[pt] Os recentes avanços das técnicas de manufatura aditiva vêm ampliando a sua flexibilidade em fabricar peças complexas em escala cada vez menores. Neste contexto, o projeto de microestruturas porosas vem se destacando na comunidade científica devido a capacidade de se otimizar a topologia da célula para atender aos requisitos de projeto. No entanto, existem vários desafios que dificultam a fabricação de peças obtidas pelo método de otimização topológica multiescala, dentre eles, a conectividade das microestruturas. A otimização topológica multiescala consiste na otimização tanto da macroescala, estrutura global, quanto da microescala, microestrutura do material. O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um esquema eficaz para garantir a transição entre as diferentes microestruturas de material obtidas na otimização multiescala. As metodologias multiescala de otimização topológica simultânea de ambas as escalas e os procedimentos de homogeneização são descritos. Apresentam-se os principais aspectos numéricos e computacionais destes métodos, assim como exemplos ilustrativos. / [en] Recent advances in additive manufacturing techniques have increased their flexibility in making complex parts on a smaller scale. In this context, the design of porous microstructures has been standing out in the scientific community due to the ability to optimize the cell topology to meet the design requirements. However, there are several challenges that inhibit the fabrication of optimized parts obtained by the multi-scale topology optimization method, such as the connectivity of microstructures. The multiscale topological optimization consists of the optimization of both the macro-scale, global structure, and the micro-scale, microstructure of the material. The main objective of this work is to develop an effective scheme to guarantee compatibility in the transition between the different material microstructures obtained in multiscale optimization. The multiscale methodologies for simultaneous topological optimization of both scales and the homogenization procedures are described. The main numerical and computational aspects of these methods are presented, as well as representative examples to illustrate the capabilities of the proposed scheme.

[pt] A otimização topológica tem como objetivo encontrar a distribuição mais eficiente de material em um domínio especificado sem violar as restrições de projeto definidas pelo usuário. Quando aplicada a estruturas contínuas, a otimização topológica é geralmente realizada por meio de métodos de densidade, conhecidos na literatura técnica. Neste trabalho, daremos ênfase à aplicação de sua formulação discreta, na qual um determinado domínio é discretizado na forma de uma estrutura base, ou seja, uma distribuição espacial finita de nós conectados entre si por meio de barras de treliça. O método de estrutura base fornece uma aproximação para as estruturas de Michell, que são compostas por um número infinito de barras, por meio de um número reduzido de elementos de treliça. O problema de determinar a estrutura final com peso mínimo, para um único caso de carregamento, considerando um comportamento linear elástico do material e restrições de tensão, pode ser formulado como um problema de programação linear. O objetivo deste trabalho é fornecer uma implementação escalável para o problema de otimização de treliças com peso mínimo, considerando domínios com geometrias arbitrárias. O método remove os elementos que são desnecessários, partindo de uma treliça cujo grau de conectividade é definido pelo usuário, mantendo-se fixos os pontos nodais. Propomos uma implementação escalável do método de estrutura base, utilizando um algoritmo de pontos interiores eficiente e robusto, em um ambiente de computação paralela (envolvendo unidades de processamento gráfico ou GPUs). Os resultados apresentados, em estruturas bi e tridimensionais com milhões de barras, ilustram a viabilidade e a eficiência computacional da implementação proposta. / [en] Topology optimization aims to find the most efficient material distribution in a specified domain without violating user-defined design constraints. When applied to continuum structures, topology optimization is usually performed by means of the well-known density methods. In this work we focus on the application of its discrete formulation where a given domain is discretized into a ground structure, i.e., a finite spatial distribution of nodes connected using truss members. The ground structure method provides an approximation to optimal Michell-type structures, composed of an infinite number of members, by using a reduced number of truss members. The optimal least weight truss for a single load case, under linear elastic conditions, subjected to stress constraints can be posed as a linear programming problem. The aim of this work is to provide a scalable implementation for the optimization of least weight trusses embedded in any domain geometry. The method removes unnecessary members from a truss that has a user-defined degree of connectivity while keeping the nodal locations fixed. We discuss in detail the scalable implementation of the ground structure method using an efficient and robust interior point algorithm within a parallel computing environment (involving Graphics Processing Units or GPUs). The capabilities of the proposed implementation is illustrated by means of large scale applications on practical problems with millions of members in both 2D and 3D structures.

