En esta tesis doctoral seha desarrollado el cálculo de la fiabilidad de clasificación y de la fiabilidad de predicción utilizando el método de los k-vecinos más cercanos (k-nearest neighbours, kNN) y estrategias de remuestreo basadas en bootstrap. Se han desarrollado, además, dos nuevos métodos de clasificación:Probabilistic Bootstrapk-Nearest Neighbours (PBkNN) y Bagged k-Nearest Neighbours (BaggedkNN),yun nuevo método de predicción,el Direct OrthogonalizationkNN (DOkNN).En todos los casos, los resultados obtenidos con los nuevos métodos han sido comparables o mejores que los obtenidos utilizando métodos clásicos de clasificación y calibración multivariante. / En aquesta tesi doctoral s'ha desenvolupat el càlcul de la fiabilitat de classificació i de la fiabilitat de predicció utilitzant el mètode dels k-veïns més propers (k-nearest neighbours, kNN) i estratègies de remostreig basades en bootstrap. S'han desenvolupat, a més, dos nous mètodes de classificació: Probabilistic Bootstrap k-Nearest Neighbours (PBkNN) i Bagged k-Nearest Neighbours (Bagged kNN), i un nou mètode de predicció, el Direct OrthogonalizationkNN (DOkNN). En tots els casos, els resultats obtinguts amb els nous mètodes han estat comparables o millors que els obtinguts utilitzant mètodes clàssics de classificació i calibratge multivariant.

To determine whether a syzygy bundle on PN is stable, or semistable, is a long-standing problem in algebraic geometry. It is closely related to the problem of finding the Hilbert function and the minimal free resolution of the coordinate ring of the variety defined by a family of general homogeneous polynomials f1, . . . , fn in K[X0, . . . ,XN]. This problem goes back at least to the eighties, when Fröberg addresses it in his paper, to find a lower estimate for the Hilbert series of such a ring in terms of the degrees of f1, . . . , fn. In this thesis we consider the case of syzygy bundles defined by general forms f1, . . . , fn of the same degree d, and prove their stability and unobstructedness for N ≥ 2, except for the case (N, d, n) = (2, 2, 5), where only semistability is guaranteed. To this end, we focus on the case of monomials and derive consequences for general forms from here. The main goal of this work is therefore to give a complete answer to the following problem: Does there exist for every d and every n ≤ (d+N / N) a family of n monomials in K [X0, . . . ,XN] of degree d such that their syzygy bundle is semistable? / Determinar si un fibrat de sizígies sobre P(N) és estable, o semiestable, és un problema amb una llarga història en geometria algebraica. Està estretament relacionat amb el problema de trobar la resolució lliure minimal de l'anell de coordenades de la varietat definida per una família de polinomis homogenis genèrics f(1), . . . , f(n) en K[X0, . . . ,XN]. Aquest problema data almenys dels anys vuitanta, quan Fröberg l'estudia al seu article i troba una estimació per a un minorant de la sèrie de Hilbert d'aquell anell en termes dels graus dels polinomis f(1), . . . , f(n).En aquesta tesi, considerem el cas de fibrats de sizígies definits per formes genèriques f(1), . . . , f(n) d'un mateix grau "d", i demostrem la seva estabilitat i no obstrucció per a N ≥ 2, excepte en el cas (N, d, n) = (2, 2, 5), on només la semiestabilitat està garantida. Per dur a terme aquesta tasca, ens restringirme primer al cas de monomis i en traurem conseqüències per al cas de formes genèriques. Per això, l'objectiu principal d'aquesta tesi és donar una resposta completa al problema següent: "Existeix per a cada d i cada n ≤ (d+N / N) una família de n monomis en K [X0, . . . ,XN] de grau "d" tal que el seu fibrat de sizígies és semiestable?

The rewrite relation with parameters m and n and with the possible lengthlimit = k or :::; k we denote by w~, =kW~· or ::;kw~ respectively. Theidempotency languages generated from a starting word w by the respectiveoperations are wD<l::', w=kD<l::' and W<;kD<l::'.Also other special cases of idempotency languages besides duplication havecome up in different contexts. The investigations of Ito et al. about insertionand deletion, Le., operations that are also observed in DNA molecules, haveestablished that w5 and w~ both preserve regularity.Our investigations about idempotency relations and languages start out fromthe case of a uniform length bound. For these relations =kW~ the conditionsfor confluence are characterized completely. Also the question of regularity is-k n answered for aH the languages w- D<lm . They are nearly always regular. Onlythe languages wD<lo for n > 1 are more complicated and belong to the class ofcontext-free languages.For a generallength bound, i.e."for the relations :"::kW~, confluence doesnot hold so frequently. This complicatedness of the relations results also inmore complicated languages, which are often non-regular, as for example thelanguages W<;kD<l::' for aH bounds k 2 4. For k :::; 2 they are regular. The case ofk :::; 3, though, remains open. We show, however, that none of these languagesever exceeds the complexity of being context-free.Without any length bound, idempotency relations have a very complicatedstructure. Over alphabets of one or two letters we still characterize the conditionsfor confluence. Over three or more letters, in contrast, only a few casesare solved. We determine the combinations of parameters that result in theregularity of wD<l::', when the alphabet of w contains only two letters. Only thecase of 2 :::; m < n remains open.In a second chapter sorne more involved questions are solved for the specialcase of duplication. First we shed sorne light on the reasons why it is so difficultto determine the context-freeness ofduplication languages. We show that theyfulfiH aH pumping properties and that they are very dense. Therefore aH thestandard tools to prove non-context-freness do not apply here.The concept of root in Formal Language ·Theory is frequently used to describethe reduction of a word to another one, which is in sorne sense elementary.For example, there are primitive roots, periodicity roots, etc. Elementaryin connection with duplication are square-free words, Le., words that do notcontain any repetition. Thus we define the duplication root of w to consist ofaH the square-free words, from which w can be reached via the relation w~.Besides sorne general observations we prove the decidability of the question,whether the duplication root of a language is finite.Then we devise acode, which is robust under duplication of its code words.This would keep the result of a computation from being destroyed by duplications in the code words. We determine the exact conditions, under whichinfinite such codes exist: over an alphabet of two letters they exist for a lengthbound of 2, over three letters already for a length bound of 1.Also we apply duplication to entire languages rather than to single words;then it is interesting to determine, whether regular and context-free languagesare closed under this operation. We show that the regular languages are closedunder uniformly bounded duplication, while they are not closed under duplicationwith a generallength bound. The context-free languages are closed underboth operations.The thesis concludes with a list of open problems related with the thesis'topics.

