Cette thèse est constituée de deux parties : Dans la première partie nous étudions l’existence de solutions périodiques, de periode donnée, et à variations bornées, de l’équation de van der Pol en présence d’impulsions. Nous étudions, en premier, le cas où les impulsions ne dépendent pas de l’état. Ensuite, nous considèrons le cas où les impulsions dépendent de la moyenne de l’état et enfin, nous traitons le cas général où les impulsions dépendent de l’état. La méthode de résolution est basée sur le principe de point fixe de type contraction. Nous nous intéressons ensuite à l’étude d’un problème avec trois points aux limites, associé à certaines équations différentielles impulsives du second ordre. Nous obtenons un premier résultat d’existence de solutions en appliquant le théorème de point fixe de Schaefer. Un deuxième résultat est obtenu en utilisant le théorème de point fixe de Sadovskii. Pour le résultat d’unicité des solutions nous appliquons, enfin, un théorème de point fixe de type contraction. La deuxième partie est consacrée à la justification de la technique de moyennisation dans le cadre des équations différentielles floues. Les conditions sur les données que nous imposons sont moins restrictives que celles de la littérature.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Titre de l'écran-titre (visionné le 5 septembre 2023) / Dans cette thèse, nous étudions la perturbation d'ordre critique des processus de diffusion et de type diffusion, tels que le mouvement brownien ou le processus α-stable, par un terme de drift. Notre attention se focalisera principalement sur le point de vue analytique, c'est-à-dire l'existence et les propriétés du processus qui proviennent de la théorie de régularité de l'objet analytique qui lui correspond. Ce point de vue est bien adapté pour traiter des perturbations singulières. Dans un premier temps, en nous appuyant sur les points précédents et en tirant parti du point de vue analytique, nous avons pu prouver que les équations différentielles stochastiques avec un drift dans une large classe de champs vectoriels dépendant du temps ont une solution faible et unique. Deuxièmement, nous avons développé la théorie de la régularité de l'opérateur fractionnaire (non local) de Kolmogorov avec un drift ayant des singularités d'ordre critique, en d'autres termes nous avons établi la régularité des solutions à l'équation parabolique correspondante, et nous avons ensuite prouvé l'existence et l'unicité de la solution à l'équation différentielle associée. Enfin, nous avons étudié le noyau de chaleur de l'équation de diffusion fractionnaire supercritique avec un drift ayant une continuité critique de Hölder. Nous montrons qu'un tel drift peut avoir des irrégularités ponctuelles suffisamment fortes pour que le noyau de chaleur disparaisse en un point pour tout t > 0. / In this thesis we study the critical order perturbation of diffusion and diffusion-like processes, such as Brownian motion or α-stable processes, by a drift term. We will mainly focus on the analytic point of view, i.e. the existence and the properties of the process which come from the theory of regularity of the analytical object which corresponds to it. This point of view is well adapted to deal with singular perturbations. First, based on the previous points and taking advantage of the analytical point of view, we were able to prove that the stochastic differential equations with drift in a large class of time-dependent vector fields have a unique weak solution. Secondly, we have developed the regularity theory of the fractional (non-local) Kolmogorov operator with a drift having critical order singularities, in other words we established the regularity of the solutions to the corresponding parabolic equation, and then proved the existence and uniqueness of the solution to the associated differential equation. Finally, we have studied the heat kernel of the supercritical fractional diffusion equation with drift having critical Hölder continuity. We show that such a drift can have point irregularities strong enough for the heat kernel to vanish at a point for any t > 0.