[pt] A otimização topológica tem se desenvolvido bastante e possui potencial para revolucionar diversas áreas da engenharia. Este método pode ser implementado a partir de diferentes abordagens, tendo como base o Método dos Elementos Finitos. Ao se utilizar uma abordagem baseada no elemento, potencialmente, cada elemento finito pode se tornar um vazio ou um sólido, e a cada elemento do domínio é atribuído uma variável de projeto, constante, denominada densidade. Do ponto de vista Euleriano, a topologia obtida é um subconjunto dos elementos iniciais. No entanto, tal abordagem está sujeita a instabilidades numéricas, tais como conexões de um nó e rápidas oscilações de materiais do tipo sólido-vazio (conhecidas como instabilidade de tabuleiro). Projetos indesejáveis podem ser obtidos quando elementos de baixa ordem são utilizados e métodos de regularização e/ou restrição não são aplicados. Malhas poliédricas não estruturadas naturalmente resolvem esses problemas e oferecem maior flexibilidade na discretização de domínios não Cartesianos. Neste trabalho investigamos a otimização topológica em malhas poliédricas por meio de um acoplamento entre malhas. Primeiramente, as malhas poliédricas são geradas com base no conceito de diagramas centroidais de Voronoi e posteriormente otimizadas para uso em análises de elementos finitos. Demonstramos que o número de condicionamento do sistema de equações associado pode ser melhorado ao se minimizar uma função de energia relacionada com a geometria dos elementos. Dada a qualidade da malha e o tamanho do problema, diferentes tipos de resolvedores de sistemas de equações lineares apresentam diferentes desempenhos e, portanto, ambos os resolvedores diretos e iterativos são abordados. Em seguida, os poliedros são decompostos em tetraedros por um algoritmo específico de acoplamento entre as malhas. A discretização em poliedros é responsável pelas variáveis de projeto enquanto a malha tetraédrica, obtida pela subdiscretização da poliédrica, é utilizada nas análises via método dos elementos finitos. A estrutura modular, que separa as rotinas e as variáveis usadas nas análises de deslocamentos das usadas no processo de otimização, tem se mostrado promissora tanto na melhoria da eficiência computacional como na qualidade das soluções que foram obtidas neste trabalho. Os campos de deslocamentos e as variáveis de projeto são relacionados por meio de um mapeamento. A arquitetura computacional proposta oferece uma abordagem genérica para a solução de problemas tridimensionais de otimização topológica usando poliedros, com potencial para ser explorada em outras aplicações que vão além do escopo deste trabalho. Finalmente, são apresentados diversos exemplos que demonstram os recursos e o potencial da abordagem proposta. / [en] Topology optimization has had an impact in various fields and has the potential to revolutionize several areas of engineering. This method can be implemented based on the finite element method, and there are several approaches of choice. When using an element-based approach, every finite element is a potential void or actual material, whereas every element in the domain is assigned to a constant design variable, namely, density. In an Eulerian setting, the obtained topology consists of a subset of initial elements. This approach, however, is subject to numerical instabilities such as one-node connections and rapid oscillations of solid and void material (the so-called checkerboard pattern). Undesirable designs might be obtained when standard low-order elements are used and no further regularization and/or restrictions methods are employed. Unstructured polyhedral meshes naturally address these issues and offer fl exibility in discretizing non-Cartesians domains. In this work we investigate topology optimization on polyhedra meshes through a mesh staggering approach. First, polyhedra meshes are generated based on the concept of centroidal Voronoi diagrams and further optimized for finite element computations. We show that the condition number of the associated system of equations can be improved by minimizing an energy function related to the element s geometry. Given the mesh quality and problem size, different types of solvers provide different performances and thus both direct and iterative solvers are addressed. Second, polyhedrons are decomposed into tetrahedrons by a tailored embedding algorithm. The polyhedra discretization carries the design variable and a tetrahedra subdiscretization is nested within the polyhedra for finite element analysis. The modular framework decouples analysis and optimization routines and variables, which is promising for software enhancement and for achieving high fidelity solutions. Fields such as displacement and design variables are linked through a mapping. The proposed mapping-based framework provides a general approach to solve three-dimensional topology optimization problems using polyhedrons, which has the potential to be explored in applications beyond the scope of the present work. Finally, the capabilities of the framework are evaluated through several examples, which demonstrate the features and potential of the proposed approach.

