Els convertidors commutats de potència són solucions apropiades per subministrar energia a dispositius electrònics per la seva elevada eficiència i reduït cost. El seu ús extensiu en les últimes dècades ha motivat els investigadors a millorar els seus dissenys i aprofundir en la comprensió del seu comportament el qual, com la majoria de dispositius electrònics de potència, presenta dinàmiques no lineals. Recentment, han aparegut equipaments electrònics que disposen de múltiples càrregues com són els PDA, telèfons mòbils, MP3... Freqüentment, aquestes aplicacions necessiten múltiples alimentacions amb doble polaritat. Els convertidors amb inductor únic i múltiples sortides, Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO), han esdevingut solucions per subministrar energia a dispositius de baixa potència, com pantalles LCD, i per carregar bateries ja que l'ús d'un sol inductor redueix significativament la mida del convertidor. La inherent naturalesa commutada d'aquests sistemes classifica la seva dinàmica dins el camp de sistemes d'estructura variable, Variable Structure Systems (VSS), els quals també es coneixen com a sistemes suaus a trams, Piecewise Smooth (PWS) systems. Atès que la teoria clàssica per a sistemes suaus no pot explicar completament el seu comportament, en els últims anys s'han dirigit molts esforços cap a la recerca de les propietats de la dinàmica no suau en diferent camps d'aplicació. Aquesta tesi aprofundeix en la caracterització de convertidors SIMIMO, que ens permetrà provar la seva viabilitat. Es proposen dues estratègies de control basades en el conegut control PWM (Pulse Width Modulation). En la primera alternativa, el control ens permet regular un convertidor amb dues entrades i dues sortides (Two-Input Two-Output , SITITO), amb polaritats oposades. En aquest cas, les dues senyals moduladores necessàries són generades sincronitzadament i per aquest motiu, en aquesta tesi ens referirem a aquesta estratègia de control PWM com a SPC (Single Phase Control) en contraposició amb la segona alternativa, la qual serà anomenada IC (Interleaved Control), capaç de regular un número generalitzat de sortides. Aquest control està basat en l'ús de diverses senyals moduladores, tantes com a sortides, les quals s'han desfasat progressivament. La dinàmica dels convertidors SIMIMO, al igual que els convertidors bàsics contínua - contínua, exhibeix una rica varietat de fenòmens, els quals engloben des de bifurcacions suaus, com són les bifurcacions de doblament de període (period doubling bifurcation), Saddle-Node o Hopf, fins a bifurcacions no suaus. Un cop verificada l'existència de dinàmica estable quan els paràmetres s'han seleccionatapropiadament, aquesta tesi aborda la recerca de models amb els quals analitzar la complexa dinàmica dels convertidors en un rang ampli de paràmetres. Es proposen i analitzen alguns models que s'utilitzen complementàriament: els anomenats averaged models, amb els quals es pot analitzar la dinàmica lenta, i els models discrets, capaços de detectar les inestabilitats degudes a la dinàmica ràpida. A més a més, alguns d'aquest models seran definits i analitzats. La seva utilitat s'ha provat no només en la predicció de la estabilitat, sinó també en la caracterització de bifurcacions no suaus presents en el circuit. Es demostra que senzills sistemes lineals a trams de dimensió ú proporcionen expressions analítiques per a les condicions d'estabilitat y existència de punts fixos. Per finalitzar, es desenvolupen mapes de dimensió més elevada per tal d'incrementar la precisió de les prediccions obtingudes mitjançat els averaged models i els models discrets. L'anàlisi discreta del convertidor SITITO governat per cadascuna d'aquestes estratègies ha revelat que la dinàmica por ser modelada per un sistema lineal a trams en un rang específic de paràmetres. Fins on sabem, la bibliografia proporcionada sobre mapes PWL inclou tant mapes continus com discontinus, encara que limitats a dos trams. Per tant, aquesta tesi contribueix en el camp de la dinàmica no suau amb el desenvolupament de les propietats d'un mapa de tres trams. Respecte al control IC, s'ha obtingut una anàlisi general de la seva estabilitat per a un convertidor SIMIMO amb un nombre genèric de càrregues. L'estudi de l'estabilitat del model discret de dimensió ú ha revelat l'existència d'un tipus de bifurcació no suau la qual ha estat classificada con una non-smooth pitchfork atesa l'aparició de nous punts fixos després de produir-se la bifurcació. Una anàlisi més detallada de models discrets de dimensions més elevades, associa aquesta bifurcació a una Neimark-Sacker. Finalment, aquesta tesi també inclou alguns resultats experimentals obtinguts amb un prototip d'un