[pt] Este trabalho apresenta uma formulação puramente baseada em plasticidade para ser aplicada à otimização topológica. A principal ideia da otimização topológica em mecânica dos sólidos é encontrar a distribuição de material dentro do domínio de forma a otimizar uma medida de performance e satisfazer um conjunto de restrições. Uma possibilidade é minimizar a flexibilidade da estrutura satisfazendo que o volume seja menor do que um determinado valor. Essa é a formulação clássica da otimização topológica, que é vastamente utilizada na literatura. Não obstante fornecer resultados interessantes, condições adicionais devem ser levadas em consideração para viabilizar sua aplicação prática. O projeto estrutural aborda dois aspectos principais: (i) a estrutura não deve colapsar, suportando os carregamentos aplicados (critério de segurança); e (ii) deverá se sujeitar a um valor máximo aceitável de deformação (critério de aceitabilidade). Consequentemente, a otimização topológica clássica deve ser modificada de forma a encontrar a distribuição de material correspondente ao menor volume possível tal que o critério de segurança seja verificado. O referido critério de segurança pode ser definido como limitar as tensões elásticas ao critério de plastificação em todo o domínio. Esta definição resultou em um novo ramo de pesquisa: a otimização topológica com restrições de tensões. Por outro lado, entende-se que o projeto estrutural plástico é preferível quando um projeto ótimo é almejado, uma vez que permite um maior aproveitamento da resistência do material. Dessa forma, este trabalho aborda a incorporação do projeto estrutural plástico à otimização topológica como método mais vantajoso do que a otimização topológica clássica e a com restrições de tensões. A formulação proposta é uma extensão da análise limite, que fornece uma estimativa da carga de colapso de uma estrutura diretamente por meio da programação matemática, assegurando a eficiência computacional da metodologia proposta. De forma a verificar a otimização topológica plástica e comparar a topologia final com as obtidas através da otimização topológica clássica e da com restrição de tensões, são apresentados exemplos numéricos. / [en] This work presents a full plastic formulation to be applied within topology optimization. The main idea of topology optimization in solid mechanics is to find the material distribution within the domain so that it optimizes a performance measure and satisfies a set of constraints. One might seek to minimize the compliance satisfying that the volume is less than a given value. The aforementioned formulation is the standard topology optimization which has been used widely in literature. Although it provides interesting results, additional requirements must be taken into account when practical application is concerned. Structures are designed considering two main aspects: (i) the structure must not collapse, supporting the applied loads (safety criterion); and (ii) its displacements must be lower than a prescribed bound (serviceability criterion). Consequently, the standard formulation shall be modified, finding the material distribution corresponding to the minimum volume such that the safety criterion is met. Said safety criterion may be defined as restraining the elastic stresses to the yield criterion in the entire domain. This definition has resulted in a new branch in this research field: the stress constrained topology optimization. On the other hand, it is understood that the plastic design criterion is preferable when optimization is intended, since it fully exploits the material strength. Therefore, this work addresses the incorporation of the plastic design criterion into topology optimization as a more advantageous method than standard and stress constrained topology optimization methods. The proposed formulation is an extension of limit analysis, which provides an estimative of the collapse load of a structure directly through mathematical programming, ensuring computational efficiency to the proposed methodology. Lastly, numerical examples are shown to verify plastic topology optimization and the final topology is compared with those provided by standard and stress constrained topology optimization methods.