L'objectiu d'aquesta memòria és estudiar, classificar i caracteritzar extensions unitàries del càlcul infinitvalorat de Lukasiewicz. Per mostrar les motivacions que ens han portat a fer aquest treball remarcarem alguns resultats sobre les lògiques i els càlculs multivalorats de Lukasiewicz. Al 1918, Jan Lukasiewicz, en una conferència a la Universitat de Varsòvia, manifesta la necessitat d'obtenir una lògica, lleugerament diferent a la lògica preposicional clàssica, que admeti més de dos valors de veritat. Al 1920 introdueix la lògica trivalorada que més tard, al 1922, generalitza en definir les lògiques n- valents i la lògica infinitvalent. Totes aquestes lògiques estan definides semànticament utilitzant el mètode de les matrius.Hem optat per fer l'estudi algebíaic usant les MV-àlgebres per diverses raons. En primer lloc la presentació és més propera a la presentació clàssica de les àlgebres de Boole. En segon lloc, i tal com detallarem més endavant, les MV-àlgebres estan estretament lligades als grups reticulats abelians, la teoria dels quals ha estat àmpliament estudiada. Per altra banda, la literatura sobre MV-àlgebres és molt extensa i això, sense dubte, simplifica la tasca a l'hora d'emprar propietats de les MV-àlgebres.Finalment, voldríem remarcar que a l'hora d'estudiar quasivarietats de MV-àlgebres, hen fet servir tècniques pertanyents a matèries diferents: per exemple, per obtenir els resultats referents a les varietats hem usat resultats i nocions de Teoria de Models i Teoria de Grups; en el cas de les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples, el Teorema de McNaughton, Topologia lineal "a trossos" i Teoria de Grups; per les quasivarietats n-acotades sobretot hem usat resultats de la pròpia Teoria de MV-àlgebres i d'Àlgebra Universal; i per les quasivarietats congruent distributives Àlgebra Universal i Teoria de Grups Totalment Ordenats.Hem dividit la memòria en quatre parts: Hi ha una primera part de preliminars que inclou un capítol dedicat a Àlgebra Universal i Lògica Algebraica, on el lector no familiaritzat amb aquestes dues matèries hi trobarà algunes nocions i resultats necessaris per seguir aquest treball. El segon capítol està dedicat als càlculs multivalorats de Lukasiewicz. La segona part de la tesi està dedicada íntegrament a les MV-àlgebres. Elcapítol 3 conté la teoria general de MV-àlgebres: àlgebres equivalents, ordre natural, aritmètica, teorema de representació, etc. No es tracta d'un estudi exhaustiu, sinó més aviat d'un recull de nocions i resultats necessaris per l'elaboració de la memòria. Un tractament a part mereix la relació entre els grups abelians reticulats i les MV-àlgebres. En el capítol 4, recordem l'equivalència functorial entre la categoria de les MV-àlgebres i la categoria dels grups abelians reticulats amb unitat forta definida a partir del functor F de Mundici. Al final d'aquesta secció, obtenim els primers resultats originals que ens asseguren, sota certescondicions, la distributivitat dels productes reduïts i ultraproductes respecte de la transformació F i que usarem sovint al llarg del treball.El capítol 5 està dedicat a les MV-cadenes. La importància d'aquestes ve donada pel fet que tota MV-àlgebra és representable com a producte subdirecte de MV-cadenes (teorema 3.30) i que la classe de les MV-cadenes és la classe de les MV-àlgebres finitament subdirectament irreductibles (corol·lari 3.31). La tercera part és la més extensa i la principal de la memòria. Està dedicada a l'estudi de les quasivarietats de MV-àlgebres. En el capítol 6, tractem les varietats i repassem de quina manera havien estat abordades anteriorment. En el capítol 7, estudiem les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples. En el capítol 8, tractem les quasivarietats n-acotades, on demostrem que coincideixen amb les quasivarietats de MV-àlgebres localment finites (teorema 8.7). En el capítol 9, estudiem les quasivarietats congruent distributives. En el capítol 10, estudiem les propietats (R)CEP i EDPC(R) en les quasivarietats tractades. Fem un esquema de les relacions que hi ha entre els diversos tipus de quasivarietats que hem estudiat i finalment, com a resum, donem una taula classificatòria de les seves propietats. .La quarta part és la darrera i conté les conclusions d'aquest treball. En el capítol 11, a partir de la teoria d'algebrització de. sistemes deductius traduïm els resultats algebrals de les quasivarietats estudiades a propietats lògiques. Finalment, a tall d'apèndix, enunciem alguns dels problemes que resten encara oberts i que tenim la intenció d'estudiar en el futur.