convertidor SITITO, per tal de validar els escenaris trobats en l'anàlisi del comportament dinàmic del convertidor regulat per les dues estratègies de control. / Switching power converters are known to be appropriate solutions to supply energy to electronic devices owing to their high efficiency and low cost. Their extensive use in the last decades has motivated researches to improve their designs and to go deeply into the comprehension of their behavior which, like most power electronic devices, exhibit nonlinear dynamics. More recently, electronic equipments containing multiple loads have been arisen such as PDA, mobile phones, MP3... These applications frequently require multiple supplies with different polarities. Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO) switching dc-dc converters are becoming as solutions to supply low power devices as LCD displays and to charge batteries due to the significant reduction of size because the use of a single inductor. The inherent switching nature of these systems classifies their dynamics into the field of Variable Structure Systems (VSS), which are also known as Piecewise Smooth (PWS) systems. Due to the fact that their dynamics cannot be completely explained with the classical smooth theory, in the last years a lot of effort has been addressed towards the research on a theory of non-smooth dynamics motivated by different fields of application. This dissertation deals with the dynamical characterization of SIMIMO converters, which can help us to prove their viability. Two strategies of control, both of them based on the widely used Pulse Width Modulation (PWM) control, are discussed. In the first alternative, the control is used to regulate a Two-Input Two-Output (SITITO) converter with opposite polarity. The two required modulate signals are generated synchronizely. This strategy of PWM control is called in this work Single Phase Control (SPC) in contrast to a second strategy, which is noted here as Interleaved Control (IC), capable of driving a generalized single inductor multiple-input multiple-output converters. This control is based on the use of various modulating signals, equal to the number of outputs, which are progressively time delayed. The dynamics of the SIMIMO converters, just like of the basic dc-dc converters, presents a rich variety of nonlinear phenomena, which covers from smooth bifurcations, such as period doubling, Saddle-Node or Hopf bifurcations, to non-smooth bifurcations. After proving the existence of stable dynamics if appropriate parameters are selected, this dissertation will deal with the investigation of models to analyze the complex dynamics of the converter in a wide range of parameters. Several models are proposed and analyzed in this work. Averaged models, from which slow scale instability condition can be determined, and discrete-time models, able to prove fast scale instabilities, are used in a complementary way. Besides this, several approaches of these models will be established and validated. Their usefulness will be proved not only in the prediction of the stability, but also in the characterization of the non-smooth bifurcations presents in this converter. It will be shown that simple one-dimensional Piecewise-Linear (PWL) models provide analytical expressions for the stability and existence conditions of fixed points of the discrete-time models. Furthermore, higher dimensional maps are developed to improve the accuracy of the predictions obtained by means of one-dimensional maps and averaged models. The discrete-time analysis of a SITITO converter driven by each of the two strategies of control has revealed that its dynamics can be modeled by a PWL with three trams in a specific range of parameters. To our best knowledge, the literature on PWL maps includes continuous and discontinuous maps but is limited to two trams. Therefore, this dissertation is a contribution in the field of non-smooth dynamics in base to the unfolding of specific dynamics of three-piece maps. Concerning the IC control, a generalized analysis of the stability is obtained for a SIMIMO converter with a generic number of loads. The stability analysis of the one-dimensional model has revealed the existence of a type of non-smooth bifurcation, which has been classified in this dissertation as a non-smooth pitchfork owing to the appearance of two new fixed points after undergoing the bifurcation. Detailed analysis in higher dimensional maps associates this bifurcation to a Neimark-Sacker, whose existence cannot be predicted by averaged models. This dissertation also includes some experimental results obtained with a SITITO dc-dc converter prototype, to validate some of the scenarios found in the analysis.

