O objetivo da dissertação é provar que toda álgebra, sobre o corpo dos números reais, algébrica e absolutamente valuada é de dimensão nita, e portanto isótopa a D . Observamos que H é a álgebra real dos Quatérnios e D R , C , H ou a álgebra real dos Octônios. A demonstração do resultado é feita gradualmente, considerando inicialmente álgebras reais absolutamente valuadas algébrica com unidade, a seguir com unidade e nalmente, algébrica. Na demonstração do teorema será necessário combinar resultados não triviais de álgebras não associativas, análise funcional, álgebras de Banach e técnicas de ultraprodutos de espaços normados. As álgebra absolutamente valuadas não são necessariamente associativas. Abraham Adrian 1947 mostrou que R , C , H e D são as únicas álgebras reais absolutamente valuadas dimensão nita e com unidade; o mesmo Albert dois anos depois, em 1949 , caracterizou Albert em de essas mesmas álgebras como as únicas que são absolutamente valuadas algébricas e com unidade sobre os reais. Em 1960 Fred B. Wright e Kazimierz Urbanik provaram que R , C , D são as únicas álgebra reais absolutamente valuadas e com unidade. Recentemente, em 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez e Ángel Rodríguez Palacios mostraram que H e toda álgebra real absolutamente valuadas e algébrica é isótopa a uma de estas quatro. Nosso objetivo é desenvolver e unicar os resultados obtidos nestes 4 trabalhos. / Our goal here is to study the absolute valued algebraic real algebras. In order to reach our intention, we regard an absolute valued real algebra and on which one we impose: First, such one is nite-dimensional algebra; second; such one is algebraic algebra; third, such one is with unity; and in the end such one is algebraic algebra. In the latter case, our aim, it needs of certain classic results of functional analysis and others one of Banach algebras; then, we reach that such one real algebra is isotope to one of the classical absolute valued real algebras algebra and D R , C , H or D . Where H is the Quaternions real is the Octonions real algebra. The absolute valued algebras are not necessarily associative. Abraham Adrian Albert was the rst mathematician considering absolute valued algebras in a context not necessarily associative. In 1947 , he proved that any nite-dimensional absolute valued real algebra with unit element is isomorphic to either real eld H or the Octonions algebra D . Two years R , the complex eld C , the Quaternions algebra later, he demonstrated that R , C , H and D are the unique absolute valued algebraic real algebras with unit element. Recently, in 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez and Ángel Rodríguez Palacios proved that any absolute valued algebraic real algebra is nite-dimensional.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-25T16:54:03Z No. of bitstreams: 1 MACIEL MEDEIROS DE OLIVEIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 998582 bytes, checksum: 142de66a057d7d36764dfcef2f50590c (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-25T16:54:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MACIEL MEDEIROS DE OLIVEIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 998582 bytes, checksum: 142de66a057d7d36764dfcef2f50590c (MD5) Previous issue date: 2010-12 / Capes / Neste trabalho fazemos uma abordagem sobre as identidades polinomiais da álgebra das matrizes Mn(K), onde K é um corpo. Inicialmente, apresentamos as provas de Rosset e Swan para o Teorema de Amitsur-Levitzki. Em seguida, fazemos um estudo sobre as identidades de Mn(K) de grau2n+1 para n >2 (considerando charK=0) e fechamos essa abordagem com a apresentação da resposta de Chang para a questão sugeridaporFormaneksobreminimalidadedeuminteiropositivomtalqueopolinômio duplo de Capelli Dm é uma identidade para Mn(K). / In this work we approach polinomial identities of the algebra of matrix Mn(K), whereK isafield. Initially, we present the Rosset’s and Swan’s proofs for the Theorem of Amitsur-Levitzki. Afterward, we make a study on the identities of Mn(K) of2n+1 degree (considering charK =0). We end this approach with the presentation of the minimality of a integer positive number m such that the Capelli double polinomial Dm is an identity of Mn(K).

