Orientadores: Adriano Adrega de Moura, David Hernandez / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T00:38:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pereira_FernandadeAndrade_D.pdf: 1671660 bytes, checksum: 07b63630df35152e02bbb84739369993 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O conceito de afinização minimal, introduzido por Chari e Pressley, surgiu a partir da impossibilidade de se estender, em geral, uma representação do grupo quântico associado a uma álgebra de Lie simples para o grupo quântico associado à sua álgebra de laços, o que sempre é possível no contexto clássico. Uma classe especial de afinizações minimais é a dos módulos de Kirillov-Reshetikhin, que são afinizações minimais dos módulos irredutíveis quando os pesos máximos são múltiplos dos pesos fundamentais. Esses módulos são objetos centrais no estudo de reticulados integráveis em mecânica estatística. Nas últimas duas décadas, tem sido intensa a investigação científica na direção de se entender as afinizações minimais, devido não só às suas potenciais aplicações em física-matemática, mas também por ser uma teoria muito rica por si só, além de ter forte interação com combinatória. Existe uma classificação quase completa das classes de equivalências de afinizações minimais em termos de polinômios de Drinfeld, devido a Chari e Pressley. A classificação está completa no caso em que o suporte do peso máximo não engloba um subdiagrama de tipo D4, e neste caso existe uma única classe de equivalência. No caso em que o suporte engloba um subdiagrama de tipo D4 a situação depende essencialmente se o suporte contém o vértice trivalente do diagrama ou não. Se ele o contém, a classificação também está completa e existem três classes de equivalências. Caso contrário a classificação não está completa. Neste trabalho apresentamos a classificação das classes de equivalências para álgebras de tipo D. A principal técnica empregada foi a manipulação combinatória de qcaráteres através principalmente de sua descrição via tableaux e, algumas vezes, utilizando-se o algoritmo de Frenkel-Mukhin / Abstract: The concept of minimal affinization, introduced by Chari and Pressley, arose from the impossibility to extend, in general, a representation of the quantum group associated to a simple Lie algebra for the quantum group associated to its loop algebra, which is always possible in the classical context. A special class of minimal affinizations is that of the Kirillov-Reshetikhin modules, which are minimal affinizations of the irreducible modules with highest weight multiple of a fundamental weight. These modules are central objects in the study of integrable lattices in mechanical statistics. In the past two decades it has been intense the scientific research in the direction of understanding the minimal affinizations, not only by their potential applications in mathematical physics, but also for being a very rich theory for itself, in addition to having strong interaction with combinatorics. There exists an almost complete classification of the equivalence classes of the minimal affinizations in terms of Drinfeld polynomials due to Chari and Pressley. The classification is completed in the case where the support of the highest weight does not enclose a subdiagram of type D4, and in this case there is only one equivalence class. In the case where the support encloses a subdiagram of type D4 the situation depends essentially if support contains the trivalent node of the diagram or not. If it contains, the classification is also completed and there are three equivalence classes. Otherwise the classification is not completed. In this work we present the classification of the equivalence classes for algebras of type D. The main technique used was the combinatorial manipulation of qcharacters through mainly its description via tableaux and sometimes using the Frenkel-Mukhin algorithm / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T01:05:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tobias_Bruno_M.pdf: 722163 bytes, checksum: 23ee77054144bc20dd406b959ed36f94 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Nesta dissertação apresentamos um estudo sobre as identidadespolinomiais graduadas sobre a álgebra matricial M2(K) com generalização para Mn(K) onde K denota um corpo infinito de característica qualquer e as identidades polinomiais graduadas para as álgebras T-primas M1;1(E) e E E sobre corpos de característica positiva diferente de 2.Estudaremos uma generalização feita por Koshlukov e Azevedo do resultado obtido porDi Vincenzo que descreve as identidades graduadas da álgebra matricial M2(K). Koshlukove Azevedo observaram que as identidades graduadas y1y2= y2y1e z1z2z3= z3z2z1que Di Vincenzo provou que é uma base para álgebra M2(K) para K um corpo de característica zero também é uma base quando o corpo K é infinito de característica qualquer. Estudaremos também as identidades polinomiais Z2-graduadas satisfeitas pelas álgebras T-primas M1,1(E) e E E sobre corpos de característica positiva diferente de 2 que constituemoutra generalização dada por Koshlukov e Azevedo dos resultados obtidos por DiVincenzo quando este descreveu bases para as identidades Z2-graduadas de várias álgebrasimportantes para corpos de característica zero / Abstract: In this works we present a study on the graded polynomial identities of the matrix algebra M2(K) with generalization to Mn(K) where K denotes an infinite fields of any characteristicand polynomial identities