This thesis seeks to contribute to a deeper understanding of the moduli spaces M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) of rank r, H-stable vector bundles E on an n-dimensional variety X, with fixed Chern classes c-sub1(E) = csub1 H-super2i ( X , Z) , displaying new and interesting geometric properties of M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) which nicely reflect the general philosophy that moduli spaces inherit a lot of .geometrical properties of the underlying variety X.More precisely, we consider a smooth, irreducible, n-dimensional, projective variety X defined over an algebraically closed field k of characteristic zero, H an ample divisor on X, r >/2 an integer and c-subi H-super2i(X,Z) for i = 1, .,min{r,n}. We denote by M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) the moduli space of rank r, vector bundles E on X, H-stable, in the sense of Mumford-Takemoto, with fixed Chern classes c-subi(E) = c-subi for i = 1, . , min{r, n}.The contents of this Thesis is the following: Chapter 1 is devoted to provide the reader with the general background that we will need in the sequel. In the first two sections, we have collected the main definitions and results concerning coherent sheaves and moduli spaces, at least, those we will need through this work.The aim of Chapter 2 is to establish the enterions of rationality for moduli spaces of rank two, it-stable vector bundles on a smooth, irreducible, rational surface X that will be used as one of our tools for answering Question (1), who is that follows: "Let X be a smooth, irreducible, rational surface. Fix C-sub1 Pic(X) and 0 « c2 Z. Is there an ample divisor H on X such that M-sub X,H(2; Ci, c2) is rational?"In Chapter 3 we prove that the moduli space M-sub X,H(2; Ci, c2) of rank two, H-stable, vector bundles E on a smooth, irreducible, rational surface X, with fixed Chern classes C-sub1(E) = C-sub1 Pic(X) and 0 « C-sub2«(E) Z is a smooth, irreducible, rational, quasi-projective variety (Theorem 3.3.7) which solves Question (1).In Chapter 4 we study moduli spaces (M-sub X,H(2; Ci, c2)) of rank r, H-stable vector bundles on either minimal rational surfaces or on algebraic K3 surfaces.In Chapter 5 we deal with moduli spaces M-sub x,l (2;Ci,C2) of rank two, L-stable vector bundles E, on P-bundles of arbitrary dimension, with fixed Chern classes.

This dissertation is devoted to the study of Cartier algebras and local cohomology modules; more precisely, we show that the Cartier algebra of a complete Stanley-Reisner ring R can only be either principally generated or infinitely generated as R-algebra, and that such issue just depends on the primary decomposition of the corresponding Stanley-Reisner ideal. Secondly, we provide an algorithm in order to calculate all the ideals which are fixed with respect to the action of any principally generated Cartier subalgebra of the Cartier algebra associated to the polynomial ring Z/pZ[x(1),…, x(d)], where p is a prime number. Finally, we produce spectral sequences which recover and extend the Mayer-Vietoris spectral sequence of local cohomology modules established in full generality by G. Lyubeznik; moreover, we find conditions in order to ensure when these spectral sequences degenerate at their second page and, in such case, we study their attached extension problems. / Aquesta tesi està dedicada a l’estudi de les àlgebres de Cartier i els mòduls de cohomologia local. Més concretament, es prova que l’àlgebra de Cartier d’un anell complet d’Stanley-Reisner R només pot ser principalment generada o infinitament generada com R-àlgebra, i que aquest fet tot just depèn de la descomposició primària del corresponent ideal d’Stanley-Reisner. En segon lloc, es proporciona un algoritme per calcular tots els ideals que són fixos respecte de l’acció de qualsevol subàlgebra de Cartier principalment generada de l’àlgebra de Cartier associada a l’anell de polinomis Z/pZ[x(1),…, x(d)], on "p" denota un nombre primer. Finalment, es produeixen successions espectrals que recuperen i estenen la successió espectral de Mayer-Vietoris de mòduls de cohomologia local obtinguda en completa generalitat per G. Lyubeznik; a més, es donen condicions per tal de determinar quan aquestes successions degeneren a la segona pàgina i, en tal cas, s’estudien els problemes d’extensió corresponents.

