[pt] Este estudo compara as diferenças nas ênfases curriculares em Matemática no Brasil e Portugal a partir dos resultados do Programa Internacional de Avaliação dos Estudantes (PISA) no ano de 2003. Deste programa participam jovens de 15 anos de idade dos países membros da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico (OCDE) e também de países convidados em uma perspectiva de avaliar habilidades e conhecimentos requeridos para uma atuação efetiva na sociedade. Com base na literatura sobre currículo a ensinar, ensinado e aprendido, o estudo parte do pressuposto que os resultados de diversos países em avaliações internacionais constituem-se uma estratégia para a análise do currículo aprendido e das ênfases pedagógicas na área da Matemática. O trabalho utiliza como metodologia a análise do Funcionamento Diferencial do Item (DIF) para identificar as diferenças curriculares, como também de abordagens pedagógicas e socioculturais. Um item apresenta funcionamento diferencial quando, alunos de diferentes países que possuem a mesma habilidade cognitiva, não têm a mesma probabilidade de acertarem o item. Os resultados mostram que alguns itens de Matemática apresentam funcionamento diferencial entre alunos brasileiros e portugueses. Os aspectos que explicam este funcionamento diferencial estão relacionados com ênfases diferenciadas não apenas em determinados conteúdos da Matemática, mas também de processos cognitivos e do formato do item. / [en] This study compares the differences in the curricular emphases in mathematics in Brazil and Portugal using the results from the Programme for International Student Assessment (PISA) in 2003. The participants of this programme are 15-year-old students from the member countries of the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD) and from partner countries. Its aim is to assess how these students master the essential skills and knowledge to meet real- life challenges. Based on the existing literature about the official, taught and learned curricula, this study assumes that the results of several countries in international surveys constitute a strategy for analysing the learned curriculum and the pedagogical emphases in the mathematical area. The methodology used in this work to identify the curricular differences as well as the pedagogical and sociocultural approaches is the analysis of the Differential Item Functioning (DIF). One item presents a differential functioning when students from different countries, who have the same cognitive ability, do not have the same probability of answering the item correctly. The results show that some mathematics items present differential functioning between Brazilian and Portuguese students. The aspects that explain this differential functioning are related to differential emphases not only on certain mathematics contents but also on the cognitive processes and on the item format.

[pt] É consenso que o Positivismo, sistema filosófico desenvolvido por Auguste Comte, teve significativa influência tanto na forma como a Matemática foi incorporada nas instituições de ensino superior do Brasil, no século XIX, quanto na maneira em que essa ciência foi disseminada nas escolas secundárias. A partir dessa constatação, definiu-se como principal objetivo desta Tese compreender a visão que o filósofo de Montpellier tinha da Educação Matemática. Para alcançálo, partiu-se de um conceito amplo de Educação Matemática, que engloba o de Ensino da Matemática, considerando que a idéia de Educação abarca uma concepção mais completa possível do Homem e da sociedade na qual está inserido. Fez-se necessário, de início, um estudo mais geral do Positivismo, para que fossem entendidas posteriormente suas particularidades. A partir daí, foram discutidos, sob vários enfoques, os antecedentes, os primórdios, a disseminação e a decadência do pensamento positivista no Brasil. Em seguida, estudou-se a idéia que Comte tinha da Matemática, utilizando-se de suas obras sobre o assunto. Vale ressaltar que o enfoque em uma concepção mais ampla da Educação Matemática exigiu a análise de um número maior de suas obras que as utilizadas usualmente pelos estudiosos do tema, pois normalmente são deixados de lado os seus Escritos da Juventude, o Sistema de Política Positiva (1851-1854) e a Síntese Subjetiva (1856). Finalmente, chega-se à visão que se pode extrair do pensamento desse filósofo sobre Educação e Educação Matemática. A principal contribuição que este trabalho pretende dar à sua área de pesquisa é fornecer subsídios ao estudo de uma época importante de nossa história, de forma a propiciar uma visão cada vez mais refinada aos estudiosos da História da Educação Matemática do Brasil. Em última análise, a pretensão desta pesquisa é, por meio de uma compreensão melhor do passado, permitir que se olhe para a época atual com mais senso crítico e embasamento teórico. / [fr] Il est généralement accepté que le Positivisme, système philosophique développé par Augute Comte, a eu une influence significative sur l´incorporation des mathématiques dans les institutions d´enseignement supérieur brésiliennes, au XIXème siècle, et aussi dans les établissements d´enseignement sécondaire de notre pays. À partir de ce constat, le bût de ce travail est essayer de comprendre la conception des Éducation Mathématiques du phylosophe de