graded algebras T-prime M1;1(E) and E E over fields of positive characteristic different from 2.Study a generalization made by Koshlukov Azevedo and the result obtained by Di Vincenzodescribing the graded identities of the matrix algebra M2(K). Azevedo and Koshlukovnoted that the graded identities y1y2 = y2y1 and z1z2z3 = z3z2z1 Di Vincenzo proved that itis a base for algebra M2(K) K to a fields characteristic is also a zero base when the fieldsK is infinite for any characteristic.We also study the polynomial identities Z2-graded algebras satisfied by T-prime M1;1(E)and E E over fields of positive characteristic different from 2 which constitute a furthergeneralization given by Koshlukov Azevedo and the results obtained by Di Vincenzo whenthe identities described bases Z2-graded algebras important for various fields of characteristiczero / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientador: Luiz Antonio Barreira San Martin / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Ciêntítica / Made available in DSpace on 2018-07-20T19:22:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 AstorgaTapia_Gonzalo_M.pdf: 1518186 bytes, checksum: 589e40b28ac1dea84f8aa237d54fa3b4 (MD5) Previous issue date: 1995 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientadores: Adriano Adrega de Moura, Evgeny Mukhin / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:56:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Brito_MatheusBatagini_D.pdf: 1928614 bytes, checksum: bd194d09898859744dc51e0bcccd7fa1 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Estudamos representações de dimensão finita para uma álgebra afim quantizada a partir de dois pontos de vista distintos. Na primeira parte deste trabalho estudamos o limite graduado de uma certa subclasse de representações irredutíveis. Seja V uma representação de dimensão finita para uma álgebra do tipo A e suponha que V é isomorfa ao produto tensorial de uma afinização minimal por partes cujo peso máximo é a soma de distintos pesos fundamentais por módulos de Kirillov--Reshetikhin cujos pesos máximos são o dobro de um peso fundamental. Provamos que V admite limite graduado L e que L é isomorfo a um módulo de Demazure de nível dois bem como ao produto de fusão dos limites graduados de cada um dos supramencionados fatores tensoriais de V. Provamos ainda que, se a álgebra for do tipo clássica (resp. G), o limite graduado das afinizações minimais (regulares) (resp. módulos de Kirillov--Reshetikhin) são isomorfos ao módulos CV para alguma R^+ partição descrita explicitamente. Na segunda parte provamos que um módulo para a álgebra afim quantizada do tipo B e posto n é manso se, e somente se, ele é fino. Em outras palavras, os geradores da subálgebra de Cartan afim são diagonalizáveis se, e somente se, os autoespaços generalizados associados têm dimensão um. Classificamos tais módulos e descrevemos seus respectivos q-caracteres. Em alguns casos, o q-caracter é descrito por super standard Young tableaux do tipo (2n|1) / Abstract: We study finite--dimensional representations for a quantum affine algebra from two different points of view. In the first part of this work we study the graded limit of a certain subclass of irreducible representations. Let V be a finite--dimensional representation for a quantum affine algebra of type A and assume that V is isomorphic to the tensor product of a minimal affinization by parts whose highest weight is a sum of distinct fundamental weights by Kirillov-Reshetkhin modules whose highest weights are twice a fundamental weight. We prove that V admits a graded limit L and that L is isomorphic to a level-two Demazure module as well as to the fusion product of the graded limits of each of the aforementioned tensor factors of V. We also prove that if the quantum affine algebra is of classical type (resp. type G), the graded limit of (regular) minimal affinizations (resp. Kirillov--Reshetkin modules) are isomorphic to CV-modules for some R^+ partition explicitly described. In the second part we show that a module for the quantum affine algebra of type B and rank n is tame if and only if it is thin. In other words, the Cartan currents are diagonalizable if and only if all joint generalized eigenspaces have dimension one. We classify all such modules and describe their q-characters. In some cases, the q-characters are described by super standard Young tableaux of type (2n|1) / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Esta tesis está dividida en dos partes. La primera parte está dedicada al estudio de la variedad MMV de las MV-álgebras monádicas y de sus subreductos implicativos. En primer lugar, demostramos que MMV está generada por sus miembros finitos, caracterizamos los miembros indescomponibles por medio del álgebra de Boole monádica de sus elementos complementados y describimos el fragmento del reticulado de subvariedades que se encuentra contenido en V([0; 1]k), para cada k entero positivo, dando una axiomatización para dichas subvariedades. Estudiamos, además, las subvariedades simples que no están contenidas en V([0; 1]k) para ningún k. Nuestro segundo objetivo es extender el funtor �� de Mundici a la categoría de las MV-álgebras monádicas. En tal sentido, definimos el concepto de l-grupo monádico y establecemos una equivalencia natural entre la categoría de los l-grupos monádicos y la categoría de las MV-álgebras monádicas. También estudiamos las congruencias de un l-grupo monádico y las caracterizamos por medio de ciertos l-ideales que