[pt] Este trabalho apresenta um estudo comparativo de métodos numéricos para solução das equações da elasticidade em problemas de otimização topológica. Um sistema computacional é desenvolvido em MATLAB para solução de problemas de otimização topológica usando malhas poligonais não estruturadas em domínios bidimensionais arbitrários. Dois métodos numéricos são implementados e comparados com o método dos elementos finitos (FEM) em relação à precisão e à eficiência computacional: o recém proposto Método dos Elementos Virtuais (VEM) e o Método dos Elementos Finitos Suavizados (SFEM). A principal característica que distingue estes métodos do FEM é que as funções de base canônicas não são obtidas de forma explícita. A utilização de projetores locais apropriados permite a extração do componente linear das deformações dos elementos e, por conseguinte, o cálculo da matriz de rigidez se reduz a avaliações de quantidades puramente geométricas. Exemplos numéricos representativos, usando malhas convexas e não convexas, para minimização da flexibilidade são apresentados para ilustrar as potencialidades dos métodos estudados. / [en] This work presents a comparative study of numerical methods for solving the elasticity equations in topology optimization problems. A computational framework is developed in MATLAB for solving topology optimization problems using unstructured polygonal meshes in arbitrary two-dimensional domains. Two numerical methods are implemented and compared with the finite element method (FEM) with respect to accuracy and computational efficiency: the recentlyproposed Virtual Element Method (VEM) and the Smoothed Finite Element Method (SFEM). The key characteristic that distinguish these methods from the FEM is that the canonical basis functions are not computed explicitly. The use of appropriate local projection maps allows the extraction of the linear component of the element deformations and, therefore, the computation of the stiffness matrix is reduced to the evaluation of purely geometric quantities. Representative numerical examples, using convex and non-convex meshes, for compliance minimization are presented to illustrate the capabilities of the methods studied.

[pt] Métodos de otimização topológica estrutural visam obter a melhor distribuição de material dentro de um dado domínio, sujeito a carga, condições de contorno e restrições de projeto, de forma a minimizar alguma medida especificada. A otimização topológica estrutural pode ser dividida em dois tipos: contínua e discreta, sendo a forma discreta o foco da pesquisa desta dissertação. O objetivo deste trabalho é a criação de um sistema para realizar todos os passos dessa otimização, visando a resolução de problemas com grandes dimensões. Para realizar esse tipo de otimização, é necessária a criação de uma malha densa de barras, esta definida como conjunto de nós cobrindo todo o domínio, conectados através de barras, além da especificação dos apoios e das forças aplicadas. Este trabalho propõe um novo método para geração da malha densa de barras, utilizando como entrada somente o contorno do domínio que se deseja otimizar, contrapondo com métodos que necessitam de um domínio já discretizado, como uma malha de poliedros. Com a malha gerada, este trabalho implementou a otimização topológica, sendo necessário resolver um problema de programação linear. Toda a parte de otimização foi realizada dentro do framework TopSim, tendo implementado o método dos pontos interiores para a resolução da programação linear. Os resultados apresentados possuem boa qualidade, tanto na geração quanto na otimização, para casos 2D e 3D, tratando casos com mais de 68 milhões de barras. / [en] Structural topology optimization methods are used to find the optimal material distribution within a given domain, subject to loading, boundary conditions and design constraints, in order to minimize some specified measure. Structural topology optimization can be divided into two types: continuum and discrete, with the discrete type being the research focus of this dissertation. The goal of this work is the creation of a system to achieve all the steps of this optimization process, aiming problems with large dimensions. In order to perform the optimization, it is necessary create a ground structure, defined as a set of nodes covering the entire domain, connected by bars, with the supports and the applied loads. This work proposes a new method for the ground structure generation, using as input only the domain boundary, in contrast with methods that require a domain already discretized, such as a polyhedron mesh. With the generated mesh, this work has implemented the topological optimization, needing to solve a linear programming problem. All the optimization part was performed within the TopSim framework, implementing the interior point method for the linear programming resolution. The results presented have good quality, both in generation and optimization, for 2D and 3D cases, considering cases with more than 68 million bars.

