar ao professor de matemática uma introdução ao estudo das Geometrias Não Euclidianas, um assunto carente em nossas salas de aulas tanto do Ensino Básico como das Licenciaturas em Matemática. Em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais, são historicamente construídos os conhecimentos matemáticos apresentados para discutir o Quinto Postulado dos Elementos de Euclides e para apresentar a descoberta de novas geometrias. Para ser apresentada de forma mais detalhada, foi escolhida uma Geometria Não Euclidiana que pode ser facilmente entendida e contextualizada por alunos do Ensino Médio: a Geometria do Táxi. Tal geometria, além de possibilitar ligações com outros conteúdos do Ensino Básico também é um modelo para a geografia urbana, oferecendo ao alunado a possibilidade de interação com questões motivadoras, interdisciplinares e próximas do seu cotidiano. É apresentada uma sugestão de dinâmica que compara os conceitos das distâncias euclidiana e do táxi além de discutir a definição de circunferência e sua representação tanto na Geometria Euclidiana como na Geometria do Táxi. Além disso, alguns resultados da aplicação da referida dinâmica em turmas do 3o. ano do Ensino Médio do C.E. Professor Ney Cidade Palmeiro, localizado na cidade de Itaguaí no Rio de Janeiro, também são relatados. Pretende-se que este trabalho seja mais uma contribuição para o aprimoramento da formação continuada dos professores das escolas de ensino básico no país. / [en] The present dissertation was developed with the intention of providing the mathematics teacher an introduction to the study of Non Euclidean Geometry, one lacking subject in our classrooms as much as the basic education and undergraduate mathematics. In line with the National Curriculum Parameters, mathematical knowledge presented to discuss the Fifth Postulate of Euclid s Elements, and to present the discovery of new geometries are historically constructed. To be presented in more details, we choose a non Euclidean Geometry that can be easily understood and contextualized by high school students: the Taxicab Geometry. This geometry, in addition to allowing connections with other content of basic education, such geometry is a model for urban geography, offering the pupils the opportunity to their everyday issues. A suggested activity to be developed in the classroom by students who compares the concepts of taxi distance and euclidean distance and besides discussing the definition of a circle and its representation in both Euclidean Geometry as in the Taxi appears. Futhermore, some results of implementing this activity in class 3rd. year of high school the Colégio Estadual Professor Ney Cidade Palmeiro, located in Itaguaí in Rio de Janeiro, are also reported. It is intended that this work is a futher contribuition to the improvement of continuing education of teachers of primary schools in the country.

[pt] Os desafios de estudar formas levaram matemáticos a criar abstrações, em particular através da geometria diferencial. Porém, formas simples como cubos não se adequam a ferramentas diferenciáveis. Este trabalho é uma tentativa de usar avanços recentes da análise, no caso a teoria das distribuições, para estender quantidades diferenciáveis a objetos singulares. Como as distribuições generalizam as funções e permitem derivações infinitas, substituição das parametrizações de subvariedades clássicas por distribuições poderia naturalmente generalizar as subvariedades suaves. Isso nos leva a definir D-imersões. Esse trabalho demonstra que essa formulação, de fato, generaliza as imersões suaves. Extensões para outras classes de subvariedades são discutidas através de exemplos e casos particulares. / [en] The challenge of studying shapes has led mathematicians to create powerful abstract concepts, in particular through Differential Geometry. However, differential tools do not apply to simple shapes like cubes. This work is an attempt to use modern advances of the Analysis, namely Distribution Theory, to extend differential quantities to singular objects. Distributions generalize functions, while allowing infinite differentiation. The substitution of classical immersions, which usually serve as submanifold parameterizations, by distributions might thus naturally generalize smooth immersion. This leads to the concept of D-immersion. This work proves that this formulation actually generalizes smooth immersions. Extensions to non-smooth of immersions are discussed through examples and specific cases.