A first goal of this thesis is to contribute to the knowledge of cohomological properties of non-standard multigraded modules. In particular we study the Hilbert function of a non-standard multigraded module, the asymptotic depth of the homogeneous components of a multigraded module and the asymptotic depth of the Veronese modules. To reach our purposes, we generalize some cohomological invariants to the non-standard multigraded case and we study properties on the vanishing of local cohomology modules. In particular we study the generalized depth of a multigraded module.In chapters 2, 3 and 4, we consider multigraded rings S, finitely generated over the local ring S0 by elements of degrees g1,.,gr with gi=(g1i,.,gii,.,0) non-negative integral vectors and gii not zero for i=1,.,r. In Chapter 2, we prove that the Hilbert function of a multigraded S-module is quasi-polynomial in a cone of N^r. Moreover the Grothendieck-Serre formula is satisfied in our situation as well.In Chapter 3, using the quasi-polynomial behavior of the Hilbert function of the Koszul homology modules of a multigraded S-module M with respect to a system of generators of the maximal ideal of S0, we can prove that the depth of the homogeneous components of M is constant for degrees in a subnet of a cone of N^r defined by g1,.,gr. In some cases we can assure constant depth in all the cone. By considering the multigraded blow-up algebras associated to ideals I1,.,Ir in a Noetherian local ring (R,m), we can prove that the depth of R/I1^n1.Ir^nr is constant for n1,.,nr large enough.In Chapter 4, we study the depth of (a,b)-Veronese modules for a, b large enough. In particular we prove that in almost-standard case (i.e. the degrees of the generators are positive multiples of the canonical basis) with S0 a quotient of a regular local ring, this depth is constant for a, b in some regions of N^r. To reach this result we need a previous study about Veronese modules and about the vanishing of local cohomology modules. In particular we prove that, in the moregeneral case, if S0 is a quotient of a regular local ring, the generalized depth is invariant by taking Veronese transforms. Moreover in the almost-standard case the generalized depth coincides with the index of finite graduation of the local cohomology modules with respect to the homogeneous maximal ideal.A second goal of the thesis is the study of the depth of blow-up algebras associated to an ideal. In Chapter 5 we obtain refined versions of some conjectures on the depth of the associated graded ring of an ideal. By using certain non-standard bigraded structures, the integers that appear in Guerrieri's Conjecture and in Wang's Conjecture can be interpreted as a multiplicities of some bigraded modules. In particular we have given an answer to the question formulated by A. Guerrieri and C. Huneke in 1993. We have proved that given an m-primary ideal I in a Cohen-Macaulay local ring (R,m) of dimension d>0 with minimal reduction J, assuming that the lengths of the homogeneous components of the Valabrega-Valla module of I and J are less than or equal to 1, then the depth of the associated graded ring of I is greater than or equal to d-2.Finally, in Chapter 6, the study of the Hilbert function of certain submodules of the bigraded modules studied before, allows us to prove some cases in which the Hilbert function of an m-primary ideal in a one-dimensional Cohen-Macaulay local ring is non-decreasing. / CATALÀ: TÍTOL DE LA TESI: "Estructures Multigraduades i la Profunditat d'Àlgebres de Blow-up"TEXT DEL RESUM:Un primer objectiu d'aquesta tesi és contribuir al coneixement de propietats cohomològiques de mòduls multigraduats no-estàndard. En particular estudiem la funció de Hilbert d'un mòdul multigraduat no-estàndard, la profunditat asimptòtica de les components homogènies d'un mòdul multigraduat i la profunditat asimptòtica dels mòduls de Veronese. Per a això, generalitzem alguns invariants cohomològics en el cas multigraduat no-estàndard i estudiem propietats d'anul·lació de mòduls de cohomologia local. En particular estudiem la profunditat generalitzada d'un mòdul multigraduat.En els capítols 2, 3 i 4, considerem anells multigraduats S finitament generats sobre l'anell local S0 per elements de graus g1,...,gr amb gi=(g1i,...,gii,...,0) vectors enters no-negatius i gii no nul per a i=1,...,r. Al Capítol 2, demostrem que la funció de Hilbert d'un S-mòdul multigraduat és quasi-polinòmica en un con de N^r. A més es satisfà la fórmula de Grothendieck-Serre en la nostra situació.Al Capítol 3, utilitzant el comportament quasi-polinòmic de la funció de Hilbert dels mòduls d'homologia de Koszul d'un S-mòdul M multigraduat respecte d'un sistema de generadors de l'ideal maximal de S0, podem demostrar que la profunditat de les components homogènies de M és constant per a graus en una subxarxa d'un con de N^r definit per g1,...,gr. En alguns casos es pot assegurar profunditat constant en tot un con. Considerant els anells de blow-up multigraduats associats a ideals I1,...,Ir en un anell local Noetherià (R,m), podem demostrar que la profunditat de R/I1^n1...Ir^nr és constant per a n1,...,nr prou grans.Al Capítol 4, estudiem la profunditat dels mòduls de (a,b)-Veronese per a a,b prou grans. En particular demostrem que en el cas quasi-estàndard (i.e. amb generadors de graus múltiples positius de la base canònica) amb S0 quocient d'un anell local regular, aquesta profunditat és constant per