Numerosas álgebras de funciones, importantes en Análisis, se obtienen al imponer condiciones de crecimiento a funciones de un determinado espacio y dotarlas de una topología adecuada a dichas condiciones. Algunas veces se obtienen álgebras de Banach a las que es aplicable la teoría del Gelfand; otras veces son álgebras localmente multiplicativamente convexas, es decir espacios localmente convexos dotados de un producto continuo y que poseen una base de entornos m-convexos (convexos e ídem potentes para el producto), las cuales son límites proyectivos de álgebras normadas y a las que, en consecuencia, es aplicable la teoría citada, debidamente generalizada. Nosotros estudiaremos, aquí, un álgebra topológica de funciones analíticas que, por la naturaleza de las condiciones de crecimiento, no es límite de álgebras normadas, procurando poner de manifiesto las propiedades más generales que se manejan, para que el estudio sea utilizable para otras álgebras análogas. En el Capítulo I se introduce el álgebra E(alfa) de las funciones enteras de orden menor o igual que alfa, dotada de una topología natural, y se establecen las propiedades de esta tipología que se necesitarán más adelante; topologías localmente convexas de este tipo y otras análogas habían sido ya consideradas por la literatura especializada, donde se establece el hecho que sean nucleares. El Capítulo II trata a E(alfa) desde el punto de vista del álgebra, estableciendo en especial la continuidad de la derivación y del paso al inverso.En el Capítulo III se considera el espacio de sucesiones asociado a E(alfa) probando que su topología normal coincide con la original y deduciendo de ello la densidad de los polinomios en E(alfa), lo que dice que el espectro de caracteres de esta álgebra es el plano complejo. En el Capítulo IV se estudian las propiedades más ligadas a la naturaleza de las funciones de E(alfa): cuestiones de acotación y convergencia de productos infinitos y de la descomposición de Hadamard de estas funciones. Los resultados obtenidos se aplican a caracterizar los ideales cerrados de E(alfa) a través de sus ceros, obteniéndose en particular que el espectro de ideales maximales cerrados del álgebra coincide con el espectro de caracteres. La determinación de ideales cerrados había sido ya tratada para álgebras de funciones analíticas con condiciones de crecimiento. En el Capítulo V se considera el problema de la interpolación de una sucesión dada por funciones de E(alfa); se introduce un álgebra de sucesiones dotada de una tipología análoga a la de E(alfa), en la que forzosamente han de estar las sucesiones interpolables y se prueba que tales sucesiones son densas en ella, así como en el espacio de todas las sucesión dotado de la tipología producto. Los métodos utilizados se aplican, también, a estudiar los cocientes del álgebra de las funciones enteras por un ideal cerrado.El Capítulo VI empieza con algunas condiciones para que un álgebra topológica sea un álgebra de funciones enteras y pasa después a tratar los problemas de división e inversión de una sucesión convergente en tales álgebras, los cuales están ligados a la descripción de los ideales cerrados en álgebras satisfaciendo hipótesis análogas a las propiedades estudiadas en E(alfa).

