La protection des structures, matériels et personnels contre les agressions thermiques violentes est une problématique incontournable dans le secteur militaire. Dans ce contexte, les revêtements intumescents, qui ont la propriété de gonfler lorsqu'ils sont soumis à un flux thermique intense, peuvent s'intégrer efficacement parmi les dispositifs de protections traditionnels. Cette étude, menée pour le ministère de la Défense, propose dans un premier temps une étude du comportement des peintures intumescentes et des principales agressions thermiques rencontrées sur le champ de bataille. Leurs effets sur des échantillons revêtus de peinture intumescente sont testés grâce à un moyen d'essai original : le Four Solaire Principal de la Délégation Générale de l'Armement. Dans un second temps, un modèle mathématique 1D basé sur un système d'équations aux dérivées partielles est développé pour décrire le comportement thermique et le gonflement de revêtements intumescents soumis à un flux radiatif. Une analyse de sensibilité est effectuée afin de désigner les paramètres "clés" du modèle (dont les incertitudes influencent particulièrement les résultats). Par la suite, les protocoles d'identification mis en oeuvre pour déterminer ces paramètres sont présentés. Des méthodes inverses basées sur des signaux thermiques périodiques sont utilisées pour identifier la diffusivité thermique des couches vierges et charbonneuse de peinture. En outre, la méthode des gradients conjugués est mise en oeuvre pour l'identification de la conductivité thermique non linéaire de la couche réactive. Enfin, les résultats obtenus sont discutés et les perspectives de l'étude sont présentées.

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires. La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux. La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux.

Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères "minimaux", et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini.

Cette thèse porte sur la stabilité des ondes solitaires et plus précisément sur les applications de l'indice de Maslov au problème de la stabilité spectrale des ondes solitaires unidimensionnelles. Nous montrons comment la stabilité peut être liée à l'étude d'une famille d'équations aux dérivées ordinaires linéaires hamiltoniennes. Il est alors possible de définir un indice de Maslov pour les ondes périodiques et les ondes solitaires. Nous calculons ensuite la limite de l'indice de Maslov d'une suite d'ondes périodiques approchant une onde solitaire et la comparons à l'indice de Maslov de l'onde solitaire. Nous décrivons un algorithme utilisant l'algèbre extérieure pour calculer cet indice de Maslov à la fois dans le cas périodique et le cas onde solitaire. Nous appliquons cette approche aux ondes périodiques et aux ondes solitaires de l'équation de Kawahara ainsi qu'aux ondes solitaires apparaissant dans un modèle pour l'interaction entre ondes longues et ondes courtes. Enfin, nous examinons la stabilité des ondes stationnaires apparaissant dans l'équation de Korteweg-de Vries avec forçage en utilisant une méthode légèrement différente.

Cette thèse est articulée autour de deux facettes de l'étude des équations auxdérivées partielles. Dans une première partie, on étudie la stabilité des solutionspériodiques pour des lois de conservation. On démontre d'abord la stabilité asymptotiquedans L1 des solutions périodiques de lois de conservation scalaires et inhomogènes.On montre ensuite un résultat de stabilité structurelle des roll-waves. Plusprécisément, on montre que les solutions périodiques d'un système hyperbolique sansviscosité sont limites des solutions du problème avec viscosité, quand le terme deviscosité tend vers 0. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à un système d'équationsaux dérivées partielles issu de la biologie : le modèle de Patlak-Keller-Segelen dimension 2 ; il décrit les phénomènes de chimiotactisme. Pour ce modèle, onconstruit un schéma de type volume fini, ce qui permet d'approcher la solution touten gardant certaines propriétés du système : positivité, conservation de la masse,estimation d'énergie.

La présente thèse comporte trois parties indépendantes.<br>La première partie présente une preuve d'existence de solutions faibles globales pour un modèle de sprays de type Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec densité variable. Ce modèle est obtenu par une limite formelle à partir d'un modèle Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec fragmentation, où seules deux valeurs de rayons de particules sont considérées : un rayon r1 pour les particules avant fragmentation, et un rayon r2<