a a,b en certes regions de N^r. Per arribar a aquest resultat ens cal un estudi previ dels mòduls de Veronese i de l'anul·lació de mòduls de cohomologia local. En particular demostrem que, en el cas més general, si S0 és quocient d'un anell local regular, la profunditat generalitzada és invariant per transformacions Veronese. A més en el cas quasi-estàndard la profunditat generalitzada coincideix amb l'índex de graduació finita dels mòduls de cohomologia local respecte de l'ideal homogeni maximal.Un segon objectiu de la tesi és l'estudi de la profunditat de les àlgebres de blow-up associades a un ideal. Al Capítol 5 s'obtenen versions refinades de conjectures sobre la profunditat de l'anell graduat associat a un ideal. Utilitzant algunes estructures bigraduades no-estàndard, es poden interpretar els enters que apareixen a la Conjectura de Guerrieri i a la Conjectura de Wang com a multiplicitats de mòduls bigraduats. En particular hem pogut donar resposta a una pregunta formulada per A. Guerrieri i C. Huneke al 1993. Hem demostrat que donat un ideal I m-primari en un anell local (R,m) Cohen-Macaulay de dimensió d>0 amb reducció minimal J, suposant que les longituds de les components homogènies del mòdul de Valabrega-Valla de I i J siguin menors o iguals que 1, aleshores la profunditat de l'anell graduat associat a I és major o igual que d-2.Finalment, al Capítol 6, l'estudi de la funció de Hilbert de certs submòduls dels mòduls bigraduats estudiats anteriorment, permet provar alguns casos en què la funció de Hilbert d'un ideal m-primari en un anell local Cohen-Macaulay de dimensió 1, és no decreixent.

DE LA TESIS:Fermat, motivado por la lectura de Diofanto, conjeturó que todo entero primo congruente con 1 módulo 4 es representable de manera única, salvo el signo y el orden, como suma de dos cuadrados; también propuso que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados. Estos resultados fueron probados por Euler y Lagrange. La caracterización de los enteros representables como suma de tres cuadrados fue dada por Legendre. Gauss dio el número total de representaciones primitivas de un entero "n" como suma de tres cuadrados, en función del número de clases de formas cuadráticas binarias de discriminante -"n". El cálculo del número de representaciones de un entero como suma de 2, 4, 6 y 8 cuadrados fue llevado a cabo por Jacobi, mediante la teoría de funciones elípticas. Las fórmulas correspondientes se obtienen igualando coeficientes en ciertas identidades satisfechas por su función "theta". Las investigaciones de Jacobi fueron proseguidas por Liouville y Ramanujan, entre otros, y en ellas se encuentra uno de los orígenes del estudio de las llamadas formas modulares de peso entero. En general, el cálculo del número de representaciones de un entero por una forma cuadrática, entera, concreta es muy complicado y resulta imposible obtener formulas exactas que expresen dicho número. Para paliar este inconveniente, Gauss, en el caso de formas cuadráticas binarias, introdujo el concepto de género; este fue convenientemente extendido por Eisenstein, Smith y Minkowski a formas de un número mayor de variables. Siegel en 1935 dio formulas para una media, convenientemente ponderada, del número de representaciones de un entero por todas las formas que integran un género. El estudio por vía analítica, análogo al de Jacobi, del número de representaciones de un entero como suma de un número impar de cuadrados fue comenzado por Hardy y Mordell, y conduce al estudio de las formas modulares de peso semientero. Este último concepto puede decirse que no ha sido completamente clarificado hasta los trabajos de Shimura de 1973. El caso de tres variables es el más delicado; hasta 1984, en el trabajo de Schulze-Pillot, no se ha probado que la serie "theta" del genero de una forma cuadrática ternaria es una serie de Eisenstein. En esta memoria nos ocupamos del siguiente problema relativo a las sumas de tres cuadrados:Dado un entero "n", hallar el valor de "e" máximo del cual se puede afirmar que existe una representación de "n" como suma de tres cuadrados = x(2 / 1) + x(2 / 2) + x (2 / 3), con "e" sumandos primos con "n"Este problema, aparte de su interés intrínseco, ha sido motivado por su conexión con la búsqueda de enteros "n" para los cuales toda extensión central del grupo alternado A(n) es grupo de Galois sobre "Q". La única referencia existente en la literatura de un problema análogo al que nos ocupa es el resultado elemental de Catalan, de 1880, de que toda potencia de 3 es suma de tres cuadrados primos con 3. La presente memoria está dividida en seis capítulos: En el primer capítulo se hace la presentación del problema, diciéndose de él todo lo que se puede mediante métodos elementales. Se detalla asimismo su relación con el problema inverso de la teoría de Galois, antes mencionado. En el segundo capítulo se dan fórmulas que, de todas las representaciones de un entero como suma de tres cuadrados, descuentan aquellas que tienen "k" términos no primos con "n", para "k" = 1, 2, 3. Como estas formulas son de evaluación imposible, se definen a su vez, en este capítulo, unas fórmulas en "media" que aproximan a las primeras y son evaluables. El estudio de estas últimas se lleva a cabo en los capítulos III y IV. En el capítulo V se estudia el error cometido en la utilización de las formulas en "media" en vez de las fórmulas exactas. Todo ello permite en el capítulo VI dar una respuesta al problema.