[pt] Otimização topológica (OT) é uma técnica de otimização estrutural capaz de gerar projetos incrivelmente detalhados para uma grande gama de problemas. No entanto, a maioria dos trabalhos de OT presentes na literatura está focada em problemas de minimização de flexibilidade, que não consideram a resistência dos materiais durante o processo de otimização, levando a soluções que não satisfazem limites de falha do material. Neste trabalho, focamos em problemas de OT baseados em tensão no qual introduzimos restrições de tensão no problema de otimização, para garantir a integridade estrutural do projeto final. A formulação de tensão de OT nos leva a um problema de engenharia muito mais natural que nos remete à seguinte pergunta: Qual a estrutura mais leve capaz de suportar as cargas as quais será submetida? Para ajudar a responder essa pergunta e para trazer a OT para mais próximo de aplicações reais, neste trabalho foi desenvolvido um sistema computacional em paralelo, baseado em GPU, considerando uma carga que pode variar a sua direção continuamente e capaz de resolver problemas de larga escala. A implementação em GPU apresenta soluções eficientes para os principais problemas de OT de larga escala, como o filtro, o algoritmo de otimização e a solução das equações de equilíbrio. Ao mesmo tempo, ao considerar uma carga variando continuamente que mais se aproxima das condições reais de carregamento usando uma estratégia de pior cenário, obtém-se soluções mais robustas e mais adequadas a aplicações de engenharia. Várias soluções numéricas são apresentadas, incluindo problemas 3D com mais de 45 milhões de restrições de tensão, que demonstram a efetividade das técnicas desenvolvidas neste trabalho. O sistema de larga escala baseado em GPU combinado com as soluções analíticas para a variação contínua de carga, tem o potencial de expandir o uso da OT na engenharia levando a novas e mais eficientes estruturas. / [en] In the field of structural optimization, Topology Optimization (TO) is one of the most general techniques because it is able to generate complex structures with intricate details for a wide range of problems. However, most of the works in TO have focused on compliance-based design that does not consider material strength in the design process leading to structures that do not satisfy material failure requirements. In this work, we focus on the stress-based design approach. We introduce stress constraints in the optimization procedure to guarantee the structural integrity of the final optimized design. This leads to a more natural formulation that addresses a simple engineering question: What is the lightest structure able to withstand its loads? We developed a large-scale GPU-based parallel stress-constrained TO framework considering a continuous range of varying load directions to answer this question and close the gap between TO and practical application. The developed GPU-based C++/CUDA framework efficiently addresses the main challenges of large-scale TO, filtering, optimization algorithm, and the solution of the equilibrium equations, only requiring a moderately affordable GPU hardware. At the same time, we obtain designs that are more suitable for engineering applications by considering a continuous variable range of load directions that more closely resemble real-life service loads using a worstcase analytical approach. We present several numerical results, including 3D problems with over 45 million local constraints providing detailed optimal structures that demonstrate the capabilities of the techniques developed in this work. The large-scale GPU framework, combined with the analytical solutions for continuously varying load cases, has the potential to expand the applications of TO techniques leading to improved engineering designs.

