[pt] A estrutura dos mean-filed games foi desenvolvida com o intuito de estudar problemas com um infinito número de jogadores em algum tipo de competição, ao qual pode ser aplicado em diversos problemas. O estudo formalizado desses problemas começou, na comunidade matemática com Lasry and Lions, e mais ou menos na mesma época, porém independentemente, na comunidade de engenharia por P. Caines, Minyi Huang, and Roland Malhamé. Desde então a pesquisa nos mean-field games cresceu exponencialmente, e nesse trabalho apresentaremos regularidade para um caso de mean-field games utilizando tecnicas particulares. Nesse trabalho, estudamos time-dependent mean-field games no caso subquadrático, isto é, mean-field games, o qual é escrito como um sistema de duas equações, uma equação de Hamilton-Jacobi e uma equação do transporte ou uma equação de Fokker-Plank, em que o Hamiltoniano na equação de Hamilton-Jacobi possui um crescimento subquadratico. Começamos em assumir dez suposições, e então sob os mesmos deduzir regularidade Lipschitz para o sistema. / [en] The mean-field games framework was developed to study problems with an infinite number of rational players in competition, which could be applied in many problems. The formalized study of these problems has begun, in the mathematical community by Lasry and Lions, and beside them, but independently close to the same time in the engineering community by P. Caines, Minyi Huang, and Roland Malhamé. Since these seminal contributions, the research in mean-field games has grown exponentially, and in this work we present a regularity to a case of mean-field games using particulars techniques. In this work, we study time-dependent mean-field games in the subquadratic case, that is, mean-field games, which are written as a system of a Hamilton–Jacobi equation and a transport or Fokker–Planck equation, where The Hamiltonian presented on the Hamilton–Jacobi equation has a subquadratic growth. We begin by assuming ten assumptions, and then, under these assumptions derive Lipschitz regularity of the system.

[pt] A equação de Isaacs é um exemplo importante de equação elíptica totalmente não-linear, aparecendo em uma grande variedade de disciplinas. Um fato de interesse particular é que tais equações são dirigidas por operadores não convexos. Portanto, são compatíveis com a teoria de EvansKrylov e apresentam delicados desafios quando se trata de sua teoria da regularidade. Descrevemos uma série de resultados recentes sobre a teoria da regularidade da Equação de Isaacs. Estas cobrem estimativas nos espaços Hölder e Sobolev. Argumentamos através de um método genuinamente geométrico, importando informações de uma equação de Bellman relacionada. / [en] Isaacs equation is an important example of fully nonlinear elliptic equation, appearing in a wide of disciplines. Of particular interest is the fact that such equations are driven by nonconvex operators. Therefore, it falls off the scope of the Evans-Krylov theory and poses additional, delicate, challenges when it comes to its regularity theory. We describe a series of recent results on the regularity theory of the Isaacs equation. These cover estimates in Holder and Sobolev spaces. We argue through a genuinely geometrical method, by importing information from a related Bellman equation.

[pt] Nesta tese de Doutorado estudamos uma classe de equações diferenciais parciais de segunda ordem, uniformemente elípticas, completamente não-lineares na forma não-divergência, com crescimento superlinear no gradiente e coeficientes mensuráveis. Para equações com crescimento quadrático, provamos que ocorre multiplicidade de soluções quando o operador não é coercivo e investigamos o comportamento qualitativo dos contínuos de soluções obtidos para uma família parametrizada de problemas. Para isso, estendemos a regularidade e as estimativas C1, alfa, de Caffarelli-Swiech-Winter para equações com crescimento, no máximo quadrático, no gradiente, mostrando que as soluções são continuamente diferenciáveis até o bordo. Além disso, mostramos estimativas a priori na norma uniforme via técnicas puramente não-lineares na forma não-divergência, entre elas desigualdades do tipo Harnack e o princípio do máximo forte de Vázquez para equações de nosso tipo. / [en] In this Ph.D. thesis we study a class of uniformly elliptic partial differential equations of second order in fully nonlinear nondivergence form with superlinear growth in the gradient and measurable coefficients. For equations with quadratic growth, we prove that multiplicity of solutions occurs when the operator is not coercive. We investigate the qualitative behavior of the continuums of solutions obtained for a parameterized family of problems. For this, we extend the Caffarelli-Swiech-Winter C1, alpha, regularity estimates to equations with at most quadratic gradient growth, showing that the solutions are continuously differentiable up to the boundary. Furthermore, we show a priori estimates in the uniform norm using purely nonlinear techniques in the nondivergence form, such as Harnack type inequalities and a Vázquez’s strong maximum principle for equations of our type.

[pt] Nesta tese estudamos duas classes de problemas. A primeira delas diz respeito a uma equação completamente não-linear que degenera como uma potência do gradiente. A presença desta interface afeta a elipticidade do sistema e produz redução da regularidade. Combinando técnicas da análise harmônica com métodos da teoria da medida, desenvolvemos uma análise tangencial que produz resultados de regularidade para as soluções em espaços de Sobolev. Como consequência, nossos resultados implicam estimativas em espaços de Hölder para o gradiente das soluções, desconhecidas na literatura no caso de termos de fonte não-limitados. A segunda parte trata de um problema de transmissão livre, governado por operadores completamente não-lineares. Neste caso, obtemos regularidade ótima para as soluções, assim como informações sobre a fronteira livre associada. / [en] This thesis focuses on two classes of problems. Firstly, we examine fully nonlinear equation degenerating as a power of the gradient. The interface along which ellipticity collapses introduces substantial difficulties in the analysis and affects the regularity of the solutions. Through methods in harmonic analysis and measure theory we produce a geometric analysis of the problem, which leads to estimates in Sobolev spaces. Furthermore, our findings set an important open problem in the literature, namely: the H lder-continuity for the gradient of solutions in the presence of unbounded source terms. The second part of the thesis focuses on a free transmission problem driven by fully nonlinear operators. On this topic, our results include the optimal regularity of the solutions and an analysis of the associated free boundary.

[pt] Estudamos duas classes de equações diferenciais parciais, nomeadamente: uma equação de transferência radiativa e uma equação do calor duplamente não-linear. O primeiro modelo envolve uma equação não-local, na presença de um operador de espalhamento. Estuda-se a boa colocação do problema no semi-plano, no regime peaked. Prova-se um lema de averaging, que produz regularidade interior para o problema, além de regularização fracionária para as derivadas temporais da solução. O segundo conjunto de resultados da tese trata de uma equação de Trudinger com graus de não-linearidade distintos. Aproxima-se este problema pela p-equação do calor e importa-se regularidade da última para a primeira. Como consequência, mostra-se um resultado de regularidade melhorada no contexto não homogêneo. / [en] We consider two classes of partial differential equations. Namely: the radiative transfer equation and a doubly nonlinear model. The former concerns a nonlocal problema, driven by a scattering operator. We study the well-posedness of solutions in the peaked regime, for the half-space. A new averaging lemma yields interior regularity for the solutions and improved fractional regularization for the time derivatives. The second model we examine is a Trudinger equation with distinct nonlinearities degrees. Inspired by ideas launched by L. Caffarelli, we resort to approximation methods and prove improved regularity results for the solutions. The strategy is to relate our equation with p-caloric functions.