Alguns problemes clàssics sobre teoria analítica de polinomis estan relacionats amb un problema més general: determinar com estan ordenades les arrels reals d'un polinomi a coeficients reals i les arrels reals de totes les seves derivades. Si ens restringim a l'ordenació entre arrels de derivades consecutives d'un polinomi, aquest problema pot formular-se de la següent manera. Sigui n un nombre natural no nul. Per a cada j=0,1,.,n-1 considerem variables indeterminades xj,1,xj,2,...,xj,m(j), que anomenarem variables de derivació j, i que considerarem lligades per les desigualtats xj,1<xj,2<···<xj,m(j). Definir un ordre entre variables de derivacions consecutives significa especificar, per a dues variables qualssevol de derivacions consecutives, diguem xj,k i xj+1,s, una de les tres ordenacions següents: (i) xj,k<xj+1,s, (ii) xj,k=xj+1,s, o (iii) xj,k>xj+1,s. Llavors, el problema consisteix en determinar per a quines ordenacions entre variables de derivacions consecutives existeix un polinomi P(x), de grau n, de manera que si les arrels reals de cada derivada P(j), 0&#8804;j&#8804;n-1, són els nombres yj,1<yj,2<···<yj,r(j), aleshores r(j)=m(j) i entre arrels de derivades consecutives es verifiquen els lligams proposats. És a dir, si (i) xj,k<xj+1,s, (ii) xj,k=xj+1,s, o (iii) xj,k>xj+1,s, aleshores s'ha de complir (a) yj,k<yj+1,s, (b) yj,k=yj+1,s, o (c) yj,k>yj+1,s respectivament. Si tal polinomi existeix aleshores es diu que l'ordenació proposada és representable per un polinomi. El teorema de Rolle imposa restriccions a l'ordenació de les variables en el cas que aquesta ordenació sigui representable per polinomis. Concretament, si xj,k<xj,k' són dues variables de derivació j, aleshores ha d'existir una variable de derivació j+1, xj+1,s, tal que xj,k<xj+1,s<xj,k'. No obstant, les restriccions imposades pel teorema de Rolle no són suficients per a que una ordenació de les variables sigui representable per un polinomi.En aquest sentit, ens proposem assolir els tres objectius següents:(1) Caracteritzar les ordenacions entre variables de derivacions consecutives que són representables per polinomis.(2) Classificar els polinomis en base a l'ordenació de les arrels de derivades consecutives i trobar certs nombres d'interès relacionats amb aquesta classificació, com per exemple el nombre de classes en que queden classificats els polinomis de grau n i el nombre de classes obertes de grau n (classes estables per pertorbacions).(3) Estudiar què succeeix quan es consideren ordenacions que inclouen lligams entre variables de derivacions no consecutives.L'objectiu (1) s'ha assolit establint que les ordenacions entre variables de derivacions consecutives representables per polinomis coincideixen amb les ordenacions que satisfan les restriccions imposades per un resultat que generalitza el teorema de Rolle. Essencialment, s'ha obtingut el recíproc del teorema que diu que entre cada dues arrels reals consecutives d'un polinomi hi ha un nombre senar d'arrels de la derivada comptant multiplicitats.L'objectiu (2) s'ha assolit classificant els polinomis segons l'ordenació que presenten les arrels de les seves derivades consecutives. Els nombres d'interès relacionats amb aquesta classificació s'han obtingut a partir de fórmules recurrents.L'objectiu (3) s'ha assolit determinant els nombres n per als quals la mencionada generalització del teorema de Rolle és suficient per a que una ordenació de les variables que inclogui lligams entre variables de derivacions no consecutives sigui representable per un polinomi. / Some classical problems in analytic theory of polynomials are related to a more general one that consists in determining how the real roots of a real polynomial and the roots of all its derivatives are ordered.If we restrict our attention to the ordering amongst the roots of consecutive derivatives of a polynomial, this problem can be stated as follows: Let n be a nonzero natural number. For each j=0,1,.,n-1 we consider some indeterminate variables xj,1,xj,2,...,xj,m(j), called variables of derivative j, which will be linked by the inequalities xj,1<xj,2<···<xj,m(j). To define an order amongst variables of consecutive derivatives means to specify, for any two variables of consecutive derivatives, say xj,k and xj+1,s, one of the following three relations: (i) xj,k<xj+1,s, (ii) xj,k=xj+1,s, or (iii) xj,k>xj+1,s. Then, the problem consists in determining for which of those orderings amongst variables of consecutive derivatives there exists a polynomial of degree n, say P(x), so that if the real roots of each derivative P(j), 0&#8804;j&#8804;n-1, are the numbers yj,1<yj,2<···<yj,r(j), then r(j)=m(j) and between roots of consecutive derivatives the suggested connections hold. That is, if (i) xj,k<xj+1,s, (ii) xj,k=xj+1,s, or (iii) xj,k>xj+1,s, then (a) yj,k<yj+1,s, (b) yj,k=yj+1,s, or (c) yj,k>yj+1,s must hold respectively. If such a polynomial exists, then we say that the suggested ordering is represented by a polynomial.Rolle's theorem sets up restrictions to the ordering of the variables in the case when this ordering is represented by polynomials. More precisely, if xj,k<xj,k+1 are two consecutive variables of the same derivative j, then there must exist a variable of derivative j+1, namely xj+1,s, such that xj,k<xj+1,s<xj,k+1. However, the restrictions imposed by Rolle's theorem are not sufficient to ensure that an ordering of the variables is represented by a polynomial.In this sense, we intend to achieve the following goals:(1) To characterize the orderings amongst variables of consecutive derivatives that are represented by polynomials.