A Cohomologia de Hochschild é um invariante associado a álgebras o qual pode nos fornecer propiedades homologicas das álgebras e suas categorias de módulos. Além disso tem aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Representações, entre outras áreas. Para álgebras A sobre um corpo, o i-ésimo grupo de cohomologia de Hochschild HH^i(A,M) de A, com coeficientes no bimódulo M, coincide com Ext^i_{A^e}(A,M). Logo, este pode ser calculado usando uma resolução projetiva da álgebra como A-bimódulo. Diferentes autores como Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell e Andrea Solotar desenvolveram ferramentas para a construção destas resoluções em casos específicos. Um resultado recente e muito importante é apresentado por Andrea Solotar e Sergio Chohuy, onde se mostra a construção de uma resolução projetiva de bimódulos para álgebras associativas generalizando o resultado para álgebras monomiais feito por Bardzell. Nesta dissertação pretendemos introduzir ao leitor no conceito de Cohomologia de Hochschild mostrando a importância da mesma mediante resultados conhecidos para álgebras de dimensão finita. Além disso, apresentamos os conceitos e resultados do trabalho de Chohuy e Solotar mencionado acima. No decorrer deste trabalho complementamos algumas demonstrações dos resultados enunciados com o fim de propiciar uma ferramenta para o melhor entendimento dos tópicos trabalhados aqui. / The Hochschild Cohomology is an invariant attached to associative algebras which may provide us some homological aspects of the algebras and its category of modules. Moreover, it has applications to Algebraic Geometry and Representation Theory, among others areas. For algebras A over a field the Hochschild cohomology group HH^i(A,M) of A with coeficients in a bimodule M coincides with Ext^i_{A^e}(A,M). So it can be computed using a projective resolution of the algebra, as a bimodule over itself. Therefore different authors like Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell, Sergio Chohuy and Andrea Solotar developed tools for the construction of these resolutions in particular cases. A recent and very important result was introduced by Andrea Solotar and Sergio Chohuy, where they show a construction of a projective bimodule resolution for associative algebras generalizing the result for monomial algebras made by Bardzell. In this dissertation we intend to introduce the reader in the cohomology Hochschild concept, showing its importance through known results for finite dimensional algebras. Besides, we exhibit the concepts and results of Chohuy and Solotar mentioned before. During this text, we complement some demonstrations with the purpose of giving a tool for the a better understanding.

Géons topológicos podem ser vistos como um tipo de excitação localizada na topologia espacial. Nesta dissertação, estudamos um modelo físico simples, dado por uma teoria de Yang-Mills-Higgs com simetria de gauge descrita por um grupo de Lie compacto G, e com quebra espontânea de simetria para um subgrupo finito H G. Esta teoria é definida em um espaço-tempo de (2 + 1)d com topologia da forma x IR, onde descreve o plano com um único géon. Estudamos mais especificamente o setor de baixas energias dessa teoria, deduzindo o espaço de configuração clássico e quantizando-o. A quantização é feita identificando certa álgebra que descreve matematicamente o sistema, analisando com detalhes sua estrutura e buscando suas representações irredutíveis. Cada representação é então interpretada como um determinado setor de um géon da teoria. Em outras palavras, cada uma destas representações irredutíveis descreve um tipo de géon diferente. Em seguida, mostramos como estender essa descrição para um número N qualquer de géons. A teoria aqui desenvolvida pode ser vista como um \"toy model\" para o estudo das consequências de se ter uma topologia espacial não-trivial, e em particular, o estudo das propriedades físicas de géons. / Topological geons can be viewed as a sort of localized excitations in spatial topology. In this dissertation, we study a simple physical model, given by a Yang-Mills-Higgs theory with a gauge symmetry described by a compact Lie group G, spontaneously broken down to a finite subgroup H C G. We shall consider this theory to be defined on a (2 + 1)d spacetime with topology of the form E x IR, where describes a plane with a single geon. More specifically, we investigate the low energy sector of this theory, obtain its classical configuration space and quantize it. Quantization is accomplished by identifying a certain algebra, which mathematically describes the system, analyzing its structure in detail and obtaining its irreducible representations. Each such representation is then interpreted as an specific geonic sector of the theory. In other words, each one of the irreducible representations describes a distinct geon type. Moreover, we show how the above description can be extended to any number N of geons. The theory developed here may be viewed as a toy model for studying the consequences of non-trivial spatial topology, and in particular the study of the physical properties of geons.

O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estratificantes sobre álgebras hereditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estratificantes completos cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas. Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos sistemas estratificantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que não é possível que tais sistemas estratificantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estratificante sobre esta álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estratificantes completos sobre esta álgebra. Definimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial. / The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the Kronecker generalized algebras. In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized algebras we conclude that no stratifing system over this algebra can have regular elements. Next we construct all possible complete stratifying systems over this algebra. Furthermore, we define the notion of special sequence of a tilting module and we establish that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.