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 489385 bytes, checksum: f564b620e335758735ac20b6205a5111 (MD5) Previous issue date: 2010-02-26 / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais / In this work, we study the eror-correction codes that are ideals in the group algebra FG(M;N;R) over a field F of characteristic 2, where the underlying group is a non-abelian metacyclic of odd order and has the following presentation: G(M;N;R) = ‹a, b : aM = bN = 1, ba = aRb›; onde mdc(M;R) = 1, RN = 1(mod M) e R ≠ 1. We use the theory of representations of the metacyclic groups to find the idempotent generators of the minimal central codes of FG(M;N;R) and prove that these codes are combinatorically equivalent to certain abelian codes whose minimum distances are not the best. However, some of these minimal central codes break down into direct sum of minimal left ideals (left codes), which have minimum distances greater than those abelian codes of comparable length and size. Thus, the study of certain metacyclic minimal (left) codes becomes more interesting. A detailed description of the theory of representations of metacyclic groups and some results on group algebras that support the determination of metacyclic codes are initially presented, as well as some results on cyclic codes. / Neste trabalho, estudamos os códigos corretores de erros que são ideais na álgebra de grupo FG(M;N;R) sobre um corpo F de característica 2, onde o grupo subjacente é metacíclico, não abeliano, de ordem ímpar e possui a seguinte apresentação: G(M;N;R) = ‹a, b : aM = bN = 1, ba = aRb›; onde mdc(M;R) = 1, RN = 1(mod M) e R ≠ 1. Utilizamos a teoria de representações dos grupos metacíclicos para encontrar os idempotentes geradores dos códigos centrais minimais de FG(M;N;R) e provamos que estes códigos são combinatorialmente equivalentes a certos códigos abelianos, cujas distâncias mínimas não são as melhores possíveis. No entanto, alguns destes códigos centrais minimais se decompõem em soma direta de ideais (códigos) minimais à esquerda, que possuem distâncias mínimas maiores que as dos códigos abelianos de comprimento e dimensão comparáveis. Desta maneira, o estudo de certos códigos metacíclicos minimais (à esquerda) se torna mais interessante. Uma descrição detalhada da teoria de representações dos grupos metacíclicos e alguns resultados sobre álgebras de grupo que auxiliam a determinação dos códigos metacíclicos são apresentados preliminarmente, bem como alguns resultados sobre códigos cíclicos.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1473576 bytes, checksum: 7ed82fab94ed8434b60fff26580cd11e (MD5) Previous issue date: 2013-08-23 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we discuss the concepts and definitions that construct Clifford algebras focusing on a introduction the theory Spin Geometry. That s because the connection this two subject, enabling such algebras know the measure that helps to understand the definition of spin manifold, concept introductory the this special topic in Riemannian Geometry. We begin with the construction of Clifford algebras associated to infinite dimensional vector spaces, over any field, passing to associated with finite dimensional. we see the spinores groups, Pin and Spin, which characterize and show the relation with the twisted adjoint representation, homomorphism that, when restricted to these groups, has an important role in defining of a spin structure. As this definition works with representations of real Clifford algebras, restricted to spinors groups such algebras, we introduced them for soon afterwards consider such representations. We concluded approaching the necessary theory for us to show that those groups are also Lie groups (where we urged an intersection with the analysis) and double covering, to complete the concepts algebraic present in the definition of spin manifold. / No presente trabalho abordamos os conceitos e definições que constroem as álgebras de Clifford com foco em uma linha de estudo de quem se inicia na teoria de Geometria Spin. Isso devido a intima ligação desses dois assunto, permitindo conhecer tais álgebras à medida que se auxilia a compreensão da definição de variedade spin, conceito introdutório desse tópico especial em Geometria Riemanniana. Iniciamos com