(2) To classify the polynomials according to the ordering of the roots of consecutive derivatives and to find certain numbers of interest related to this classification, such as the number of classes of equivalence in which polynomials of degree n are classified and the number of classes of equivalence which are open as subsets of the space of polynomials of degree at most n.(3) To study what happens when we consider orderings that include connections between variables of non-consecutive derivatives.Goal (1) has been achieved by showing that the orderings amongst variables of consecutive derivatives that are represented by polynomials coincide with the orderings that satisfy the restrictions imposed by a result which generalizes Rolle's theorem. Essentially, we have obtained the inverse of the theorem that states that between every two consecutive real roots of a polynomial, there is an odd number of roots of its derivative counting their multiplicities.Goal (2) has been attained by classifying the polynomials according to the ordering of the roots of their consecutive derivatives. The numbers of interest related to this classification have been obtained by means of recurrent formulae.Goal (3) has been attained by determining all numbers n for which Rolle's theorem generalization, mentioned above, is sufficient to ensure that an ordering of the variables that include connections between variables of non-consecutive derivatives, be represented by a polynomial.

La tesi que es presenta en aquesta memòria s'emmarca dins l'àmbit de la innovació docent. La imminent entrada en vigor de l'Espai Europeu d'Educació Superior (EEES) exigeix l'avaluació de noves competències en els estudiants, per la qual cosa s'han de fer canvis importants en lo que fa referència a la metodologia docent aplicada i a les eines que es fan servir per avaluar. En aquesta tesi es tracten alguns aspectes fonamentals en aquest context: (i) L'estudi de les característiques que ha de complir una metodologia docent que s'adapti a les exigències que imposa l'entrada en vigor de l'EEES, (ii) la posada en pràctica d'una metodologia docent apropiada que suposi un compromís raonable entre les característiques desitjades i els recursos disponibles, i (iii) la proposta de noves eines d'avaluació que s'adaptin a la nova metodologia, als recursos disponibles, i a les necessitats imposades per l'EEES.El treball desenvolupat (i) proposa l'adopció d'un enfocament pràctic en la docència de l'assignatura d'àlgebra lineal impartida a futurs enginyers de telecomunicacions, combinat amb l'aplicació d'una metodologia centrada en l'estudiant que potencia el treball en grup al llarg del curs, (ii) mostra els resultats d'un experiment realitzat durant el curs 2005-06 que justifica l'ús de metodologies constructivistes davant la postura conductista tradicional, i que aporta evidències que mostren un millor rendiment dels estudiants quan aquestes estratègies són aplicades a l'aula, i (iii) proposa un mètode sistemàtic de disseny d'eines que permetin avaluar competències de naturalesa subjectiva, i aplica el mètode esmentat per a obtenir un sistema que avalua el rendiment del treball en grup portat a terme pels estudiants.Encara que els experiments realitzats al llarg del treball s'han centrat a l'assignatura d'àlgebra lineal, pertanyent al primer curs del pla d'estudis d'enginyeria de telecomunicacions, impartida a l'Escola d'Enginyeria i Arquitectura La Salle de la Universitat Ramon Llull, es pretén que els resultats i conclusions obtingudes siguin la base per a l'exportació de l'experiència realitzada en aquesta tesi a d'altres matèries de l'àmbit de l'enginyeria. / La tesis que se presenta en esta memoria se enmarca en el ámbito de la innovación docente. La inminente entrada en vigor del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) exige la evaluación de nuevas competencias en los estudiantes, lo que comporta cambios importantes en lo que a la metodología docente aplicada y herramientas evaluadoras utilizadas se refiere. En esta tesis se abordan varios aspectos fundamentales en este contexto: (i) El estudio de las características que debe cumplir una metodología docente que se adapte a las exigencias que impone la entrada en vigor del EEES, (ii) la puesta en práctica de una metodología docente apropiada que suponga un compromiso razonable entre las características deseadas y los recursos disponibles, y (iii) la propuesta de nuevas herramientas evaluadoras que se adapten a la nueva metodología, a los recursos disponibles, y a las necesidades impuestas por el EEES.El trabajo desarrollado (i) propone la adopción de un enfoque práctico en la docencia de la asignatura de álgebra lineal impartida a futuros ingenieros de telecomunicaciones, combinado con la aplicación de una metodología centrada en el estudiante que potencia el trabajo en grupo a lo largo del curso, (ii) muestra los resultados de un experimento realizado durante el curso 2005-06 que justifica el uso de metodologías constructivistas frente a la postura conductista tradicional, y que aporta evidencias que muestran un mejor rendimiento de los estudiantes cuando estas estrategias son aplicadas en el aula, y (iii) propone un método sistemático de diseño de herramientas que permitan evaluar competencias de naturaleza subjetiva, y aplica dicho método para obtener un sistema evaluador del rendimiento del trabajo en grupo llevado a cabo por los estudiantes. Aunque los experimentos realizados a lo largo del trabajo se han centrado en la asignatura de álgebra lineal, perteneciente al primer curso del plan de estudios de ingeniería de Telecomunicaciones, impartida en l'Escola d'Enginyeria i Arquitectura La