Montpellier. Pour y arriver, nous partons d´une conception bien globale de l´Éducation Mathématique, parce que l´Éducation nous remet à une conception la plus complete possible de l´homme et de la société. Il a donc été nécessaire, de commencer le travail par une étude générale sur le positivisme, pour qu´on puisse comprendre ses caractéristiques particulières. Ensuite, nous avons discuté, de plusieurs points de vue, les antécédents, le commencent, la dissémination et la décadence de la pensée positiviste au Brésil. Après ça, nous avons étudié la conception des mathématiques de Comte, en enployant ses écrits. Nous remaquons que notre acceptation d´une signification plus étendue de ce qu´est l´Éducation Mathématique a exigé l´analyse d´une bonne partie de ses écrits, plus vaste que celle faite par les chercheurs de ce sujet, qui généralement laissent de côté ses Écrits de Jeunesse (1816-1828), le Système de Politique Positive (1851-1854) et la Synthèse Subjective (1856). Nous arrivons ainsi à ce qu´on peut extraire de la pensée de ce phylosophe sur l´Éducation et l´Éducation Mathématique. La principale contribution de ce travail est d´essayer de fournir des éléments pour l´étude d´une période très importante de nôtre histoire et donc permettre un point de vue plus profond a ceux qui font des recherches sur l´histoire de l´éducation mathématique au Brésil. En peu de mots, la compréhension plus approfondie du passé permet qu´on regarde le présent avec plus de sens critique et de ressources théoriques.

[pt] A geometria fractal não é um conteúdo abordado usualmente na educação básica. O presente trabalho disserta sobre essa geometria, com o objetivo de divulgar e ampliar o conhecimento sobre ela, principalmente para professores que atuam nesse nível de escolaridade. É iniciado com um breve histórico do surgimento dos fractais, até sua definição formal, exibindo exemplos clássicos e uma pequena biografia de seus criadores. Em seguida, é apresentada uma seleção de conteúdos matemáticos que naturalmente podem ser trabalhados a partir dessa geometria. Algumas propostas de atividades que possuem fractais e podem ser aplicadas em diversos níveis da educação básica também são apresentadas. Por fim, é retratada a experiência da realização de uma das atividades propostas em uma turma de nono ano de uma escola pública do município do Rio de Janeiro. Acreditamos que a beleza e o apelo visual dos fractais atuem como elementos motivadores e inovadores para que temas importantes do currículo da educação básica sejam abordados de forma mais significativa. / [en] Fractal geometry is not a content usually addressed in basic education. This paper discusses this geometry with the purpose of disseminating and expanding knowledge about it, especially for teachers who work at this level of education. It begins with a brief history of the emergence of the fractals until its formal definition, exhibiting classic examples and a small biography of its creators. Then, we present a selection of mathematical contents of basic education that can, of course, be worked from this geometry. Some proposed activities that involve fractals and are suitable for applications at various levels of this school segment are also presented. Finally, the experience of one of the proposed activities in a 9th grade class of a public school in the city of Rio de Janeiro is portrayed. We believe that the beauty and visual appeal of fractals act as motivating and innovative elements for important themes in the basic education curriculum to be addressed in a more meaningful way.

[pt] Este trabalho tem por objetivo mostrar como o conceito de proporcionalidade foi sendo abordado em livros didáticos de matemática adotados no Brasil do século XX. Considerar o conceito de proporcionalidade sob a perspectiva do seu desenvolvimento histórico e sob o ponto de vista da fenomenologia didática contribuiu para o entendimento dos textos escolares, pois mostrou o quanto esse conceito está situado na confluência de muitos outros e, com isso, trouxe esclarecimentos sobre sua importância para o ensino. Foram analisados livros didáticos que tiveram repercussão no ensino fundamental. Com base nas análises realizadas foi possível identificar mudanças no tratamento do conceito de proporcionalidade, considerando-se os aspectos teórico, algorítmico e didático das abordagens, e o quadro atual se particulariza em relação ao que se encontrou em abordagens anteriores. / [en] The purpose of this work is to show how the proportionality concept has been approached in mathematics textbooks adopted in Brazil during the 20th Century. To consider the proportionality concept under the perspective of its historical development and under the point of view of the didactical phenomenology contributed to the understanding of the textbooks, because it showed that this concept is placed in the confluence of many others and, thus also brought explanations on its importance for the teaching of mathematics. We analized elementary school textbooks which were important and widely used. Based on these analyses it was possible to identify changes in the treatment of the proportionality concept, considering the theoretic, algorithmic and didactic aspects of the approaches, and the current presentations of the proportionality concept is compared to former approaches.