[pt] Materiais feitos com microestruturas arquitetadas possuem propriedades mecânicas ajustáveis e podem ser usados na obtenção de estruturas leves e, ao mesmo tempo, com máxima rigidez. Em estruturas celulares formadas por rede de treliças, por exemplo, pode-se variar o tipo de topologia e porosidade de modo que o material seja eficientemente distribuído no domínio de projeto. Devido às geometrias complexas destas estruturas, projetá-las usando ferramentas de desenho assistido por computador é uma tarefa desafiadora. Neste trabalho, foi desenvolvida uma modelagem paramétrica no programa Rhinoceros usando a extensão Grasshopper para auxiliar na construção de modelos de sólidos celulares com estrutura interna treliçada de densidade variável. A modelagem paramétrica desenvolvida permite definir a topologia e o diâmetro das barras das treliças que simplificam em muito a geração de modelos de sólidos porosos. Modelos de microestrutura foram gerados e fabricados em poliamida 12 por meio de sinterização seletiva a laser para avaliar se é viável imprimir as treliças a partir dos parâmetros estabelecidos. O problema de uma viga biapoiada com carga concentrada no centro foi resolvido utilizando-se o método de otimização topológica e o campo de densidades foi usado para geração do modelo de densidade variável. Considerando a mesma massa final dos modelos otimizados, modelos com densidade constante foram gerados e fabricados juntamente com os modelos de densidade variável. Foram realizadas análises experimentais por meio de ensaios de flexão em três pontos e os resultados mostram que a solução usando densidade variável tem um grande aumento da rigidez quando comparadas com as soluções com densidade uniforme. / [en] Materials made with architected microstructures present tunable mechanical properties and can be used to obtain light structures and, at the same time, with maximum stiffness. In lattice structures, for example, the type of topology and porosity can be varied so that the material is efficiently distributed in the design domain. Due to the complex geometries of these structures, designing them using computer-aided design tools is a challenging task. In this work, a parametric modeling was developed in the Rhinoceros program using the Grasshopper extension to assist in the construction of models of lattice structures with varying truss diameters. The developed parametric modeling allows defining the topology and the diameter of the truss bars, which greatly simplifies the generation of models of porous solids. Microstructure models were generated and manufactured in polyamide 12 through selective laser sintering to assess whether it is feasible to print the trusses from the established parameters. The problem of a simply supported beam with a concentrated load at the center was solved using the topology optimization method and the density field was used to generate the variable density model. Considering the same final mass of the optimized models, models with constant density were generated and manufactured together with the models with variable density. Experimental analyzes were carried out using three-point bending tests and the results show that the solution using variable density has a large increase in stiffness when compared to solutions with uniform density.

[pt] Sabe-se que a maioria das estruturas reais estão sujeitas à diferentes casos de carregamentos, relacionadas à diferentes solicitações estruturais e à ação de forças naturais, como ventos e ondas. Neste contexto, é importante levar em consideração o efeito da maior quantidade de cenários possíveis que possam atuar em uma estrutura ao realizar um estudo de otimização topológica. A maneira tradicional de solução deste tipo de probema envolve uma análise caso a caso dos cenários, o que no contexto de um algoritmo de otimização estrutural requer a solução de um problema de elementos finitos para cada cenário em cada passo do algoritmo, ficando limitada pelo elevado custo computacional associado. Esta limitação abre espaço para abordagens baseadas em redução de dimensões como a aproximação estocástica e a decomposição em valores singulares. Este trabalho verifica a viabilidade do uso destes dois métodos na solução de problemas de otimização topológica estrutural com muitos casos de carga. Duas aplicações são apresentadas, otimização robusta e o problema de cargas dinâmicas usando o método do carregamento estático equivalente. Com isso, situações envolvendo carregamentos mais complexos podem ser estudadas através de algoritmos eficientes de otimização topológica. Para ambos os casos, são mostrados resultados comparando os resultados obtidos através da metodologia desenvolvida neste trabalho com resultados da literatura. / [en] It is known that most real structures are subject to different loading scenarios, related to different structural solicitations and the action of natural forces, such as winds and sea waves. In this context, it is important to consider the effect of the largest number of possible scenarios that can act on a structure when performing a topology optimization study. The traditional way of solving this type of problem involves a case-by-case analysis of the scenarios, which in the context of a structural optimization algorithm requires the solution of one finite element problem for each scenario and at each step of the algorithm, being limited by the high associated computational cost. This limitation leave room for approaches based on dimenson reduction such as stochastic approximation and decomposition into singular values. This work verifies the feasibility of using these two approaches to solve structural topology optimization problems with many load cases. Two applications are presented, robust optimization and the problem of dynamic loads using the equivalent static loading method. Thus, situations involving more complex loads can be studied through efficient topology optimization algorithms. For both cases, comparisons are established between the results obtained through the methodology developed in this work and the ones from the literature.