O propósito deste trabalho é dar uma contribuição ao projeto iniciado por Hornos & Hornos que visa explicar as degenerescências do código genético como resultado de sucessivas quebras de simetria ocorridas durante sua evolução. O modelo matemático usado requer a construção de todas as representações irredutíveis de dimensão 64 das álgebras de Lie simples (chamadas representações de códons) e a análise de suas regras de ramicação sob redução a subalgebras. A classicação de todas as possibilidades é baseada na classicação das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples obtida por Dynkin. No presente trabalho, os resultados de Dynkin são apresentados em linguagem e notação moderna e são aplicados ao problema de construir todas as possíveis cadeias de subalgebras maximais das álgebras de Lie simples B_6 = so(13) e D_7 = so(14) e de identicar aquelas que reproduzem as degenerescências do código genético. / The purpose of this work is to make a contribution to the project initiated by Hornos & Hornos which aims at explaining the degeneracy of the genetic code as the result of a sequence of symmetry breaking that occurred during its evolution. The mathematical model employed requires the construction of all 64-dimensional irreducible representations of simple Lie algebras (called codon representations) and the analysis of their branching rules under reduction to sub-algebras. The classification of all possibilities is based on Dynkins classification of the maximal sub-algebras of semi-simple Lie algebras. In the present work, Dynkins results are presented in modern language and notation and are applied to the problem of constructing all possible chains of maximal sub-algebras of the simple Lie algebras B_6 = so(13) and D_7 = so(14) and of identifying all those that reproduce the degeneracies of the genetic code.

The notion of surreal number was introduced by J.H. Conway in the mid 1970\'s: the surreal numbers constitute a linearly ordered (proper) class No containing the class of all ordinal numbers (On) that, working within the background set theory NBG, can be defined by a recursion on the class On. Since then, have appeared many constructions of this class and was isolated a full axiomatization of this notion that been subject of interest due to large number of interesting properties they have, including model-theoretic ones. Such constructions suggests strong connections between the class No of surreal numbers and the classes of all sets and all ordinal numbers. In an attempt to codify the universe of sets directly within the surreal number class, we have founded some clues that suggest that this class is not suitable for this purpose. The present work is an attempt to obtain an \"algebraic (set) theory for surreal numbers\" along the lines of the Algebraic Set Theory - a categorial set theory introduced in the 1990\'s: to establish abstract and general links between the class of all surreal numbers and a universe of \"surreal sets\" similar to the relations between the class of all ordinals (On) and the class of all sets (V), that also respects and expands the links between the linearly ordered class of all ordinals and of all surreal numbers. We have introduced the notion of (partial) surreal algebra (SUR-algebra) and we explore some of its category theoretic properties, including (relatively) free SUR-algebras (SA, ST). We have established links, in both directions, between SUR-algebras and ZF-algebras (the keystone of Algebraic Set Theory). We develop the first steps of a certain kind of set theory based (or ranked) on surreal numbers, that expands the relation between V and On. / A noção de número surreal foi introduzida por J.H. Conway em meados da década de 1970: os números surreais constituem uma classe (própria) linearmente ordenada No contendo a classe de todos os números ordinais (On) e que, trabalhando dentro da base conjuntista NBG, pode ser definida por uma recursão na classe On. Desde então, apareceram muitas construções desta classe e foi isolada uma axiomatização completa desta noção que tem sido objeto de estudo devido ao grande número de propriedades interessantes, incluindo entre elas resultados modelos-teóricos. Tais construções sugerem fortes conexões entre a classe No de números surreais e as classes de todos os conjuntos e todos os números ordinais. Na tentativa de codificar o universo dos conjuntos diretamente na classe de números surreais, encontramos algumas pistas que sugerem que esta classe não é adequada para esse fim. O presente trabalho é uma tentativa de se obter uma \"teoria algébrica (de conjuntos) para números surreais\" na linha da Teoria dos Algébrica dos Conjuntos - uma teoria categorial de conjuntos introduzida nos anos 1990: estabelecer links abstratos e gerais entre a classe de todos números surreais e um universo de \"conjuntos surreais\" emelhantes às relações entre a classe de todos os ordinais (On) e a classe de todos os conjuntos (V), que também respeite e expanda os links entre as classes linearmente ordenadas de todos ordinais e de todos os números surreais. Introduzimos a noção de álgebra surreal (parcial) (SUR-álgebra) e exploramos algumas das suas propriedades categoriais, incluindo SUR-álgebras (relativamente) livres (SA, ST). Nós estabelecemos links, em ambos os sentidos, entre SUR-álgebras e álgebras ZF (a pedra angular da Teoria Algébrica dos Conjuntos). Desenvolvemos os primeiros passos de um determinado tipo de teoria de conjuntos baseada (ou ranqueada) em números surreais, que expande a relação entre V e On.

Orientador: Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada , 2014.