Salle de la Universidad Ramon Llull, se pretende que los resultados y conclusiones obtenidas sean la base para la exportación de la experiencia realizada en esta tesis a otras materias del ámbito de la ingeniería. / This doctoral thesis is within the framework of educational innovation. The European Higher Education Area (EHEA) is coming into effect soon, and this requires the evaluation of new skills in students, which involves major changes concerning to the applied teaching methodology and to the tools used to assess students. This thesis tackles several key aspects in this context: (i) The study of the characteristics that a teaching methodology must carry out according to the requirements of the EHEA, (ii) the implementation of an appropriate educational methodology that involves a reasonable balanced solution between desired characteristics and available resources, and (iii) the proposal of new tools to assess students, which are adapted to the new methodology, to the available resources and to the requirements imposed by the EHEA.The work developed (i) proposes to adopt a practical approach to teaching the linear algebra subject to future telecommunications engineers, combined with the application of a methodology that focuses on the student teamwork during the academic year, (ii) shows the result of an experiment conducted during the 2005-06 academic year, which justifies the use of constructivist methodologies versus the traditional behavioral position, and provides an evidence that shows a better student performance when these strategies are applied in the classroom, and (iii) proposes a systematic method to design tools that allow to assess subjective skills, and applies that method to obtain an automatic system in order to assess teamwork performance. Although the experiments conducted throughout the work have focused on linear algebra subject, which belongs to the first grade curriculum of Telecommunication Engineering, given in the Escola d'Enginyeria i Arquitectura La Salle at the Ramon Llull University, it is expected that the result and conclusions obtained will be the basis for the export of the experience carried out in this thesis to other subjects in the same field.

In the present work, we analyse the categories of mixed Hodge complexes and mixed Hodge diagrams of differential graded algebras in these two directions: we prove the existence of both a Cartan-Eilenberg structure, via the construction of cofibrant minimal models, and a cohomological descent structure. This allows to interpret the results of Deligne, Beilinson, Morgan and Navarro within a common homotopical framework. In the additive context of mixed Hodge complexes we recover Beilinson's results. In our study we go a little further and show that the homotopy category of mixed Hodge complexes, and the derived category of mixed Hodge structures are equivalent to a third category whose objects are graded mixed Hodge structures and whose morphisms are certain homotopy classes, which are easier to manipulate. In particular, we obtain a description of the morphisms in the homotopy category in terms of morphisms and extensions of mixed Hodge structures, and recover the results of Carlson [Car80] in this area. As for the multiplicative analogue, we show that every mixed Hodge diagram can be represented by a mixed Hodge algebra which is Sullivan minimal, and establish a multiplicative version of Beilinson's Theorem. This provides an alternative to Morgan's construction. The main difference between the two approaches is that Morgan uses ad hoc constructions of models à la Sullivan, specially designed for mixed Hodge theory, while we follow the line of Quillen's model categories or Cartan-Eilenberg categories, in which the main results are expressed in terms of equivalences of homotopy categories, and the existence of certain derived functors. In particular, we obtain not only a description of mixed Hodge diagrams in terms of Sullivan minimal algebras, but we also have a description of the morphisms in the homotopy category in terms of certain homotopy classes, parallel to the additive case. In addition, our approach generalizes to broader settings, such as the study of compactificable analytic spaces, for which the Hodge and weight filtrations can be defined, but do not satisfy the properties of mixed Hodge theory. Combining these results with Navarro's functorial construction of mixed Hodge diagrams, and using the cohomological descent structure defined via the Thom-Whitney simple, we obtain a more precise and alternative proof of that the rational homotopy type, and the rational homotopy groups of every simply connected complex algebraic variety inherit functorial mixed Hodge structures. As an application, and extending the Formality Theorem of Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan for compact Kähler varieties and the results of Morgan for open smooth varieties, we prove that every simply connected complex algebraic variety (possibly open and singular) and every morphism between such varieties is filtered formal: its rational homotopy type is entirely determined by the first term of the spectral sequence associated with the multiplicative weight filtration. / En aquest treball, analitzem les categories de complexos de Hodge mixtos i de diagrames de Hodge d'àlgebres diferencials graduades en aquestes dues direccions: provem l'existència d'una estructura de Cartan-Eilenberg, via la construcció de models cofibrants minimals, i d'una estructura de descens cohomològic. Aquest estudi permet interpretar els resultats de Deligne, Beilinson, Morgan i Navarro en un marc homotòpic comú.