a construção das álgebras de Clifford associadas a espaços vetoriais de dimensão infinita, sobre um corpo qualquer, passando àquelas associadas aos de dimensão finita. Fazemos o mesmo com os grupos Pin e Spin, os quais caracterizamos e mostramos a relação com a representação adjunta torcida, aplicação que, quando restrita a esses grupos, tem papel importante na definição de uma estrutura spin. Como tal definição trabalha com representações das álgebras de Clifford reais, restritas aos grupos spinores dessas Cliffords, as apresentamos para em seguida conceituarmos tais representações. Finalizamos, para completar os conceitos algébricos presente na definição de variedade spin, abordando a teoria necessária para mostrarmos que esses grupos são também grupos de Lie (onde instigamos uma interseção com a análise, destacando os enlaces com outras teorias) e recobrimentos duplos.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 648337 bytes, checksum: 9279ff33168aa2d0061e31ea1b676587 (MD5) Previous issue date: 2013-04-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we will study the definitions, examples and basic properties of Ore extensions. In particular, we will present a special case of Ore extensions, the Weyl algebras An(K) over a field K. We will see that An(K) is a simple noetherian domain. We will study also the dimension d(M) of a finitely generated An(K)-module and we will prove the Bernstein's inequality, n d(M) 2n. Finally we will study the holonomic An(K)- modules, that is, the finitely generated An(K)-modules such that d(M) = n: / Neste trabalho estudaremos as definições, exemplos e propriedades básicas das extens ões de Ore. Em particular, apresentaremos um tipo especial de extensões de Ore, as álgebras deWeyl An(K) sobre um corpo K. Veremos que An(K) é um domínio noetheriano simples. Estudaremos também a dimensão d(M) de um An-módulo finitamente gerado M e provaremos a desigualdade de Bernstein, n d(M) 2n. Finalmente estudaremos os An(K)-módulos holonômicos, isto é, os An(K)-módulos finitamente gerados tais que d(M) = n .

A questão de como sistemas quânticos correspondem a sistemas clássicos existe desde o surgimento da mecânica quântica e parece ser algo natural de se perguntar. E também desde o principio da mecânica quântica estados coerentes são usados para responder esse tipo de questão, já que eles são, em certo sentido, os estados quânticos mais próximos a estados que descrevem sistemas clássicos. Seguindo os resultados de Hepp, que mostrou a correspondência tantopara o caso da mecânica quântica não relativística quanto para o caso de camposBosônicos relativísticos, mostramos a correspondência entre sistemas Bosônicos livres em um espaço-tempo de de Sitter e soluções da equação de Klein-Gordon neste mesmo espaço.Após introduzir os conceitos relevantes e construir a álgebra que descreve sistemas Bosônicos livres em um espaço globalmente hiperbólico, construímos estados coerentes para álgebras CCR na forma de Weyl e provamos o limite semi-clássico para uma região próxima à origem (ou, para um tempo fixo, em todo espaço de de Sitter). Além disso provamos que este limite independe do estado de vácuo---que, em geral, não é único. / The question of the correspondence between quantum and classical systems is an issue since the beginnings of quantum mechanics and it seems like a natural question. Also since the start of quantum mechanics coherent states were used to answer this sort of question, since they are, in a sense, the quantum states closest to states that describe classical systems. Following the results of Hepp, who showed the correspondence for the case of non-relativistic quantum mechanics as well as for relativistic Bosonic fields, we show the correspondence between free Bosonic field in a de Sitter space-time and the solutions of the Klein-Gordon equation in that same space-time. After introducing the relevant concepts and the construction of the algebra that describes free Bosonic systems in a globally hyperbolic space-time, we construct coherent states for CCR algebras in Weyls form, and we prove the semi-classical limit for a region close to the origin (or, for a fixed time, in the whole de Sitter space-time). We also prove that this limit is independent of the vacuum statewhich might not be unique.