O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estratificantes sobre álgebras hereditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estratificantes completos cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas. Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos sistemas estratificantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que não é possível que tais sistemas estratificantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estratificante sobre esta álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estratificantes completos sobre esta álgebra. Definimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial. / The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the Kronecker generalized algebras. In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized algebras we conclude that no stratifing system over this algebra can have regular elements. Next we construct all possible complete stratifying systems over this algebra. Furthermore, we define the notion of special sequence of a tilting module and we establish that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.

Demonstramos um teorema da correspondência do tipo Galois para ações de álgebras de Hopf pontuais de dimensão finita em álgebras primas. A correspondência acontece entre subálgebras racionalmente completas e comódulo subálgebras. As subálgebras racionalmente completas são subálgebras da álgebra prima, enquanto os comódulo subálgebras são comódulo subálgebras do produto smash entre o centralizador da álgebra prima em sua álgebra de quocientes de Martindale simétrica e a álgebra de Hopf. / A Galois-type correspondence theorem for prime algebras acted upon by a finite dimensional pointed Hopf algebra is proved. The correspondence involves rationally complete subalgebras and comodule subalgebras. The rationally complete subalgebras are subalgebras of the prime algebra, while the comodule subalgebras are comodule subalgebras of the smash product between the centralizer of the prime algebra in its symmetric Martindale quotient algebra and the Hopf algebra.

Este trabalho consiste de três partes: Teoremas de coordenatização de Wedderburn e de Zorn, O problema de Nathan Jacobson e Teoremas de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas. Na primeira parte apresentamos os teoremas de coordenatização de Wedderburn e de Zorn e suas aplicações na teoria de representações das álgebras associativas e alternativas. Na segunda parte resolvemos um problema de longa data que foi anunciado por Nathan Jacobson sobre a descrição das álgebras alternativas que contém M&#8322(F ) (álgebra associativa de matrizes 2 × 2) com o mesmo elemento identidade. Na terceira parte damos uma prova independente que é válida em qualquer característica do clássico Teorema de Fatorização de Kronecker de Nathan Jacobson. Generalizamos esse resultado e provamos um teorema de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas cuja parte par contém O com o mesmo elemento identidade. Além disso, provamos um Teorema de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas que contêm a superálgebra associativa M(1|1)(F ) com o mesmo elemento identidade. Como Corolário desse resultado, respondemos a um análogo do problema de Jacobson para as superálgebras alternativas, isto é, descrevemos as superálgebras alternativas que contêm à superálgebra associativa M(1|1)(F ) com o mesmo elemento identidade. Finalmente, estudamos as representações das superálgebras alternativa simples O(4,4) e O[u]. Classificamos os bimodules sobre essas superálgebras e provamos alguns análogos do Teorema de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas que contenham O(4|4) ou O[u] com o mesmo elemento identidade / This work consists of three parts: Wedderburn and Zorn coordinatizations theorems, Nathan Jacobsons problem and Kroneckers Factorization theorems for alternative superalgebras. In the first part we present Wedderburn and Zorn coordinatizations theorems and their applications in the theory of representations of associative and alternative algebras. In the second part we solve a long standing problem that was announced by Nathan Jacobson on the description of alternative algebras containing M&#8322(F ) (associative matrix algebra 2 × 2) with the same identity element. In the third part we give an independent proof that is valid in any characteristic of Nathan Jacobsons classic Kronecker Factorization Theorem. We generalize this result and prove a Kronecker Factorization Theorem for alternative superalgebras whose even part contains O with the same identity element. In addition, we prove a Kronecker Factorization Theorem for alternative superalgebras containing the associative superalgebra M(1|1)(F ) with the same identity element. As a corollary of this result, we respond to an analogue of Jacobsons problem for alternative superalgebras, that is, we describe the alternative superalgebras containing the associative superalgebra M(1|1)(F ) with the same identity element. Finally, we study the representations of the simple alternative superalgebras O(4|4) e O[u]. We classify the bimodules on these superalgebras and prove some analogues of the Kronecker Factorization Theorem for alternative superalgebras containing O(4|4) or O[u] with the same identity element

A dimensão de Gelfand-Kirillov mede a taxa de crescimento assintótico de álgebras. Como fornece informações importantes sobre a sua estrutura, este invariante se tornou uma das ferramentas padrão no estudo de álgebras de dimensão infinita. Neste trabalho apresentamos as propriedades básicas da dimensão de Gelfand-Kirillov de álgebras e de módulos, e também mostramos o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov de algumas álgebras e módulos, sendo o exemplo mais importante o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra de Weyl An. / The Gelfand-Kirillov dimension measures the asymptotic rate of growth of algebras. Since it provides important structural information, this invariant has become one of the standard tools in the study of innite dimensional algebras. In this work we present the basic properties of the Gelfand-Kirillov dimension of algebras and modules, and we also show the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of some algebras and modules, being the most important example the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of the Weyl algebra An.