llamamos l-ideales monádicos. Probamos que el reticulado de l-ideales monádicos de un l-grupo monádico G es isomorfo al reticulado de l-ideales de EG. Demostramos que todo l-grupo monádico es producto subdirecto de una familia de l-grupos monádicos {Gi : iE I} donde EGi es una cadena para todo i E I. Por último, damos algunas aplicaciones de la equivalencia obtenida. Dedicamos un capítulo al estudio de la clase de los {O, -, A,1}-subreductos de lasMV-álgebras monádicas, esto es, la clase de los subreductos hoop monádicos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introducimos una axiomática para estos subreductos hoop monádicos. Caracterizamos a los miembros subdirectamente irreducibles de la variedad y determinamos las subvariedades de ancho k.En el último capítulo de esta primera parte, estudiamos la clase de los subreductos implicativos monádicos de las MV-álgebras monádicas, esto es, los{O, -,A,1}-subreductos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introdu-cimos una axiomática para la misma. Caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles, describimos el reticulado de subvariedades y damos una base ecuacional para cada una de las subvariedades propias.La segunda parte de esta tesis está dedicada a obtener representaciones topológicas de ciertas álgebras de implicación. En primer lu-gar, obtenemos una representación topológica para las álge-bras de implicación monádicas, extendiendo la representación topológica de las álgebras de implicación. Toda álgebra de implicación monádica es representada como una unión de una familia única de filtros monádicos, dentro de una adecuada álgebra de Boole monádica. Introducimos la noción de espacio implicativo monádico, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de las álgebras de implicación monádi-cas y la categoría de los espacios implicativos monádicos. También obtenemos una representación topológica para las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Describimos a toda álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente como la unión de una familia única de filtros implicativos de una cierta álgebra de Lukasiewicz trivalente. Introducimos la noción de espacio topológico implicativo 3-valuado, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de los mismos y las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Como aplicación describimos el espacio implicativo 3-valuado del álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente libre. / This thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the variety MMV of monadic MV-algebras and its implicative subreducts. First, we show that MMV is generated by its finite members and we characterize the indecomposable members using the monadic Boolean algebra of their complemented elements. We describe the fragment of the lattice of subvarieties that is con-tained in V([0,1]k), for each positive integer k, and we give an axiomatization of these subvarieties. We also study simple subvarieties that are not contained in V([0, 1]k) for any k.Our second objective is to extend Mundici`s functor �� to the category of monadic MV-algebras. More pre-cisely, we define monadic l-groups and we establish a natural equivalence between the category of monadic MV-al-gebras and the category of monadic l-groups with strong unit. We give some applications. We study the lattice of congruences of a monadic l-group G and we prove that this lattice is isomorphic to the lattice of monadic l-ideals and also to the lattice of l-ideals of 9G. We prove that every monadic l-group is a subdirect product of a family of monadic l-groups {Gi: i E I}such that every EGi is a chain. We devote a chapter to the study of the class of {O,-A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We prove that this class is an equational class and we introduce a set of equations that describe this variety. We characterize the subdirectly irreducible members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe the subvarieties of width k. In the last chapter of this part, we study the class of {-,A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We introduce the equations that characterize this class and we prove that this class is a variety. We characterize the subdirect irreducibles members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe completely the lattice of subvarieties and we give a equational basis for every proper subvariety. The second part of this thesis is devoted to getting topological representations for certain implication algebras. First, we extend the topological representation for implication algebras to a topological representation for monadic implication algebras. Every monadic implication algebra is represented as a union of a unique family of monadic filters of a suitable monadic Boolean algebra. Inspired by this representation, we introduce the notion of a monadic implication space, and we prove a dual equivalence between the category of monadic implication algebras and the category of monadic implication spaces. We also obtain a topological represen-tation for three-valued Lukasiewicz -implication alge-bras. Every Lukasiewicz -implication algebras is repre-sented as a union of a unique family of implication filters of a suitable three-valued Lukasiewicz algebras. Inspired in this representation, we introduce the notion of topological three-valued implication space, and we prove a dual equivalence. As an application, we describe the space of free three-valued Lukasiewicz -implication algebras.