[pt] As metodologias de projeto estrutural foram fortemente influenciadas pelo advento da computação. Os avanços nas áreas de análise numérica, como o método dos elementos finitos, e os softwares de Desenho Assistido por Computador, literalmente ajudaram a moldar o mundo como ele é hoje. Implementações computacionais das técnicas de otimização estrutural, como a otimização topológica, permitem a determinação das estruturas base, gerando uma grande quantidade de projetos novos, mais eficientes, com o potencial de mudar drasticamente o futuro das aeronaves, automóveis, edifícios, etc. Introduzir restrições de tensão na otimização topológica tradicional permite a obtenção de soluções mais seguras e confiáveis que se assemelhem mais à estrutura final. Contudo, isto não é uma tarefa trivial, apresentando várias dificuldades conceituais e numéricas. Nesta dissertação, as principais questões deste problema são discutidas e as técnicas presentes hoje na literatura são revisadas e criticadas quanto aos seus desempenhos. A principal contribuição deste trabalho é uma nova técnica baseada no Método do Lagrangiano Aumentado que lida eficientemente com um grande número de restrições. Em contraste com os métodos existentes, que são dependentes do problema e da malha, a abordagem proposta apresenta poucos parâmetros que precisam ser ajustados a cada novo caso. Para avaliar suas potencialidades, desenvolveu-se um código em MATLAB, eficaz e robusto. Diversos exemplos representativos, incluindo problemas de larga escala, são apresentados. Finalmente, as soluções obtidas, incluindo algumas complicações inesperadas, são discutidas detalhadamente e sugestões para trabalhos futuros são propostas. / [en] Structural design methodologies were strongly influenced by the advent of computing. The advances in numerical analyses, such as the finite element method, and Computer Aided Design software have literally helped shape the engineering world as it is today. Structural optimization methods such as topology optimization aim to take the next step by letting the computer guide the design, in order to achieve new and more eficient designs. This approach has the potential to change the future of various industries, including aircraft, automobile, construction, etc. The introduction of stress constraints on traditional topology optimization allows for safer and more reliable solutions that will more closely resemble the final structure. The successful solution of this problem poses several conceptual and numerical dificulties. Thus this dissertation details the main issues of this problem and reviews the current techniques discussed in the literature including some critiques of their performance. The main contribution of this work is a novel technique based on the Augmented Lagrangian method that can eficiently handle a large number of constraints. In contrast to existing methods which are both problem- and mesh-dependent, the presented approach contains only a few parameters which need to be adjusted for each new case. In order to verify the technique s capabilities, a user friendly MATLAB code was developed that is both effective and robust. Several representative examples, including large-scale problems, are presented. Finally, the solutions obtained here, including some unexpected complications, are thoroughly discussed and suggestions for future work are also addressed.

[pt] Modelos de bielas e tirantes são, em última análise, representações discretas dos campos de tensão nos elementos estruturais de concreto armado próximos da ruptura e visam possibilitar um projeto consistente de todos os elementos estruturais. Este trabalho tem como objetivo desenvolver um programa de otimização topológica que gere e permita a visualização de um modelo de bielas e tirantes para elementos estruturais de concreto armado. O modelo gerado auxilia o engenheiro de projetos na compreensão dos caminhos de forças. Inicialmente o usuário deve ter como dado de entrada uma malha refinada em elementos finitos. A partir daí o programa calcula as tensões através da análise elástica por elementos finitos. As técnicas de otimização topológica usadas neste trabalho foram a do método da flexibilização súbita ( hard- kill method ) e a do método da remoção. No primeiro processo, os elementos com tensões baixas, que estão sendo usados ineficientemente têm seus módulos de elasticidade bruscamente reduzidos, enquanto que no método da remoção, estes elementos são retirados da malha. Tanto para modificar o módulo de elasticidade do elemento, quanto para retirar o elemento da malha, as tensões principais nos elementos são comparadas com uma tensão de referência definida como uma fração da maior tensão principal na malha. Caso essa tensão principal no elemento seja menor que a referida tensão de referência o elemento tem seu módulo de elasticidade modificado ou é eliminado conforme o método. A distribuição de tensão nos elementos é acompanhada pelo usuário através do módulo de visualização do programa e o processo de otimização topológica é repetido até que o critério de convergência imposto seja alcançado. / [en] Strut and tie models are ultimately discrete representations of the stress fields in the structural elements of reinforced concrete close to failure and they are meant to help the engineer to design a consistent project of all structural elements. This work aims to develop a program of topological optimisation that generates and allows the visualisation of a strut and tie model for structural elements of reinforced concrete. The generated model helps the project engineer to understand the load paths inside the element. Initially the user should have as data a refined finite element mesh. Starting from this point the program calculates the