DE LA TESIS:La noción de "ideal primo" (Dedekind 1871) ha ido adquiriendo cada vez mayor importancia hasta ocupar, con la Teoría de Esquemas de Grothendieck el centro mismo del Algebra Conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se convierte así en el de los esquemas afines con base en espacios topológicos que son el espectro primo de un anillo conmutativo, correspondiéndose funtorialmente los homomorfismos de anillos A->B con morfismos de esquemas que inducen en los espacios base las aplicaciones continuas Spec B -> Spec A. Un responsable fundamental en una parte de esta evolución es W. Krull (1899-1971). Señalemos algunos aspectos de su contribución únicamente desde el punto de vista de nuestro trabajo. A Krull se debe (en 1926) la definición de dimensión de un anillo como supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A asociando por primera vez el objeto geométrico Spec A al objeto algebraico A. Su famoso "Hauptidealsatz" hace que, en palabras de Northcott un anillo noetheriano deje de ser un pálido reflejo de un anillo de polinomios y convierte al conjunto ordenado Spec A en algo semejante al conjunto de subvariedades irreducibles de una variedad algebraica afín Spec A verifica la condición de cadena descendente en un sentido fuerte la altura de un ideal primo es finita entre dos ideales primos comparables no adyacentes existen infinitos ideales primos, etc. Más tarde Krull demuestra que si A es un anillo local regular h(P)+ch(P)=dim A para todo P Spec A Pasamos a describir el contenido de la memoria en términos generales Un complemento de esta descripción son las introducciones a los tres capítulos de que consta así como los comenta nos intercalados en ellos. Se ha preferido prescindir de capítulo 0 y de enunciados de definiciones y resultados conocidos, salvo en contadas ocasiones bien especificadas. A cambio se citan con precisión todos los datos utilizados a riesgo de ser a veces un poco prolijos. El estudio de la propiedad de going-between ocupa los capítulos II y III de nuestra memoria El capítulo I es independiente de dicha propiedad y tiene como fin básico el cálculo de la dimensión de Krull en una extensión de anillos. Parte de los resultados son utilizados luego en los dos capítulos posteriores pero creemos que primordialmente son de interés por sí mismos. La motivación principal está en conseguir para una extensión ACB de anillos íntegros fórmulas que relacionen dim B con dim A y gr tr (A)B en las condiciones mas generales posibles. Tales fórmulas existen en la literatura solo cuando B es un anillo de polinomios ó una extensión entera aparte del clásico caso de las álgebras afines sobre un cuerpo El objetivo se logra de hecho de forma óptima con la única restricción de que A sea un anillo noetheriano.Se comienza el capítulo I introduciendo lo que hemos llamado radical dimensional de un anillo y dando métodos de calculo de dicho ideal y también de la intersección de ciertas familias de idea les primos de un anillo noetheriano relacionadas con la dimensión. El radical dimensional aparece luego como la obstrucción a que la dimensión de Krull pueda expresarse para un anillo noetheriano cualquiera en términos del grado de trascendencia como ocurre con las álgebras afines sobre un cuerpo. En el capítulo II se comienza el estudio de la propiedad de "going-between". Se define lo que llamamos GB-extensión A C B es una GB-extensión si la aplicación Spec B -> Spec A tiene la propiedad de "going-between". Tras el examen de las generalidades del caso se centra el interés en la relación entre GB-extensiones y las más simples GD-extensiones, definidas relativamente a la propiedad de "going-down". Se observa el papel de puente que van a jugar en ello los anillos de valoración a causa de la simplicidad de su espectro. El capítulo III presenta los resultados de mayor interés (y sin duda los más complejos) en torno a la propiedad de "going-between". Se trata en definitiva de averiguar qué anillos noetherianos son GB(2)-anillos lamentablemente la condición se revela muy restrictiva por encima de la dimensión 3. Se abordan con diferentes métodos dos casos fundamentales anillos que son álgebras finitogeneradas y anillos de series formales. Resulta obligado explicar la disparidad de los métodos empleados en las dos partes del capítulo III. La condición necesaria (III 1-1) es en principio de generalidad total, pero plantea a su vez un difícil problema (conjetura de Kaplansky-Hochster) cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contienen simultáneamente algún ideal primo de altura 1. Aunque en ciertos casos geométricos el problema aparece como "naif", existen contraejemplos al caso general y de hecho sólo recientemente se tienen datos positivos en anillos de polinomios (McAdam). Esto explica el largo y paciente peregrinaje que representan las demostraciones de las proposiciones (III 1-4) y (III 1-6) antes mencionadas y la forma de sus enunciados. Asimismo pone de manifiesto que el método no es aplicable a los anillos de series. Finalmente digamos que los resultados obtenidos hacen pensar como improbable la existencia de GB(2)-anillos noetherianos de dimensión superior a 3 e incluso en éste último caso, un GB(2)-anillo aparece como algo muy semejante a un anillo henseliano.