[pt] O objetivo principal deste trabalho é analisar o significado do espaço e tempo nas obras de Platão. A pesquisa se desenvolve a partir do estudo de G. Glotz e P. Lévêque e P. Vidal-Naquet, que fizeram corresponder as reformas de Clístenes com a organização de um espaço e de um tempo puramente cívicos. Pretendemos mostrar como esses conceitos foram radicalmente transformados no pensamento de Platão, nos projetos das cidades que ele elabora um século depois. Consideramos que um desvio arcaico transformou completamente a concepção de espaço e de tempo cívicos ligados à tradição que as reformas de Clístenes realizaram um século antes. A ágora, centro político e geométrico da pólis, sucede um centro religioso, a acrópole que orienta um novo espaço hierarquizado. Esse deslocamento do centro é significativo, uma vez que a acrópole se opõe à ágora como domínio do sagrado ao domínio do profano, como o divino ao humano. A ágora tradicionalmente não tem mais lugar; ela passa por uma crítica à democracia ateniense. Platão, percorrendo um sentido inverso ao de Clístenes, volta a um sistema duodecimal, cujo valor religioso aparece nele sem equivoco: cada tribo é destinada a um dos doze deuses do panteão. Essa divisão do espaço cívico também permitiu a Platão modelar o espaço sobre o tempo e realizar uma posição contrária a Clístenes - cada uma das doze tribos deve corresponder a uma festa maior, àquela do deus que o tempo instalou em seu centro. O plano político que Clístenes havia realçado, Platão o reintegra então na estrutura da pólis ideal. / [fr] L objectif principal du présent travail est d analyser la signification de l espace et du temps dans les oeuvres de Platon. La recherche se développe à partir de l étude de G. Glotz et P. Levêque et de P. Vidal- Naquet qui ont mis em correspondance les réformes de Clisthène et l organisation d un espace et d un temps purement civiques. Nous avons l intention de montrer comment ces concepts ont été radicalement transformés dans la pensée de Platon, dans les projets qu´il élabore un siècle plus tard. Nous considérons qu´un détournement archaïque a complètement transformé la conception de l espace et du temps civiques liés à la tradition que les réformes de Clisthène avaient réalisée un siècle auparavant. A l agora, centre politique et géométrique de la polis succède um centre religieux, l acropolis qui oriente un nouvel espace hiérarchisé. Ce déplacement du centre est significatif, une fois que l acropolis s oppose à l agora comme le domaine du sacré à celui du profane, comme le divin à l humain. L agora, traditionnellement, n a plus de place; elle passe par une critique à la démocratie athénienne. En parcourant un sens inverse à celui de Clisthène, Platon retourne à un système duodécimal dont la valeur religieuse apparaît chez lui sans équivoque: chaque tribu est destinée à l un des douze dieux du Panthéon. Cette division de l espace physique a permis à Platon de modeler l espace sur le temps et de réaliser une position contraire à Clisthène - chacune des douze tribus doit correspondre à une fête plus grande, à celle du dieu que le temps a installé dans son centre. Le plan politique que Clisthène avait mis en relief, Platon le réintègre alors dans la structure de la polis idéale.

[pt] Uma metodologia eficiente e segura é proposta para prever a propagação de trincas de fadiga sob carregamento complexo em estruturas bidimensionais com geometria genérica. Primeiro, o caminho da trinca (em geral curvo) e os fatores de intensidade de tensão KI(a) e KII(a) ao longo do comprimento da trinca a são calculados num programa de elementos finitos especialmente desenvolvido para este fim, o Quebra2D. Estes cálculos são feitos usando pequenos incrementos especificáveis no tamanho da trinca e técnicas de remalhamento automatizadas. Os valores de KI(a) são usados como dados de entrada num programa de previsão de vida à fadiga, o ViDa. Esse programa foi desenvolvido para prever a iniciação e a propagação de trincas 1D e 2D sob carregamento complexo por todos os métodos clássicos, incluindo SN, eN e IIW (estruturas soldadas) para a iniciação da trinca, e o método da/dN para a propagação. Em particular, o módulo que propaga a trinca aceita qualquer expressão de KI(a) e qualquer regra da/dN, e usa o método DKrms ou CCC (crescimento ciclo-a-ciclo) para prever a propagação de trincas uni e bidimensionais sob carregamento complexo. A análise numérica proposta foi verificada através de vários experimentos representativos, cuja metodologia experimental é discutida em detalhes. / [en] A reliable and cost effective two-phase methodology is proposed to predict fatigue crack propagation in generic two-dimensional structural components under complex loading. First, the fatigue crack path and its stress intensity factor are calculated in a specialized finite- element software, using small crack increments. Numerical methods are used to calculate the crack propagation path, based on the computation of the crack incremental direction, and the stress-intensity factors KI, from the finite element response. Then, an analytical expression is adjusted to the calculated KI(a) values, where a is the length along the crack path. This KI(a) expression is used as an input to a powerful general purpose fatigue design software based on the local approach, developed to predict both initiation and propagation fatigue lives under complex loading by all classical design methods, including the SN, the eN and the IIW (for welded structures) to deal with crack initiation, and the da/dN to treat propagation problems. In particular, its crack propagation module accepts any KI expression and any da/dN rule, using the DKrms or the cycle-by-cycle propagation methods to deal with one and twodimensional crack propagation under complex loading. If requested, this latter method may include overload-induced crack retardation effects. This two-phase methodology is experimentally validated by fatigue tests on compact tension and bending single edge notch specimens, modified with holes positioned to attract or to deflect the cracks.

[pt] O objetivo deste trabalho é apresentar conteúdos necessários para a construção de uma base sólida em Matemática do Ensino Fundamental e Médio, mas que são em geral mal assimilados pelos alunos. Inicialmente apresentaremos o plano cartesiano, equações de uma e duas variáveis, funções de uma variável real e gráfico de funções. Passaremos então ao estudo de curvas simples e bem conhecidas dos alunos em geral, como a circunferência, e chegaremos até as cônicas rotacionadas. A partir daí, procuramos relacionar as duas partes do trabalho, mostrando como as cônicas podem ser vistas como gráficos de função de uma variável. Pretende-se que este trabalho possa ser utilizado por professores do Ensino Fundamental e Médio em sala de aula, pois boa parte do conteúdo apresentado faz parte do currículo mínimo da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro. Propomos atividades teóricas e computacionais, utilizando o software Geogebra para construção de curvas no plano cartesiano. / [en] The objective of this paper is to present content needed to build a solid foundation in mathematics from primary and secondary schools, but are generally poorly assimilated by the students. Initially present the Cartesian plane, equations of one and two variables, functions of a real variable and function graph. Then we pass to the study of simple curves and well known to students in general, as the circumference, and arrive until the conical rotated. From there, we try to relate the two parts of the work, showing how the taper can be seen as a variable function graphs. It is intended that this work can be used by teachers of primary and secondary education in the classroom, because much of the content presented is part of the minimum curriculum of the Department of Education of the State of Rio de Janeiro. We propose theoretical and computational activities, using the Geogebra software to build curves in the Cartesian plane.