Teorias de campo discretas euclideanas invariantes por transformações que preservam a topologia e o volume dos espaços são estudadas em três dimensões. Teorias com tal simetria são chamadas de quasetopológicas. Os modelos são definidos em diagramas de Heegard, interpretados como uma generalização das triangulações e redes cúbicas. Quando um diagrama descreve uma triangulação, o seu gênero g corresponde ao número de tetraedros. Uma função de partição Z () é atribuída a cada diagrama . Nas teorias quase topológicas, Z() depende apenas de g e da topologia de . Ou seja, as operações de simetria são homeomorfismos que preservam o gênero. Nas triangulações, tem-se invariância por homeomorfismos que preservam o número de tetraedros. Provou-se que tais operações sempre podem ser escritas como composições de três operações elementares, batizadas de moves quase topológicos. Impondo-se invariância de Z pela ação dos moves, chegou-se a um sistema de equações que caracteriza as teorias quasetopológicas. Mostrou-se que a cada álgebra de Hopf corresponde uma solução simples do sistema. Uma nova generalização das álgebras de Hopf foi proposta como ansatz para uma solução mais geral, mas as condições de simetria a reduziram a uma álgebra de Hopf. Nesta generalização, a relação de biálgebra foi substituída por uma relação modificada mais fraca. Identidades tradicionais das álgebras de Hopf deixam de ser verificadas, mas uma série de relações semelhantes foi obtida. A generalização estudada sugere uma família de outras generalizações, com modificações diversas da relação de biálgebra, as quais podem ser usadas na busca de novos exemplos de teorias quasetopológicas. / Euclidean discrete field theories invariant under topology and volume preserving transformations are studied in three-dimensions. Theories with such symmetry are called quasitopological. The models are defined in Heegard diagrams, which are interpreted as a generalization of triangulations and cubic lattices. When a diagram describes a triangulation, its genus g corresponds to the number of tetrahedra. A partition function Z() is assigned to each diagram . In quasitopologica theories, Z() depends only on 9 and on the topology of V. In other words, the symmetry operations are genus preserving homeomorphisms. In the case of triangulations, there is invariance under homeomorphisms which preserve the number of tetrahedra. It was proved that such operatíons can always be written as compositions of three elementary operations, denoted quasitopological moves. Imposing invariance of Z under the action of the moves, a system of equations was found which characterizes quasitopological theories. It was shown that to each Hopf algebra corresponds a simple solution of the equations. A new generalization of Hopf algebras was proposed as an ansatz for a more general solution, but the symmetry conditions reduced it to a Hopf algebra. In this generalization, the bialgebra relation was replaced by an weaker modified one. Traditional identities of Hopf algebras are not verified, but a series of similar relations was obtained. The generalization considered suggests a fami1y of other generalizations, with varied modifications of the bialgebra relatiol1, which can be used in the search for new examples of quasitopological theories.

Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico. / One of the most interesting properties of quantum particles is the indistinguishability of particles of the same kind (as for example two electrons). On three dimensions these particles are known to be either fermions or bosons depending on their statistical behaviour. The reason for that is topology, in other words these two possible statistics are due to the space topology. However, on two dimensions there are particles called anyons which are neither fermion nor boson; they may obey a fractional statistic or a even more weird non-abelian statistic - where a single exchange of two identical anyons a unitary transformation on the wave function instead of just acquiring a phase factor. As well as the usual fermionic and bosonic statistic, the anyonic statistic depends strongly on the space topology and thus anyonic systems are often used to describe topological phases of matter of two dimensional systems. In this work we are going to show some general (model free) aspects of anyonic systems and also analyse some many body systems that describe anyons as quasi-particle excitations. We will mostly study a class of model called quantum double models (QDMs). Quantum double models are (2+1)D models where the degrees of freedom are elements of a group G living on the edges of lattice and the dynamic is given by a many body hamiltonian. The QDM is a well known and studied model on the literature, however in this work we are going to show an alternative construction for QDMs which will play two very important roles in this thesis. First, it will allows us to obtain the QDMs from deforming a topological invariant, and that helps to easily identify the topological order on this model. Besides, one can also obtain a many body hamiltonian that represents a generalization of the the QDM hamiltonian. Some of these new models describe anyonic systems other than the ones that can be described by usual QDM. In other words, this new construction leads to a many body hamiltonian that can describe both quantum double models and generalizations of it as particular cases.