stress fields through a linear elastic finite element analysis. The techniques used for topological optimisation in this work are namely the hard-kill method and the method of removal. In the first process, the elements with low stress levels, that are not being used efficiently, have their elasticity modules abruptly reduced, while in the method of removal, these elements are removed from the mesh. Either to modify the elasticity module of the element or to remove the element from the mesh the principal stresses in each element are compared with a reference stress defined as a fraction of the largest principal stress in the mesh. If the principal stress in the element is smaller than this above mentioned reference stress the element has its elasticity module modified or is removed, depending on the method. The distribution of stresses in the elements can be followed by the user through the module of visualisation of the program and the process of topological optimisation is repeated until the specified convergence criterion is reached. / [es] Modelos de bielas y tirantes son, en último análisis, representaciones discretas de los campos de tensión de los elementos extructurales de concreto armado próximos a la ruptura. Su objetivo principal es ejecutar un proyecto que incluya todos los elementos extructurales. Este trabajo tiene como objetivo desarrollar un programa de optimización topológica que genere y permita la visualización de un modelo de bielas y tirantes para elementos extructurales de concreto armado. El modelo generado auxilia al ingeniero de proyectos en la comprensión de los caminos de fuerzas. Inicialmente el usuario debe tener como dato de entrada una malla refinada de elementos finitos. Así, el programa calcula las tensiones a través del análisis elástica por elementos finitos. Las técnicas de optimización topológica usadas en este trabajo fueron el método de la flexibilización súbita ( hard- kill method ) y el método de la remoción. En el primer proceso, los elementos con tensiones bajas, que están siendo utilizados ineficientemente tienen sus módulos de elasticidad bruscamente reducidos, mientras que en el método de la remoción, estos elementos son retirados de la malla. Tanto para modificar el módulo de elasticidad, cuanto para retirar el elemento de la malla, las tensiones principales en los elementos se comparan con una tensión de referencia definida como una fracción de la mayor tensión principal en la malla. En el caso en que esa tensión principal en el elemento sea menor que la tensión de referencia, el elemento tiene su módulo de elasticidad modificado o es eliminado conforme el método. El usuario acompaña la distribuición de tensión en los elementos a través del módulo de visualización del programa y el proceso de optimización topológica se repite hasta alcanzar el criterio de convergencia impuesto.

[pt] A otimização topológica tem por objetivo buscar uma distribuição ótima de uma quantidade limitada de material em um dado domínio, de tal maneira a minimizar uma medida de desempenho, como, por exemplo, a flexibilidade da estrutura. Tradicionalmente, são utilizados algoritmos clássicos, baseados em gradiente, para se encontrar a solução deste problema de otimização. Este trabalho propõe a aplicação de uma técnica alternativa, baseada no conceito de derivada topológica, para a solução do problema de otimização topológica em domínios bidimensionais arbitrários, utilizando malhas de elementos finitos poligonais. Inicialmente, são apresentados os conceitos básicos da expansão assintótica topológica na solução de problemas de elasticidade linear em um domínio com pequenas perturbações. Usamos esse conceito para definir a derivada topológica a partir da solução desse problema e de um equivalente em um domínio sem perturbações. Em seguida, discutimos a obtenção da derivada topológica em problemas unidimensionais simples para depois estender este conceito para problemas de elasticidade linear bidimensional. Apresentamos uma implementação computacional da derivada topológica, em MATLAB, e aplicamos o código desenvolvido na solução de problemas de otimização topológica, conhecidos na literatura. Finalmente, apresentamos as conclusões sobre a qualidade dos resultados obtidos e a eficiência computacional da implementação proposta e sugerimos alguns tópicos para futuros desenvolvimentos. / [en] The purpose of topology optimization is to find the optimum material distribution of a limited amount of material in a given domain, in such a way that it minimizes a performance measure, such as the structure s compliance. Traditionally, classical algorithms based on gradients are used to obtain the solution of optimization problems. This work proposes the application of an alternative technique, based on the topological derivative concept, for the solution of topology optimization problems in arbitrary two-dimensional domains, using polygonal finite element meshes. Initially, the basic concepts of topological asymptotic expansion of linear elasticity problems in a domain with small perturbations are presented. We use this concept to define the topological derivative from the solution of this problem and an equivalent one on a domain without perturbations. Then, we discuss how to calculate the topological derivative for one-dimensional problems before extending this concept to two-dimensional linear stability problems. We present a computational implementation of the topological derivative in MATLAB, and apply the developed code to solve topology optimization problems known in the literature. Finally, we present some conclusions about the quality of the results obtained and the computational efficiency of the proposed implementation and suggest some topics for future developments.