La modélisation mathématique est un outil largement employé dans plusieurs disciplines des sciences appliquées. En hydrologie, en biologie, en économie ainsi que d'autres domaines des sciences naturelles, sociales et humaines, le recours à la modélisation mathématique est une démarche de plus en plus fréquente. Par exemple, en hydrologie, plusieurs modèles mathématiques sont conçus pour décrire ou prédire la relation existante entre les hauteurs d'eau et les débits des rivières. Dans le cadre de cette thèse nous nous sommes intéressés au développement de nouveaux modèles permettant de modéliser les phénomènes de croissance qui nécessitent la présence d'une asymptote linéaire croissante ou curviligne. Pour atteindre cet objectif, l'idée de base a été d'utiliser quelques modèles parmi les plus répandus en pratique et de les modifier judicieusement (et simplement) de façon à introduire une asymptote soit linéaire soit curviligne tout en conservant leur unique point d'inflexion. La modification que nous avons introduite conserve aussi le caractère simple et continue de ces modèles ainsi que la forme lisse et croissante de leurs courbes. Nous obtenons ainsi des modèles qui répondent aux besoins de la modélisation lorsque les modèles standards échouent.

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Ce mémoire de thèse traite du filtrage et de la commande des systèmes non linéaires décrits par des équations différentielles stochastiques au sens d'Itô dont la diffusion est commandée par un bruit qui intervient de manière multiplicative avec l'état. Dans ce manuscrit, nous avons cherché à relaxer les conditions de stabilité utilisées dans la littérature en employant la stabilité exponentielle presque sûre, aussi appelée stabilité exponentielle avec une probabilité de un. Un nouveau théorème sur la stabilité exponentielle presque sûre du point d'équilibre d'une classe de systèmes stochastiques non linéaires triangulaires est proposé: la stabilité de l'ensemble du système est assurée par la stabilité de chaque sous-système considéré isolément. Ce théorème est appliqué au filtrage des systèmes stochastiques avec des bruits multiplicatifs. Des conditions pour le rejet asymptotique des perturbations intervenant dans une équation différentielle stochastique avec des bruits multiplicatifs sont proposées avec un taux de convergence exponentielle presque sûre garanti. Un correcteur, par retour d’état et par retour de sortie, de type bang-bang est synthétisé pour une classe de systèmes non linéaires stochastiques avec la stabilité exponentielle presque sûre. Le lemme borné réel pour les systèmes stochastiques algébro-différentiels avec des bruits multiplicatifs est formulé, ainsi que le développement de la formule d'Itô pour ces systèmes. Un correcteur H-infini par retour de sortie est synthétisé pour ces systèmes avec la stabilité exponentielle en moyenne quadratique. Un observateur pour ces systèmes est proposé avec la stabilité exponentielle presque sûre / This thesis deals with the filtering and control of nonlinear systems described by Itô stochastic differential equations whose diffusion is controlled by a noise which is multiplied with the state vector. In this manuscript, the goal is to relax the conditions of stability used in the literature using the almost sure exponential stability, also called exponential stability with probability equal to one. A new theorem on the almost sure exponential stability of the equilibrium point of a class of triangular nonlinear stochastic systems is proposed: the stability of the whole system is ensured by the stability of each decoupled subsystem. This theorem is applied to the filtering of stochastics systems with multiplicative noises. Conditions for asymptotic rejection of perturbations occurring in a stochastic differential equation with multiplicative noises have been proposed. The considered stability is the almost sure exponential one. A bound of the Lyapunov exponent ensures the almost sure convergence rate to zero for the state of the system. A bang-bang control law is synthesized for a class of stochastic nonlinear systems in two cases: (i) state feedback and (ii) measured output feedback with an observer. The used stability is the almost sure exponential one. The bounded real lemma is developed for stochastic algebro-differential systems with multiplicative noises and the Itô formula given for thèse systems. This approach has been used for the synthesis of an H-ihfinity measured output feedback control law with the exponential mean square stability. An observer for nonlinear stochastic algebro-differential systems was proposed using the almost sure exponential stability

L'objet de cette thèse est le développement de méthodes variationnelles pour l'étude des solutions presque-périodiques au sens de H. Bohr et au sens de Besicovitch de quelques classes d'équations différentielles ordinaires du second ordre à retard. Pour cela on utilise le Calcul des Variations en Moyenne Temporelle. Dans un premier temps on étudie une classe d'équations différentielles du type neutre, puis une classe d'équations différentielles à retard fini, enfin on s'intéresse à une classe d'équations différentielles à retard infini.