[pt] Esta tese teve como objetivo percorrer de forma crítica a trajetória teórica que dá suporte à importância da resolução de problemas no ensino da Matemática, dentro da perspectiva do pensamento produtivo e da aprendizagem significativa. Para isso, foram analisadas contribuições das teorias de campo Gestalt, em particular as de Max Wertheimer e Kurt Lewin, relativas a esses dois conceitos que se complementam: o pensamento produtivo aborda mais especificamente a resolução de problemas no âmbito de uma aprendizagem significativa, no verdadeiro sentido da palavra (Wertheimer); as situações de aprendizagem consideram o -espaço de vida do sujeito, incluindo a pessoa e o meio, e representa a totalidade dos eventos possíveis (Lewin). Do ponto de vista da educação matemática, foram abordadas a heurística e a intuição, por se constituírem em dois elementos importantes de aproximação deste campo com conceitos da Gestalt relacionados à solução de problemas. Nesse campo também foi avaliada a contribuição de autores significativos como George Polya, Imre Lakatos e outros. Tendo em vista que, de alguns anos para cá, os programas do ensino de Matemática têm orientado os docentes a usarem solução de problemas como base metodológica de ensino, foi realizado também um estudo exploratório tomando como instrumento de pesquisa entrevistas realizadas com professores de Matemática de escolas avaliadas pelo programa Nova Escola no Rio de Janeiro. Do mesmo modo, orientações teórico-pedagógicas contidas nos documentos dos principais programas nacionais de avaliação do ensino médio brasileiro como Aneb e Enem, caracterizam-se por apoiar suas avaliações em matemática na resolução de problemas e em aprendizagens significativas. Os dados coletados nesta parte da tese foram ilustrativos do estudo teórico realizado, ratificando a relação que se levantou dessas orientações com as contribuições da escola da Gestalt que revelou ser fundamental na concepção do pensamento produtivo como pressuposto de uma verdadeira aprendizagem significativa. Os resultados da pesquisa demonstraram uma visão acerca das razões para resolver problemas que, para além de um meio ou um fim em si mesmo, se confunde com o próprio ensino e aprendizagem da Matemática. / [en] This paper aims at critically analyzing the theoretical background which supports the importance of problem solving in math teaching within the perspective of productive thinking and of meaningful learning. To this end, contributions from the Gestalt field theories were analyzed, particularly those of Max Wertheimer and Kurt Lewin, in relation to these two concepts which complement each other: productive thinking has to do more specifically with problem solving within the scope of a meaningful learning, in the true sense of the word (Wertheimer); learning situations take into consideration the living space of the subject, encompassing the person and the environment, and represents the totality of possible events (Lewin). From the perspective of math education, both heuristics and intuition were dealt with, since they are two important elements which link this field to Gestalt concepts related to problem solving. Within this field, the contribution by significant authors, such as George Polya, Imre Lakatos and others, was also assessed. Keeping in mind that in the last few years math teaching programs have recommended that teachers use problem solving as a methodological basis for teaching, an exploratory study was also conducted which used as research tools interviews with math teachers from the Nova Escola (New School) program in Rio de Janeiro. Likewise, theoretical and pedagogical guidelines found in documents from the main national Brazilian high school assessment programs, such as Aneb and Enem, support math evaluation based on problem solving and on meaningful learning. The data collected in this part of the paper illustrated the theoretical study carried out, confirming the relationship found between these guidelines and the contributions by the Gestalt school, which turned out to be critical to the idea of productive thinking as a given of true meaningful learning. The research results demonstrated a viewpoint on reasons to solve problems which, much more than an end or a means, is intrinsic to math teaching and learning.