[pt] Neste trabalho, são apresentadas algumas aplicações da otimização topológica para problemas de autovalor onde o principal objetivo é maximizar um determinado autovalor, como por exemplo uma frequência natural de vibração ou uma carga crítica linearizada, usando elementos finitos poligonais em domínios bidimensionais arbitrários. A otimização topológica tem sido comumente utilizada para minimizar a flexibilidade de estruturas sujeitas a restrições de volume. A ideia desta técnica é distribuir uma certa quantidade de material em uma estrutura, sujeita a carregamentos e condições de contorno, visando maximizar a sua rigidez. Neste trabalho, o objetivo é obter uma distribuição ótima de material de maneira a maximizar uma determinada frequência natural (para mantê-la afastada da frequência de excitação externa, por exemplo) ou maximizar a menor carga crítica linearizada (para garantir um nível mais elevado de estabilidade da estrutura). Malhas poligonais construídas usando diagramas de Voronoi são empregadas na solução do problema de otimização topológica. As variáveis de projeto, i.e. as densidades do material, utilizadas no processo de otimização, são associadas a cada elemento poligonal da malha. Vários exemplos de otimização topológica, tanto para problemas de frequências naturais de vibração quanto para cargas críticas linearizadas, são apresentados para demonstrar a funcionalidade e a aplicabilidade da metodologia proposta. / [en] In this work, we present some applications of topology optimization for eigenvalue problems where the main goal is to maximize a specified eigenvalue, such as a natural frequency or a linearized buckling load using polygonal finite elements in arbitrary two-dimensional domains. Topology optimization has commonly been used to minimize the compliance of structures subjected to volume constraints. The idea is to distribute a certain amount of material in a given design domain subjected to a set of loads and boundary conditions such that to maximize its stiffness. In this work, the objective is to obtain the optimal material distribution in order to maximize the fundamental natural frequency (e.g. to keep it away from an external excitation frequency) or to maximize the lowest critical buckling load (e.g. to ensure a higher level of stability of the structures). We employ unstructured polygonal meshes constructed using Voronoi tessellations for the solution of the structural topology optimization problems. The design variables, i.e. material densities, used in the optimization scheme, are associated with each polygonal element in the mesh. We present several topology optimization examples for both eigenfrequency and buckling problems in order to demonstrate the functionality and applicability of the proposed methodology.

[pt] A otimização topológica de estruturas sujeitas a carregamentos que variam ao longo do tempo, costuma ter custos computacionais bastante elevados. Isso acontece devido ao grande número de análises dinâmicas que são necessárias. ALém disso, avaliar os gradientes da resposta, que fazem parte da análise de sensibilidade, também resulta em alto custo de computação e requer um grande espaço de armazenamento. Nesta dissertação, em vez de resolver o problema dinâmico original diretamente, é resolvida uma sequência de problemas de otimização de resposta estática com múltiplos casos de carga. Essa abordagem, chamada de método do carregamento estático equivalente, gera cargas estáticas que produzem uma resposta equivalente à obtida na análise dinâmica. Para avaliar as abordagens presentes na literatura, desenvolveu-se um código MATLAB, e diversos exemplos representativos são apresentados. / [en] Topology optimization in the time domain of structures subjected to time-dependent loads is usually computationally expensive, starting with the large number of time-dependent analyses that are required. Futhermore, the computational cost to evaluate the gradients of the response is significantly high and requires a large storage space. In this paper, instead of solving the original dynamical problem directly, we solve a sequence of static response optimization problems with many load cases. This approach, called the equivalent static loads method, generates static loads that produce a similar response in comparison to the same response that the dynamic analysis does. In order to verify the approaches present in the literature, a MATLAB code was developed, and several representatives examples are presented.