En esta Tesis damos una descripción del monoide V(M(A)) de clases de equivalencia de idempotentes/proyecciones de anillos de multiplicadores M(A), en el sentido de Murray-Von Neumann. Esta correspondencia se aplica principalmente a anillos de multiplicadores de anillos regulares simples y a una clase amplia de C*-álgebras simples con rango real cero y rango estable uno. Con esta descripción analizamos el reticulo de ideales del monoide V(M(A)), que por otro lado es un ingrediente crucial para entender la estructura de ideales del correspondiente anillo de multiplicadores. En casos importantes, demostramos que si A tiene escala finita, entonces el cociente de M(A) por cualquier ideal cerrado I que contiene propiamente a A, tiene rango estable uno. La extraordinaria complicación que presenta el retículo de ideales de M(A) se ve reflejada en el hecho que M(A) puede tener una cantidad no numerable de cocientes distintos. La metodologia desarrollada se aplica para el estudio de la riqueza de extremos en C*-álgebras. En particular, demostramos que el espacio de quasitrazas y la escala contienen suficiente información para decidir si M(A)/A tiene riqueza de extremos, lo que ocurre si la escala es finita. Si la escala no es finita, necesitamos condiciones más restrictivas.

Dados un ideal I de un anillo Noetheriano R y un sistema multiplicativo S de R, se establecen tres tipos de caracterizaciones para la equivalencia; la equivalencia lineal, y la igualdad entre las filtraciones I-adica, (S)-simbólica y entera asociadas a I y a S: 1) Caracterizaciones topológicas, a partir de resultados generales de comparación de topologías definidas por filtraciones arbitrarias. 2) Mediante desigualdades entre alturas, dispersiones analíticas y dimensiones. 3) Caracterizaciones homológicas, en términos de la anulación de ciertos morfismos naturales entre grupos O-ésimos de cohomología local y functores EXT, y también en términos de anulación de ciertos grupos I-ésimos de cohomología local respecto I. Estos resultados se aplican al estudio de propiedades de finitud del algebra de Rees (S)-simbólica asociada a I, y a la determinación de que propiedades del anillo graduado asociado a I reflejan un buen comportamiento de las potencias (S)-simbólicas de I.

Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa.Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas.En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

Si G es un grupo de una variedad V de exponente cero y A un G-módulo fivial se estudia la inclusión del grupo (G A) de las extensiones de G por A' en V en el grupo H2 (G A) de todas las extensiones demostrando la exactitud y naturalidad de la sucesión (G A) H2 (G A) HOM (I A) EXT (VQ A) EXT (H2Q A) EXT (I A) donde I = KER (H2G VG). Se estudian a continuación algunos casos particulares: A) Si VG es libre de torsión entonces (G A) es puro en H2 (G A), B) Si G es nilpotente y A libre (G A) es un mando directivo H2 (G A).