[pt] Este trabalho teve o intuito de conciliar o ensino de matemática com práticas muito presentes no cotidiano dos alunos nos dias atuais: o uso da tecnologia e a comunicação através da fotografia. Com esse objetivo, foram selecionados conteúdos matemáticos que historicamente estão relacionados com a beleza e harmonia: a razão áurea e a sequência de Fibonacci. Tais enfoques permitem associações diretas em outros campos do conhecimento como por exemplo, a arte, a natureza, o estudo do corpo humano que trouxeram significância, cultura, interdisciplinaridade e criticidade ao presente estudo. Por outro lado, a fotografia também carrega na sua essência conceitos de harmonia, beleza, composição e enquadramento e possibilita o desenvolvimento da criatividade e da inovação propiciando uma quebra dos métodos tradicionais na sala de aula. Por fim, a proposta aqui apresentada defende o uso da tecnologia a favor do desenvolvimento de propostas pedagógicas que incrementem o processo de ensino e aprendizagem, através do incentivo ao uso orientado de celulares na escola. A proposta foi experimentada com alunos do nono ano de uma escola da rede municipal de ensino do Rio de Janeiro e, pôde-se perceber que, a dinâmica empregada motivou os alunos, possibilitou um crescimento acadêmico e social e permitiu a construção de aulas criativas e cooperativas. Conceitos básicos, matemáticos e históricos, dos temas escolhidos assim como a descrição da proposta e os resultados alcançados na experimentação são expostos ao longo desse trabalho que pretende ser mais uma proposta a colaborar para o crescimento da educação básica no país. / [en] This work had the intention to conciliate the teaching of mathematics with very common practices in student s daily routine nowadays: the use of technology and communication through photography. With this objective, mathematical topics historically related to beauty and harmony were selected: the golden ratio and the Fibonacci sequence. Such approaches allow direct associations in other fields of knowledge like art, nature, the study of the human body which brought significance, culture, interdisciplinarity and criticism to the present study. On the other hand, photography also brings in its essence concepts of beauty, harmony and framing, making the development of creativity and innovation possible and allowing a break of the traditional methods in classroom. At last, the presented proposal defends the use of technology favoring the development of pedagogic proposals that boost the process of teaching and learning through the incentive of the guided use of cellphones in school. The proposal was experimented with 9th (ninth) grade students from a Rio de Janeiro municipal school and, it can be noticed that, the employed dynamics motivated the students, enabled academical and social growth and allowed the construction of creative and cooperative classes. Basic, mathematical and historical concepts of the chosen themes, as the proposal description and the results achieved in the experiments are exposed in the course of this work, which intends to be one more proposal to collaborate to the growth of basic education in the country.

[pt] A geometria fractal não é um conteúdo abordado usualmente na educação básica. O presente trabalho disserta sobre essa geometria, com o objetivo de divulgar e ampliar o conhecimento sobre ela, principalmente para professores que atuam nesse nível de escolaridade. É iniciado com um breve histórico do surgimento dos fractais, até sua definição formal, exibindo exemplos clássicos e uma pequena biografia de seus criadores. Em seguida, é apresentada uma seleção de conteúdos matemáticos que naturalmente podem ser trabalhados a partir dessa geometria. Algumas propostas de atividades que possuem fractais e podem ser aplicadas em diversos níveis da educação básica também são apresentadas. Por fim, é retratada a experiência da realização de uma das atividades propostas em uma turma de nono ano de uma escola pública do município do Rio de Janeiro. Acreditamos que a beleza e o apelo visual dos fractais atuem como elementos motivadores e inovadores para que temas importantes do currículo da educação básica sejam abordados de forma mais significativa. / [en] Fractal geometry is not a content usually addressed in basic education. This paper discusses this geometry with the purpose of disseminating and expanding knowledge about it, especially for teachers who work at this level of education. It begins with a brief history of the emergence of the fractals until its formal definition, exhibiting classic examples and a small biography of its creators. Then, we present a selection of mathematical contents of basic education that can, of course, be worked from this geometry. Some proposed activities that involve fractals and are suitable for applications at various levels of this school segment are also presented. Finally, the experience of one of the proposed activities in a 9th grade class of a public school in the city of Rio de Janeiro is portrayed. We believe that the beauty and visual appeal of fractals act as motivating and innovative elements for important themes in the basic education curriculum to be addressed in a more meaningful way.