[pt] A otimização topológica tem como objetivo encontrar a distribuição mais eficiente de material (ótima topologia) em uma determinada região, satisfazendo as restrições de projeto estabelecidas pelo usuário. Na abordagem tradicional atribui-se uma variável de projeto, constante, denominada densidade, para cada elemento finito da malha. Dessa forma, a qualidade da representação dos novos contornos da estrutura depende do nível de discretização da malha: quanto maior a quantidade de elementos, mais bem definida será a topologia da estrutura otimizada. No entanto, a utilização de malhas super-refinadas implica em um elevado custo computacional, principalmente na etapa de solução numérica das equações de equilíbrio pelo método dos elementos finitos. Este trabalho propõe uma nova estratégia computacional para o refinamento adaptativo local de malhas utilizando elementos finitos poligonais em domínios bidimensionais arbitrários. A ideia consiste em realizar um refinamento da malha nas regiões de concentração de material, sobretudo nos contornos internos e externos, e um desrefinamento nas regiões de baixa concentração de material, como por exemplo, nos furos internos. Desta forma, é possível obter topologias ótimas, com alta resolução e relativamente baixo custo computacional. Exemplos representativos são apresentados para demonstrar a robustez e a eficiência da metodologia proposta por meio de comparações com resultados obtidos com malhas super-refinadas e mantidas constantes durante todo o processo de otimização topológica. / [en] Topology optimization aims to find the most efficient distribution of material (optimal topology) in a given domain, subjected to design constraints defined by the user. The quality of the new boundary representation depends on the level of mesh refinement: the greater the number of elements in the mesh, the better will be the representation of the optimized structure. However, the use of super refined meshes implies in a high computational cost, especially regarding the numerical solution of the linear systems of equations that arise from the finite element method. This work proposes a new computational strategy for adaptive local mesh refinement using polygonal finite elements in arbitrary two-dimensional domains. The idea is to perform a mesh refinement in regions of material concentration, mostly in inner and outer boundaries, and a mesh derefinement in regions of low material concentration such as the internal holes. Thus, it is possible to obtain optimal topologies with high resolution and relatively low computational cost. Representative examples are presented to demonstrate the robustness and efficiency of the proposed methodology by comparing the results obtained herein with the ones from the literature where super refined meshes are held constant throughout all topology optimization process.

[pt] O design otimizado de estruturas considerando não-linearidades tem sido amplamente pesquisado nas décadas recentes. A análise de elementos finitos aplicada à otimização topológica é prejudicada pela deformação excessiva de elementos de baixa densidade sob alta compressão, o que impede o processo de encontrar uma solução ótima. Dois métodos, o esquema Interpolação de Energia e a técnica de Hiperelasticidade Aditiva, são implementados para superar essa dificuldade no problema de minimização da flexibilidade, e modelos de materiais hiperelásticos são usados para investigar suas influências na topologia otimizada. O Método das Assíntotas Móveis é usado para atualizar as variáves de projeto cujas sensibilidades foram calculadas pelo método adjunto. A equação de estado é resolvida através do método de Newton-Raphson com um incremento de carga ajustável para reduzir o custo computacional. Resultados de dois problemas de referência são comparado com aqueles já estabelecidos na literatura. O uso de diferentes modelos hiperelásticos apresentou pouca influência no design final da estrutura. O método de Interpolação de Energia foi capaz de convergir para cargas muito maiores que o método padrão, enquanto a Hiperelasticidade Aditiva apresentou dificuldades de convergência em estado plano de deformação. / [en] The optimized design of structures considering nonlinearities has been widely researched in the recent decades. The finite element analysis applied to topology optimization is jeopardized by the excessive deformation of low-density elements under high compression, which hinders the process of finding an optimal solution. Two methods, the Energy Interpolation scheme and the Additive Hyperelasticity technique, are implemented to overcome this difficulty in the minimum compliance problem, and hyperelastic material models are used to investigate their influence on the optimized topology. The Method of Moving Asymptotes is used to update the design variables whose sensitivities were calculated from the adjoint method. The state equation is solved through the Newton-Raphson method with an adjusting load step to reduce computational cost. Results for two benchmark problems are compared with those already established in the literature. The use of different hyperelastic models presented little influence on the final design of the structure. The Energy Interpolation method was able to converge for much higher loads than the default method, while the Additive Hyperelasticity presented convergence difficulties in plane strain.