[pt] Este trabalho apresenta aplicações da técnica de otimização topológica para problemas de escoamento com fluidos não Newtonianos, usando o método dos elementos virtuais (VEM) em domínios bidimensionais arbitrários. O objetivo é projetar a trajetória ótima, a partir da minimização da energia dissipativa, de um escoamento governado pelas equações de Navier-Stokes-Brinkman e do modelo não Newtoniano de Carreau-Yasuda. A abordagem de porosidade proposta por (Borrvall e Petersson, 2003) [1] é usada na formulação do problema de otimização topológica. Para resolver este problema numericamente é usado o método VEM, recentemente proposto. A principal característica que diferencia o VEM do método dos elementos finitos (FEM) é que as funções de interpolação no interior dos elementos não precisam ser computadas explicitamente. Isso ocorre porque a integração é feita em funções polinomiais e bases de ordem inferior, permitindo assim uma grande flexibilidade no que diz respeito ao uso de elementos não convexos. Portanto, o cálculo das matrizes e vetores elementares se reduz à avaliação de grandezas geométricas nos contornos desses elementos. Finalmente, são apresentados exemplos numéricos representativos para demonstrar a eficiência do VEM em comparação com o FEM e a aplicabilidade da otimização topológica para esta classe de problemas de escoamento. / [en] This work presents selected applications of topology optimization for non-Newtonian fluid flow problems using the virtual element method (VEM) in arbitrary two-dimensional domains. The objective is to design an optimal layout into a fluid flow domain to minimize dissipative energy governed by the Navier-Stokes-Brinkman and non-Newtonian Carreau-Yasuda model equations. The porosity approach proposed by (Borrvall and Petersson, 2003) [1] is used in the topology optimization formulation. To solve this problem numerically, the recently proposed VEM method is used. The key feature that distinguishes VEM from the standard finite element method (FEM) is that the interpolation functions in the interior of the elements do not need to be computed explicitly. This is because the integration is on lower-order polynomial and basis functions, and there is great flexibility by using a non-convex element. Therefore, the computation of the main element matrices and vectors are reduced to the evaluation of geometric quantities on the boundary of the elements. Finally, several numerical examples are provided to demonstrate the efficiency of the VEM compared to FEM and the applicability of the topology optimization to fluid flow problems.

[pt] Métodos computacionais em engenharia são usados na solução de problemas físicos que não possuem solução analítica ou sua perfeita representação matemática é inviável. Técnicas de métodos numéricos, incluindo o amplamente usado método dos elementos finitos, podem exigir a solução de sistemas lineares com centenas de milhares de equações, demandando altos recursos computacionais (memória e tempo). Nesta tese, nós apresentamos um sistema baseado em plugins para análise numérica em larga escala. O sistema é usado como uma ferramenta original na solução de problemas de otimização topológica usando o método dos elementos finitos com milhões de elementos. Nossa estratégia utiliza uma técnica elemento-por-elemento para implementar um código altamente paralelo para um solver iterativo com baixo consumo de memória. Além disso, a abordagem de plugin proporciona um ambiente completamente flexível e fácil de estender, onde diferentes aplicações, exigindo diferentes tipos de elementos finitos, materiais, solvers lineares e formulações podem ser desenvolvidos e melhorados. O kernel do sistema é mínimo, com apenas um módulo gerenciador de plugin, responsável por carregar os plugins desejados em tempo real usando um arquivo de configuração de entrada. Todas as funcionalidades necessárias para uma determinada aplicação são definidas dentro dos plugins, sem a necessidade de mudar o kernel. Plugins podem disponibilizar ou exigir interfaces adicionais especializadas, onde outros plugins podem ser conectados para compor um sistema mais complexo e completo. Nós apresentamos resultados para uma análise estrutural estática linear elástica e para uma análise estrutural de otimização topológica. As simulações utilizam elementos Q4, hexagonal (Brick8) e prisma hexagonal (Honeycomb), com solvers diretos e iterativos usando computação sequencial, paralela e distribuída. Nós investigamos o desempenho com relação ao uso de memória e escalabilidade da solução para problemas com diferentes tamanhos, de exemplos pequenos a muito grandes em apenas uma máquina e em um cluster. Foi simulado um exemplo de análise estática linear elástica com 500 milhões de elementos em 300 máquinas. / [en] Computational methods in engineering are used to solve physical problems that do not have analytical solution or their perfect mathematical representation is unfeasible. Numerical techniques, including the