Las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas fueron consideradas por primera vez por A. Romanowska ([66]) quien las denominó pM−álgebras y caracterizó las álgebras subdirectamente irreducibles finitas. Posteriormente, H. Sankappanavar ([67, 68]) continuó con el estudio de las pM−álgebras examinando las congruencias y caracterizando todas las subdirectamente irreducibles. Por otra parte, A. V. Figallo y P. Landini ([23, 21]) con el propósito de presentar distintas axiomáticas para las álgebra tetravalente modales ([42, 43]), mostraron que las pM−álgebras que verifican la condición adicional x V~x<_xV x* admiten una estructura de álgebra tetravalente modal y las denominaron álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales ó mpM−álgebras, para abreviar. En esta tesis hacemos un estudio detallado de la variedad de las mpM−álgebras. Al volumen lo hemos organizado en cuatro capítulos. En el Capítulo I, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. También hemos incluído una breve exposición sobre la teoría de la dualidad de Priestley para los retículos distributivos acotados y para las p−álgebras ([60, 61, 63]). Por último, describimos la dualidad de W. Cornish y P. Fowler ([18, 19]) para las álgebras de De Morgan. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo II, comenzamos el estudio de las mpM−álgebras. En él abordamos el problema de caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles de esta variedad para lo cual determinamos, en primer lugar, una dualidad topológica para estas álgebras la que nos permitió caracterizar al retículo de las congruencias. Cabe señalar que esta dualidad es utilizada fuertemente a lo largo de todo el trabajo. Además, probamos que las mpM−álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple, residualmente pequeña y residualmente finita. En la última sección de este capítulo obtenemos, con técnicas algebraicas, otras caracterizaciones de las congruencias a partir de ciertos subconjuntos especiales del álgebra. Algunos de los resultados anteriores fueron expuestos en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2004 y el 2006. En el Capítulo III, y con el propósito de obtener una mayor informaci´on sobre la variedad mpM de las mpM−álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias principales. En primer lugar, indicamos dos descripciones de las mismas por medio de ciertos subconjuntos del espacio asociado lo que nos permitió concluir que ellas constituyen un álgebra de Boole. A continuación mostramos, entre otros resultados, que mpM es discriminadora lo cual nos proporcionó numerosas propiedades de las mpM−congruencias en general. Posteriormente, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden y esta afirmación hizo posible determinar el número de congruencias de las mpM−álgebras finitas. Finalizamos este caíıtulo determinando el polinomio discriminador ternario para esta variedad y estableciendo una descripci´on ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en esta unidad fueron presentados en el XIII Simposio Latinoamericano de Lógica Matemática, Oaxaca, Méjico en el 2006 y en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2007. El Capítulo IV consta de dos secciones. En la primera, nos abocamos al estudio de las propiedades de las mpM−álgebras finitas y finitamente generadas. En la segunda, determinamos la estructura de las mpM−álgebras libres con un conjunto finito de generadores libres y finalmente, indicamos la fórmula que nos permite calcular el cardinal de álgebra libre con un conjunto finito de generadores libres en función del número de generadores de la misma. En la Reunión Anual de Comunicaciones Cienificas de la UMA del 2008 fueron expuestos parte de los resultados anteriores. Alguno de los temas de esta tesis han sido aceptados para su publicación en ([24]). / De Morgan pseudocomplemented algebras were first considered by A. Romanowska ([66]) who called them pM−algebras and characterized the finite subdirectly irreducible algebras. Later on, H. Sankappanavar ([67, 68]) continued studying pM−algebras by examining congruences and characterizing all the subdirectly irreducible algebras. On the other hand, A. V. Figallo and P. Landini ([23, 21]), with the aim of presenting different axiomatic for tetravalent modal algebras ([42, 43]), they proved that pM−algebras verifying the additional condition x_V~ x < _ xVx* admit a tetravalent modal algebra structure. Hence, they called them De Morgan pseudocomplemented modal algebras, or mpM−algebras, for short. Our aim in this thesis is to study in deep the variety mpM of mpM−algebras. More precisely, we have organized this work in four chapters. In Chapter I, basic definitions are provided and we do also a review of the most important results in universal algebra. Furthermore, we have also included a brief discussion on Priestley’s dualities for bounded distributive lattices and p−algebras ([60, 61, 63]). Finally, we describe W. Cornish and P. Fowler’s duality ([18, 19]) for De Morgan algebras. These topics have been included not only to simplify the reading but also to fix the notations and the definitions that we will use in this volume. In Chapter II, we began the study of mpM−algebras. Here, we boarded the problem of characterizing the subdirectly irreducible members of this variety. To this aim, we determine a topological duality for these algebras which allowed us to characterize the congruence lattice.We must point out that this