O objetivo desta Tese foi a aplicação da teoria dos estados coerentes para sistemas quânticos não-triviais. A partir da definição de estados coerentes para grupos de Lie compactos em geral, nos dedicamos a uma investigação detalhada da construção de tais estados e de suas propriedades no caso do grupo simplético unitário Sp(4), que é extremamente importante tanto em mecânica quântica quanto em mecânica clássica. Esse grupo possui uma complexidade intermediária, que permite um tratamento analítico ainda que apresente propriedades não-triviais do ponto de vista de teoria de representação de álgebras de Lie. Os estados coerentes obtidos nos permitiram uma investigação do limite clássico para sistemas com simetria Sp(4) e uma conexão com a teoria do caos em mecânica quântica. Além disso, tratamos uma proposta recente de generalização do conceito de estados coerentes para sistemas de espectro discreto não-degenerado, os estados de Gazeau-Klauder. Esses estados foram aplicados a um problema de magnetização bidimensional e também ao potencial unidimensional de mínimos duplos, onde observamos o aparecimento dos estados chamados \"Gatos de Schrödinger\", que consistem na superposição de dois estados de mínima incerteza. / The subject of the Thesis was the aplication of the coherent states theory to non-trivial quantum systems. Starting from the general definition of coherent states for compact Lie groups, we made a detailed investigation of the construction of these states and its properties in the case of the unitary symplectic group Sp(4), which is extremely important in both quantum and classical mechanics. This group has an intermediate complexity, allowing an analytic treatment while presenting non-trivial properties from the point of view of represention theory of Lie algebras. The coherent states so obtained allowed us an investigation of the classical limit of systems with Sp(4) symmetry and a conection with the theory of chaos in quantum mechanics. Besides that, we have treated a recent generalization of the concept of coherent states for systems with discrete and nondegenerate spectrum, the Gazeau-Klauder states. These states were applied to a twodimensional magnetization problem and also to the onedimensional double-well potential, where we have observed the appearence of the so-called \"Schrödinger cats\", which consist in the superposition of two minimum-uncertainty states.

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-10T10:59:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SantuloJunior_EdneiAparecido_D.pdf: 675335 bytes, checksum: ff19aaa47432de596122e88eeede9a05 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Kemer classificou, a menos de PI-equivalência, todas as álgebras T-primas no caso de caracterísitica zero e, em seu importante Teorema sobre o Produto Tensorial (TPT), demonstrou que o produto tensorial entre duas álgebras T-primas (ainda sobre corpos de característica zero) resulta igualmente numa álgebra T-prima. Neste trabalho é fornecida uma generalização para o último caso do TPT utilizando identidades graduadas. Além disso, é estudada a existência de mergulhos nas álgebras que aparecem no TPT. Mais especificamente, são encontradas condições necessárias e suficientes para a existência de um mergulho graduado de uma álgebra que satisfaz todas as identidades graduadas da álgebra de matrizes cujas entradas pertencem à álgebra de Grassmann em uma álgebra de matrizes cujas entradas se encontram numa álgebra supercomutativa com unidade, quando todas essas álgebras são consideradas sobre corpos infinitos de característica diferente de dois. Por fim, são fornecidas bases de identidades graduadas para os T-ideais graduados da nésima potência tensorial da' álgebra de Grassmann, das álgebras de matrizes cuja ordem é uma potência de dois, e do produto tensorial de quaisquer duas dentre as álgebras previamente citadas. A partir destas deduz-se o TPT no caso em que a ordem das álgebras de matrizes é uma potência de dois / Abstract: Kemer classified, up to PI-equivalence, the T-prime algebras in the case of characteristic zero, and in his celebrated Tenso r Product Theorem (TPT) he showed that the tensor product of two T-prime algebras considered over a field of characteristic zero, is another T-prime algebra. In this work, a generalization for the last case of the TPT is given using graded identities. The existence of embeddings into the algebras cited on the TPT is also studied. More specifically, necessary and sufficient conditions for the existence of a graded embedding of an algebra satisfying all graded polynomial identities for the matrix algebra with entries in the Grassmann algebra, into a matrix algebra with entries in a supercommutative algebra with unity are found when these algebras are taken over fields of characteristic different from two. Graded identities that generate the graded T-ideals of the n-th tensor power of the Grassmann algebra, of the matrix algebras cited in Kemer's TPT (whose order is a power of two) and of the tensor product between any two of those algebras are provided. As a consequence, Kemer's TPT is derived from those results in the special case when the order of the matrices in the matrix algebras under consideration, is a powers of two / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática