[pt] O objetivo dessa tese é expor a base filosófica por trás das propostas de Wittgenstein para a filosofia da matemática. Procuramos mostrar que há um núcleo semântico das quais essas propostas são derivadas: a idéia de que o significado de uma sentença deveria ser tomado como sendo suas condições de verdade. Procuramos acompanhar esse insight desde seu aparecimento em Frege, depois no Tractatus até a última fase do pensamento de Wittgenstein. Em nossos dois últimos capítulos discutimos as mudanças que essa abordagem sofreu nessa última fase do pensamento do filósofo em conexão com a idéia de triangularização da semântica subjacente. Tratamos em com algum nível de detalhamento as interpretações propostas por Wittgenstein de alguns tipos de proposições matemáticas elementares, especialmente proposições aritméticas. / [en] This thesis deals with the philosophical basis behind Wittgenstein s proposals in the philosophy of mathematics. We try to show that there is a semantic core from which these proposals are derived: the idea that the meaning of a sentence should be taken to be its truth conditions. We sort out this insight from its inception in Frege through the Tractatus all the way to the last phase of Wittgenstein s thought. In our last two chapters we discuss the changes this approach went through in this last phase of the philosopher s thought in relation to the idea of triangularization of the underlying semantics. We then deal in some detail with Wittgenstein s proposed interpretation of some types of elementary mathematical propositions, especially arithmetical propositions.

[pt] A partir das reflexões de Frege em seus Grundlagen der Arithmetik, destaca-se como o fio condutor da presente dissertação o problema que se refere à determinação da natureza numérica. A análise que Frege dedica a este problema almeja caracterizar a noção de número com o auxílio da noção de objeto lógico, e tal aproximação receberá um intenso ataque teórico por parte de Paul Benacerraf. Este ataque teórico, por sua vez, será auxiliado pela sugestão de que, na medida em que o interesse dos matemáticos (enquanto matemáticos) permanece em um âmbito estruturalista, uma pesquisa filosófica sobre a matemática deveria, em princípio, preservar semelhante aspecto. Esta argumentação de Benacerraf, aliada aos trabalhos anteriores do grupo Bourbaki, impulsionou as mais diversas pesquisas no âmbito estruturalista, constituindo-se os trabalhos de Stewart Shapiro como um de seus mais interessantes desenvolvimentos. São assim apresentadas as bases ontológicas e epistemológicas que sustentam tal teoria – intitulada como estruturalismo ante rem – para, por fim, se delinear um histórico de tais concepções. Sublinham-se, então, alguns debates ocorridos ao final do século XIX e início do século XX, com a intenção de se iluminar as heranças conceituais de Shapiro e alguns possíveis pressupostos de Benacerraf, oferecendo-se alguma notoriedade às figuras do matemático alemão Richard Dedekind e do grupo francês Nicholas Bourbaki. / [en] Frege’s reflections on the nature of numbers, presented in his Grundlagen der Arithmetik (1884), provide the guiding theme for this dissertation. His characterization of numbers as logical objects was sharply criticized by Paul Benacerraf (1965), who suggested that since mathematicians (as mathematicians) work within a structural framework, philosophical research on mathematics should preserve this structural aspect of mathematics. Benacerraf’s arguments, as well as earlier works by the Bourbaki group, gave raise to several structuralist research projects, one of the most interesting of which is developed by Stewart Shapiro. We present the ontological and epistemological basis of Shapiro’s socalled ante rem structuralism, as well as some of the debates from the late 19th and early 20th centuries which throw some light on the conceptual presuppositions of Shapiro and Benacerraf. In this connection we emphasize the work of the German mathematician Richard Dedekind and of the French group Nicholas Bourbaki.

[pt] A proximidade entre matemática e filosofia em Platão é algo historicamente estabelecido e que pode ser constatado desde o primeiro contato com a sua obra e com as linhas gerais de seu pensamento. Nesse sentido, encontramos em alguns dos seus principais Diálogos, particularmente em A República, concepções sobre a natureza da matemática relacionadas, sobretudo, à metodologia matemática. Na República Platão aborda criticamente aspectos referentes ao método e ao status epistemológico das disciplinas matemáticas em dois momentos. O primeiro no Livro VI, na célebre passagem da Linha Dividida (509d - 511e), e o segundo no Livro VII, por ocasião da descrição do programa de estudos preparatórios à dialética (521c-534e) e, em ambos, considerando-se o que Platão diz em outras oportunidades, o teor da crítica platônica surpreende. Na Linha, as disciplinas matemáticas são descritas como formas de conhecimento intermediárias entre a opinião e a dialética, a única a merecer o título de ciência legítima. No Livro VII para ilustrar a distinção entre o conhecimento alcançado pelas disciplinas matemáticas, de um lado, e pela dialética, de outro, é dito que apesar de apreender alguma coisa da essência o matemático estaria para o dialético como aquele que dorme e sonha está para aquele que está acordado e vivendo a realidade (533b - 534e). O objetivo desse trabalho, portanto, é investigar por que Platão considera as matemáticas ciências intermediárias e qual a noção de conhecimento que serve de critério para essa classificação. / [en] The proximity between mathematics and philosophy in Plato is something historically acknowledged and that can be verified from the first contact with his work and with the general lines of his thought. Thus, one can find in some of his main Dialogues, particularly in the Republic, conceptions on the nature of mathematics mainly related to the mathematical methodology. In the Republic Plato approaches critically aspects regarding the method and the epistemological status of the mathematical disciplines in two moments. The first in Book VI, in the famous fragment of the Divided Line (509d - 511e), and the second in Book VII, while describing the program of preparatory studies to dialectics (521c-534e) and, in both cases, considering what Plato says in other fragments, the character of Plato s criticism surprises. In the Line, the disciplines of mathematics are described as a way of knowledge in-between opinion and dialectics, the last being the only one entitled to be considered a legitimate science. In Book VII, in order to show the distinction between the knowledge reached by mathematical disciplines, on one side, and the dialectics, on another, it is stated that despite learning some of the essence, the mathematician is for the dialectical as one who sleeps and dreams is for those who are awake and living reality itself (533b 534e). Therefore, the aim of this work is to investigate why Plato considers the disciplines of mathematics in-between sciences and what notion of knowledge was used as the criteria for that classification.

[pt] É consenso que o Positivismo, sistema filosófico desenvolvido por Auguste Comte, teve significativa influência tanto na forma como a Matemática foi incorporada nas instituições de ensino superior do Brasil, no século XIX, quanto na maneira em que essa ciência foi disseminada nas escolas secundárias. A partir dessa constatação, definiu-se como principal objetivo desta Tese compreender a visão que o filósofo de Montpellier tinha da Educação Matemática. Para alcançálo, partiu-se de um conceito amplo de Educação Matemática, que engloba o de Ensino da Matemática, considerando que a idéia de Educação abarca uma concepção mais completa possível do Homem e da sociedade na qual está inserido. Fez-se necessário, de início, um estudo mais geral do Positivismo, para que fossem entendidas posteriormente suas particularidades. A partir daí, foram discutidos, sob vários enfoques, os antecedentes, os primórdios, a disseminação e a decadência do pensamento positivista no Brasil. Em seguida, estudou-se a idéia que Comte tinha da Matemática, utilizando-se de suas obras sobre o assunto. Vale ressaltar que o enfoque em uma concepção mais ampla da Educação Matemática exigiu a análise de um número maior de suas obras que as utilizadas usualmente pelos estudiosos do tema, pois normalmente são deixados de lado os seus Escritos da Juventude, o Sistema de Política Positiva (1851-1854) e a Síntese Subjetiva (1856). Finalmente, chega-se à visão que se pode extrair do pensamento desse filósofo sobre Educação e Educação Matemática. A principal contribuição que este trabalho pretende dar à sua área de pesquisa é fornecer subsídios ao estudo de uma época importante de nossa história, de forma a propiciar uma visão cada vez mais refinada aos estudiosos da História da Educação Matemática do Brasil. Em última análise, a pretensão desta pesquisa é, por meio de uma compreensão melhor do passado, permitir que se olhe para a época atual com mais senso crítico e embasamento teórico. / [fr] Il est généralement accepté que le Positivisme, système philosophique développé par Augute Comte, a eu une influence significative sur l´incorporation des mathématiques dans les institutions d´enseignement supérieur brésiliennes, au XIXème siècle, et aussi dans les établissements d´enseignement sécondaire de notre pays. À partir de ce constat, le bût de ce travail est essayer de comprendre la conception des Éducation Mathématiques du phylosophe de Montpellier. Pour y arriver, nous partons d´une conception bien globale de l´Éducation Mathématique, parce que l´Éducation nous remet à une conception la plus complete possible de l´homme et de la société. Il a donc été nécessaire, de commencer le travail par une étude générale sur le positivisme, pour qu´on puisse comprendre ses caractéristiques particulières. Ensuite, nous avons discuté, de plusieurs points de vue, les antécédents, le commencent, la dissémination et la décadence de la pensée positiviste au Brésil. Après ça, nous avons étudié la conception des mathématiques de Comte, en enployant ses écrits. Nous remaquons que notre acceptation d´une signification plus étendue de ce qu´est l´Éducation Mathématique a exigé l´analyse d´une bonne partie de ses écrits, plus vaste que celle faite par les chercheurs de ce sujet, qui généralement laissent de côté ses Écrits de Jeunesse (1816-1828), le Système de Politique Positive (1851-1854) et la Synthèse Subjective (1856). Nous arrivons ainsi à ce qu´on peut extraire de la pensée de ce phylosophe sur l´Éducation et l´Éducation Mathématique. La principale contribution de ce travail est d´essayer de fournir des éléments pour l´étude d´une période très importante de nôtre histoire et donc permettre un point de vue plus profond a ceux qui font des recherches sur l´histoire de l´éducation mathématique au Brésil. En peu de mots, la compréhension plus approfondie du passé permet qu´on regarde le présent avec plus de sens critique et de ressources théoriques.