duality is strongly used throughout all this work. Furthermore, we prove that mpM−algebras constitute a locally finite, semisimple, residually small and residually finite variety. In the last section of this chapter we obtain, by means of algebraic techniques, other characterizations of the congruences by means of special subsets of the algebra. Some of the above results were presented in the Annual Meeting of the Uni´on Matemática Argentina in 2004 and 2006. In Chapter III, and in order to obtain more information on the variety mpM, we carried out a detailed study of the principal congruences. First, we indicate two descriptions of them by means certain subsets of the associated space to an mpM−algebra, which allowed us to conclude that they constitute a Boolean algebra. Next we show, among other results, that mpM is a discriminator variety which also provided us many properties of mpM−congruences. Later on, we prove that principal and Boolean congruences coincide and this statement allows us to determine the number of congruences in the finite mpM−algebras. By the end of this chapter, we determine the ternary discriminator polynomial for this variety and we also establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that some of the topics presented in this chapter were previously discussed at the XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Oaxaca, Mexico, and in the Annual Meeting of the Unión Matem´atica Argentina in 2006 and 2007 respectively. Chapter IV consists of 2 sections. In the first one, we focus our study on the properties of finite and finitely generated mpM−algebras. In the second one, we determine the structure of the free mpM−algebras with a finite set of free generators. Finally, we indicate a formula which allows us to calculate the cardinal number of the free mpM−algebras in terms of the number of the free generators of the algebras. Some of the results of this chapter were presented at the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in 2008, Some of the topics of this thesis have been accepted for publication in ([24]).

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A dissertação tem como tema as álgebras de Lie. Especificamente álgebras de Lie semi-simples e suas propriedades . Para encontramos essas propriedades estudamos os conceitos básicos da teoria das álgebras de Lie e suas representações. Então fizemos a classificação dessas álgebras por diagramas de Dynkin explicitando quais os possíveis diagramas que são associados a uma álgebra de Lie semi-simples. Por fim, demonstramos vários resultados concernentes a essa classificação, dentre esses, o principal resultado demonstrado foi: os diagramas de Dynkin são um invariante completo das álgebras de Lie semi-simples / The dissertation has the theme Lie algebras. Specifically semi-simple Lie algebras and its properties. To find these properties we studied the basic concepts of the theory of Lie algebras and their representations. Then we did the classification by Dynkin diagrams of these algebras and explaining the possible diagrams that are associated with a semi-simple Lie algebra. Finally, we demonstrate several results related to this classification, among these, the main result demonstrated was: the Dynkin diagrams are a complete invariant of semi-simple Lie algebras

O principal objetivo deste trabalho é o estudo de certas álgebras de funções complexas infinitamente deriváveis. Denomidas Álgebras de Dales-Davie, apresentamos a construção dessas álgebras que foram definidas por Dales e Davie em 1973, como também apresentamos os principais resultados envolvendo sua completude e naturalidade, tópicos que foram estudados por diversos autores, e.g. Abtahi, Honary, et al. Por fim, apresentamos os resultados obtidos por Lourenço e Vieira a respeito do estudo da diferença das álgebras de Dales-Davie com a Álgebra de Disco. / The main purpose of this work is to study the Dales-Davie algebras . We shall present the construction of this algebras defined by Dales and Davie in 1973. Following, the main results about its completeness and naturality as an normed algebra, this topics were studied by some authors, e.g. Abtahi, Honary, et al. Furthermore, we study the results found by Lourenço e Vieira about the difference of Dales-Davie algebras and Disk algebra.

A dissertação tem como tema as álgebras de Lie. Especificamente álgebras de Lie semi-simples e suas propriedades . Para encontramos essas propriedades estudamos os conceitos básicos da teoria das álgebras de Lie e suas representações. Então fizemos a classificação dessas álgebras por diagramas de Dynkin explicitando quais os possíveis diagramas que são associados a uma álgebra de Lie semi-simples. Por fim, demonstramos vários resultados concernentes a essa classificação, dentre esses, o principal resultado demonstrado foi: os diagramas de Dynkin são um invariante completo das álgebras de Lie semi-simples / The dissertation has the theme Lie algebras. Specifically semi-simple Lie algebras and its properties. To find these properties we studied the basic concepts of the theory of Lie algebras and their representations. Then we did the classification by Dynkin diagrams of these algebras and explaining the possible diagrams that are associated with a semi-simple Lie algebra. Finally, we demonstrate several results related to this classification, among these, the main result demonstrated was: the Dynkin diagrams are a complete invariant of semi-simple Lie algebras