[pt] Esta dissertação teve como objetivo investigar os saberes mobilizados para ensinar matemática de egressos de um mesmo curso de Pedagogia atuantes nos anos iniciais, além de entender como as trajetórias pessoais e formativas interferem na ação profissional dos professores ao lidarem com o ensino-aprendizagem de matemática. Ensinar matemática aos alunos dos anos iniciais envolve muitos saberes, que são construídos ao longo da trajetória de vida do professor. Como referenciais teóricos sobre saberes docentes foram utilizadas obras de autores como Tardif, Charlot, Hosfstetter e Schneuwly, Valente, entre outros. García auxiliou na compreensão sobre desenvolvimento e trajetória profissional dos professores, uma questão que se amparou também nas discussões presentes nos trabalhos de Nóvoa e Gatti sobre profissionalização. O trabalho de Roldão, junto com outros estudos relacionados à temática, contribuiu para a abordagem do conhecimento profissional. Por meio de uma pesquisa qualitativa, este estudo utilizou o questionário e a entrevista como instrumentos metodológicos. Dos 60 questionários respondidos, 16 correspondiam ao perfil selecionado e 13 egressos aceitaram participar das entrevistas. Entre eles, sete atuavam em escolas particulares, quatro na rede municipal e dois na esfera federal. Os resultados apontaram para a mobilização do professor em ação de três conjuntos de saberes: os saberes discentes, os saberes formativos e os saberes institucionalizados. Destacou-se como ponto positivo a formação humana e crítica do egresso de Pedagogia. Ainda foi possível observar lacunas referentes aos conteúdos matemáticos a serem ensinados e uma falta de aproximação entre teoria e prática, itens apontados pelos entrevistados como uma dificuldade na chegada à escola. / [en] This dissertation aimed to investigate the knowledge mobilized to teach mathematics of graduates of the same Pedagogy course working in the early years, as well as to understand how personal and formative trajectories interfere in the professional action of teachers when referring to the teaching-learning of mathematics. Teaching mathematics to students in the early years requires a lot of knowledge involved and is built throughout the teacher s life trajectory. Tardif, Charlot, Hosfstetter and Schneuwly, Valente, and others were used as theoretical references about teaching knowledge. García helped in the understanding of teachers development and professional trajectory along with the discussions present in Nóvoa and Gatti s works about professionalization. Roldão also contributed by discussing professional knowledge, among other studies that could add to the theme. Through qualitative research, this study used the questionnaire and the interview as methodological tools. Of the 60 questionnaires answered, 16 corresponded to the selected profile, and 13 graduates agreed to participate in the interviews. Among them, seven worked in private schools, four in the municipal network, and two in the federal sphere. The results pointed to the mobilization by the teacher of three sets of knowledge: student knowledge, formative knowledge, and institutionalized knowledge. The human and critical formation of the Pedagogy graduate was highlighted as a positive point. As a point of attention, it is still possible to observe gaps concerning the mathematical contents to be taught and a lack of approximation between theory and practice, pointed out by the interviewees as a difficulty when arriving at school.

[pt] Este trabalho visa a estudar a influência da Reforma Benjamin Constant no currículo de matemática do Colégio Pedro II. Benjamin Constant foi professor e Ministro da Instrução, dos Correios e Telégrafos, em 1890-1. Ele quis reformar o ensino brasileiro, desde a escola primária até os cursos superiores. Essa Reforma teve caráter enciclopédico, inchando de conteúdos os programas das disciplinas, sobretudo os de matemática. O Colégio Pedro II foi criado em 1837-8 para servir de modelo ao ensino secundário brasileiro, que se caracterizou por dirigir-se à elite socioeconômica; na prática, o Colégio não correspondeu bem à expectativa inicial. A Reforma alterou os programas de matemática do Colégio; dentre outras modificações, introduziu neles, a partir de 1895, noções de cálculo diferencial e integral. Para analisar a influência da Reforma nos mencionados programas, o trabalho compara os currículos vigentes de 1880 a 1890 aos posteriores (1890- 1900). As bases teórico-metodológicas da pesquisa são Ivor Goodson e Jean- François Sirinelli. O trabalho visa, ainda, a caracterizar Benjamin Constant como intelectual e a examinar se e como esse seu status teria influído na Reforma. A pesquisa usa numerosos documentos: atos normativos (como os decretos que instituíram reformas educacionais no Império e no início da República), documentos curriculares (programas de matemática do Colégio Pedro II) e documentos produzidos pelo próprio B. Constant. / [en] This paper intends to study the influence of the Benjamin Constant Reform in the Mathematics curriculum of the Pedro II School. Benjamin Constant was a Mathematics teacher and the Head of the Instruction, Mail and Telegraph Ministry (1890-1). He intended to reform all levels of Brazilian education and decreed the Reform named after him. The Reform had an encyclopedic nature, inflating the content of the programs for each subject, especially the one for Mathematics. The Pedro II School was founded in 1837-8 to serve as a model for Brazilian secondary education, which was characterized as targeted to the social/economical elite; however, the School does not seem to have fulfilled the initial expectations. The Reform altered the Mathematics syllabus of the Pedro II School; among other changes, it added, from 1895 on, notions of differential and integral calculus. To analyze the influence of the Reform in the aforementioned syllabi, this paper compares the Mathematics curriculum in use in 1880-1890 to the ones used later on (1890-1900). The theoretical and methodological bases for this research were Ivor Goodson and Jean-François Sirinelli. The paper also aims to establish Benjamin Constant as an intellectual, and to examine if and how this status would have affected the Reform. The research uses several documents: normative acts (such as the decrees that established educational reforms in Brazil, during the Empire and in the early Republic), curriculum documents (Mathematics syllabi of the Pedro II School in the 1880-1900 period) and documents produced by B. Constant himself.