Todos los anillos que se consideran son Conmutativos y Noetherianos. En torno y a partir de la Conjetura de Serre de Multiplicidades (1957) se ha desarrollado durante estos últimos 25 años una importante área de trabajo en el Álgebra Conmutativa que ha acabado denominándose Conjeturas Homológicas. De entre todas estas conjeturas una de las que mayor trascendencia ha tenido es la denominada de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, formulada por M. Hoschter en 1973 y que dice así:Sea "A" un anillo local y a(1), .,a(n) un sistema de parámetros de A. Existente entonces un A-módulo M para el que a(1), .., a(n) es M-sucesión. Se dice entonces que M es un gran módulo de Cohen-Macaulay respecto a a(1), ., a(n). La importancia de esta Conjetura proviene fundamentalmente de dos razones. Una la que tiene como consecuencia la mayoría de las restantes Conjecutras Homológicas, y otra que fue demostrada afirmativamente por el propio Hochster siempre que el anillo contenga un cuerpo, recubriendo así y también ampliando la mayoría de los resultados hasta entonces conocidos en este campo. Los grandes módulos de Cohen-Macaulay no son por lo general de tipo finito, pues existen anillos de dimensión 2 para los que ningún gran módulo de Cohen-Macaulay puede ser de generación finita. De hecho la existencia para todo anillo completo A de un A-gran módulo de Cohen-Macaulay de tipo finito, es decir, de un gran módulo de Cohen-Macaulay con grado igual a la dimensión del anillo, constituye la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay, de la que muy poco se sabe. Resulta entonces que casi ninguna de las propiedades verificadas por los módulos de tipo finito pueden extenderse a los grandes módulos de Cohen-Macaulay; por ejemplo, existen anillos A de dimensión 2 y A-grandes módulos de Cohen-Macaulay M con M sucesiones que no conmutan. Por otro lado, P. Grifith en 1975 y en un intento de demostrar la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay a partir de la de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, construye sobre los anillos completos A que contienen un cuerpo grandes módulos de Cohen-Macaulay M para los que todo sistema de parámetros de A es M-sucesión.También M. Hochster demostró mediante una modificación de sus célebres "Modificaciones" que sobre todos los anillos que contienen un cuerpo existen tales Módulos de Cohen-Macaulay, pero son Bartjin y Strooker quienes en 1981 se dan cuenta de la abundancia de tales módulos al demostrar que el completado separado de todo gran módulo de Cohen-Macaulay verifica esta propiedad. Finalmente, R.Y. Sharp, quien los denomina "Grandes Módulos de Cohen-Macaulay Equilibrados", inicia un estudio sistemático con la idea base de que los grandes módulos de Cohen-Macaulay constituyen una buena generalización al caso no finito de la noción Cohen-Macaulay.El objetivo de esta Memoria es entonces el estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados desde tres puntos de vista distintos:- El del grado y la dimensión de Krull.- El de la conservación de la propiedad por extensión plana de escalares. - El de las propiedades nomológicas relacionadas con la dimensión inyectiva. Estas cuestiones constituyen respectivamente los capítulos 2º, 3º y 4º de esta Memoria. En cada caso mostramos las diferencias y anomalías que se producen respecto al caso de generación finita. Dada la no finitud de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados es necesario utilizar métodos específicos en su estudio. Hacemos notar que en lo referente al grado se dispone de los métodos desarrollados recientemente por H.-B. Foxby en el contexto más general de su Teoría de Complejos y otros trabajos previos. Por el contrario, ha sido necesario desarrollarlos para aquellas cuestiones relacionadas con la dimensión de Krull, y en especial lo relativo a los sistemas de parámetros. Todo ello configura el primer capítulo de esta Memoria. Deseo agradecer al Dr. Rafael Mallol, de quien recibí mis primeras lecciones de Álgebra Conmutativa, el haber aceptado de la Dirección de esta Memoria y el interés puesto en ella. Así mismo, debo agradecer al Dr. José María Giral toda su colaboración e inestimables consejos, especialmente durante el período de tiempo que fui becario de la Fundación Agustí Pedro i Pons de la Universidad de Barcelona y en el que se elaboró parte de esta Memoria.