largely used finite element method, require the solution of linear systems with hundreds of thousands equations, demanding high computational resources (memory and time). In this thesis, we present a plugin-based framework for large-scale numerical analysis. The framework is used as an original tool to solve topology optimization problems using the finite element method with millions of elements. Our strategy uses an element-by-element technique to implement a highly parallel code for an iterative solver with low memory consumption. Besides, the plugin approach provides a fully flexible and easy to extend environment, where different types of applications, requiring different types of finite elements, materials, linear solvers, and formulations, can be developed and improved. The kernel of the framework is minimum with only a plugin manager module, responsible to load the desired plugins during runtime using an input configuration file. All the features required for a specific application are defined inside plugins, with no need to change the kernel. Plugins may provide or require additional specialized interfaces, where other plugins may be connected to compose a more complex and complete system. We present results for a structural linear elastic static analysis and for a structural topology optimization analysis. The simulations use elements Q4, hexahedron (Brick8), and hexagonal prism (Honeycomb), with direct and iterative solvers using sequential, parallel and distributed computing. We investigate the performance regarding the use of memory and the scalability of the solution for problems with different sizes, from small to very large examples on a single machine and on a cluster. We simulated a linear elastic static example with 500 million elements on 300 machines.

[pt] Em muitos problemas de engenharia, e.g., no projeto de próteses biomédicas flexíveis ou em dispositivos de absorção de energia, estruturas sofrem grandes deslocamentos. Nestes casos, a não linearidade geométrica deve ser levada em conta na resposta estrutural. Contudo, algoritmos de otimização topológica considerando não linearidades, e modelados segundo o método de elementos finitos, sofrem instabilidades numéricas causadas por distorções excessivas nas regiões de baixa densidade dentro do domínio de projeto. Em particular, a matriz de rigidez pode não ser positiva definida comprometendo a convergência do processo de otimização. Esta dissertação visa estudar um esquema de interpolação entre as formulações lineares e não lineares de elementos finitos para aliviar tais distorções. Em cada etapa da otimização, para determinar a configuração de equilíbrio, o sistema de equações não-lineares é resolvido pelo procedimento de Newton-Raphson. Utilizando-se das informações dos gradientes calculadas através do método adjunto, o Método das Assíntotas Móveis é empregado para atualizar as variáveis de projeto. Por meio de problemas de referência considerando grandes deslocamentos, são demonstradas a eficácia e a eficiência deste esquema de interpolação. Mais especificamente, as topologias otimizadas estão de acordo com aquelas obtidas na literatura e exibem a dependência esperada em relação ao nível de carga. O esquema de interpolação em estudo desempenha papel crucial na solução de problemas não lineares em níveis elevados de carga, permitindo que a rotina de otimização convirja e se obtenha a distribuição de material ótima. / [en] In many engineering problems, e.g., design of flexible biomedical prostheses or energy absorption devices, structures undergo large displacements. In those problems, the structural response must take into account the geometric nonlinearity. However, topology optimization algorithms regarding nonlinearities, and based on the finite element method, typically suffer from numerical instabilities caused by excessive distortions of low-density regions within the design domain. In particular, the stiffness matrix may be no longer positive definite, which can jeopardize the convergence of the optimization process. This thesis aims to study an interpolation scheme between linear and nonlinear finite element formultation to alleviate this convergence issue. At each step of the optimization, the nonlinear state equation is solved by the Newton-Raphson procedure to determine the equilibrium configuration. Making use of the gradient information computed from the adjoint method, the Method of Moving Asymptotes is employed to update the design variables. Through several benchmark problems considering large displacements, it is demonstrated the effectiveness and efficiency of this interpolation scheme. More specifically, the optimized designs are in agreement with those obtained in the literature and exhibit correct load-level dependence. The investigated interpolation scheme plays a crucial role in the solution of nonlinear problems with high load levels, allowing the optimization routine to converge and to obtain the optimal material arrangement.