The background of this dissertation is the inverse Galois problem.Which finite groups can occur as Galois groups of an extension of the rational field? This problem was first considered by D. Hilbert, and it still remains open.Assume that a finite group G can be realized as a Galois group over Q. We can ask whether there exists some other finite Galois extension, with Galois group G and enjoying an additional ramification property. In this connection, several variants of the Inverse Galois Problem have been studied. In this dissertation, we shall address the following problem, posed by Brian Birch around 1994.Tame Inverse Galois Problem. Given a finite group G, is there a tamely ramified Galois extension K/Q with Galois group G?In this thesis we address this problem by studying the Galois representations attached to arithmetic-geometric objects such as elliptic curves, or more generally abelian varieties, and modular forms. We seek conditions that ensure that the action of the wild inertia group at all primes is trivial. Note that this strategy of constructing Galois representations such that the image of the wild inertia group at all primes is trivial can be encompassed in the general trend of constructing Galois representations with prefixed local behaviour.This dissertation is split into two parts. In the first part, we tackle the realization of families of two dimensional linear groups over a finite field as the Galois group of a tamely ramified extension of Q. We study the Galois representations attached to elliptic curves and to modular forms. In the second part we address the problem of realizing a family of four dimensional linear groups over a prime field as the Galois group of a tamely ramified extension of Q. In this part we study the action of the inertia group upon the l-torsion points of the formal group attached to an abelian variety, and obtain a general result that allows us to control the action of the wild inertia group. We apply this result to the formal group attached to abelian surfaces. More precisely, we consider the Jacobians of bielliptic supersingular genus 2 curves, suitably chosen so that we can control the size of the image of the corresponding representation.The main results we have obtained are the following.Theorem. Let l be a prime number. There exist infinitely many semistable elliptic curves E with good supersingular reduction at l. The Galois representation attached to the l-torsion points of E provides a tame Galois realization of GL(2, F_l).Furthermore, we give an explicit algorithm to construct these elliptic curves. The primes l=2, 3, 5, 7 have been considered separately.Theorem. Let l be a prime number greater than 3. There exist infinitely many genus 2 curves C such that the Galois representation attached to the l-torsion points of the Jacobian of C provides a tame Galois realization of GSp(4, F_l).As in the previous result, we give an explicit algorithm that enables us to construct these curves.In addition, we have obtained tame Galois realizations of groups of the form PSL(2, F_(l^2)) for several values of l. / Esta tesis se desarrolla en torno al Problema Inverso de la Teoría de Galois sobre el cuerpo de los números racionales. Este problema, que fue considerado por primera vez por D. Hilbert, es un problema abierto. En 1994, B. Birch plantea la siguiente variante de este problema, conocida como problema inverso moderado de la teoría de Galois. Dado un grupo finito G, ¿existe una extensión de Galois K/Q, moderadamente ramificada, con grupo de Galois G?En esta tesis abordamos este problema mediante el estudio de las representaciones de Galois asociadas a objetos aritmético-geométricos, concretamente a curvas elípticas, formas modulares y variedades abelianas. Encontramos condiciones explícitas que garantizan que para todo primo, la imagen del grupo de inercia salvaje es trivial.La memoria está dividida en dos partes. El objetivo de la primera parte es la obtención de realizaciones moderadas de grupos lineales 2-dimensionales sobre un cuerpo finito como grupos de Galois sobre Q. Dado un número primo l, demostramos que existen infinitas curvas elípticas semiestables E/Q con buena reducción supersingular en l. La representación de Galois asociada a los puntos de l-torsión de E da lugar a una realización de GL(2, F_l) como grupo de Galois de una extensión de Q moderadamente ramificada.A continuación se consideran las representaciones de Galois asociadas a formas modulares. Obtenemos realizaciones de Galois moderadas para algunos grupos de la familia PSL(2, F_(l^2)).El objetivo de la segunda parte es la obtención de realizaciones moderadas de los grupos lineales de la familia GSp(4, F_l).Estudiamos la acción de la inercia sobre los puntos de l-torsión del grupo formal asociado a una variedad abeliana, y obtenemos un resultado general que nos permite controlar la acción de la inercia salvaje. Aplicamos este resultado al caso de superficies abelianas. Concretamente, consideramos las Jacobianas de curvas de género 2 bielípticas supersingulares, construidas de forma conveniente para controlar la imagen de la representación asociada. Demostramos que, dado un número primo l mayor que 3, existen infinitas curvas C de género 2 tales que la representación de Galois asociada a los puntos de l-torsión de la Jacobiana de C proporciona una realización de GSp(4, F_l) como grupo de Galois de una extensión moderadamente ramificada de Q.