Cette thèse développe une nouvelle méthodologie permettant d'établir des approximations analytiques pour les prix des options européennes. Notre approche combine astucieusement des développements stochastiques et le calcul de Malliavin afin d'obtenir des formules explicites et des évaluations d'erreur précises. L'intérêt de ces formules réside dans leur temps de calcul qui est aussi rapide que celui de la formule de Black et Scholes. Notre motivation vient du besoin croissant de calculs et de procédures de calibration en temps réel, tout en contrôlant les erreurs numériques reliées aux paramètres du modèle. On traite ainsi quatre catégories de modèles, en réalisant des paramétrisations spécifiques pour chaque modèle afin de mieux cibler le bon modèle proxy et obtenir ainsi des termes correctifs faciles à évaluer. Les quatre parties traitées sont : les diffusions avec sauts, les volatilités locales ou modèles à la Dupire, les volatilités stochastiques et finalement les modèles hybrides (taux-action). Il faut signaler aussi que notre erreur d'approximation est exprimée en fonction de tous les paramètres du modèle en question et est analysée aussi en fonction de la régularité du payoff.

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Ce manuscrit présente des résultats d’analyse mathématique autour de deux exemples de problèmes singuliers d’équations aux dérivées partielles issus de la modélisation. I. Diffusion croisée en dynamique des populations. En dynamique des populations, les systèmes de réaction –diffusion croisée modélisent l’évolution de populations d’espèces en compétition avec un effet répulsif entre les individus. Pour ces systèmes fortement couplés, souvent non linéaires, une question aussi fondamentale que l’existence de solutions se révèle extrêmement complexe. Dans ce manuscrit, on introduit une approche basée sur des extensions récentes de lemmes de dualité et sur des méthodes d’entropie. On démontre l’existence de solutions faibles dans un cadre général de systèmes de réaction-diffusion croisée, ainsi que certaines propriétés qualitatives des solutions. II. Équation de Boltzmann en domaine borné. L’équation de Boltzmann, introduite en 1872, modélise la dynamique des gaz raréfiés hors équilibre. Malgré les nombreux résultats autour de la question de l’existence de solutions fortes proches de l’équilibre, très peu concernent le cas d’un domaine borné, situation pourtant fréquente dans les applications. Une raison de la difficulté du problème est l’irruption des singularités le long des trajectoires rasant le bord du domaine. Dans ce manuscrit, on présente une théorie de la régulation de l’équation de Boltzmann en domaine borné. Grâce à l’introduction d’une distance cinétique qui compense les singularités au bord, on montre des résultats de propagation de normes de Sobolev et de propagation C^1 en domaine convexe. En domaine non convexe, on montre un résultat de propagation de régularité BV. / This manuscript presents results of mathematical analysis concerning two singular problems of partial differential equations coming from the modeling. I. Cross-diffusion in Population dynamics. In Population dynamics, reaction-cross diffusion systems model the evolution of the populations of competing species with a repulsive effect between individuals. For these strongly coupled, often non linear systems, a question as basic as the existence of solutions appears to be extremely complex. In this manuscript, we introduce an approach based on the most recent extensions of duality lemmas and on entropy methods. We prove the existence of weak solutions in a general setting of reaction-cross diffusion systems, as well as some qualitative properties of the solutions. II. Boltzmann equation in bounded domains The Boltzmann equation, introduced in 1872, model the evolution of a rarefied gas out of equilibrium. Despite the numerous results concerning the existence of strong solutions close to equilibrium, very few concern the case of bounded domain, though this situation is very useful in applications. A crucial reason of the difficulty of this problem is the formation of a singularity on the trajectories grazing the boundary. In this manuscript, we present a theory of the regularity of the Boltzmann equation in bounded domains. Thanks to the introduction of a kinetic distance which balances the singularity, we obtain results of propagation of Sobolev norms and C^1 propagation in convex domains. In non convex domains, we obtain the propagation of BV regularity.

Les travaux portent sur l'étude d'équations aux dérivées partielles à la charnière de la physique de la mécanique des milieux continus et de la géométrie différentielle, le point de départ étant le modèle d'électromagnétisme non-linéaire introduit par Max Born et Leopold Infeld en 1934 comme substitut aux traditionnelles équations linéaires de Maxwell. Ces équations sont remarquables par leurs liens avec la géométrie différentielle (surfaces extrémales dans l'espace de Minkowski) et ont connu un regain d'intérêt dans les années 90 en physique des hautes énergies (cordes et D-branes).Le travail se décompose en quatre chapitres.La théorie des systèmes paraboliques dégénérés d'EDP non-linéaires est fort peu développée, faute de pouvoir appliquer les principes de comparaison habituels (principe du maximum), malgré leur omniprésence dans de nombreuses applications (physique, mécanique, imagerie numérique, géométrie...). Dans le premier chapitre, on montre comment de tels systèmes peuvent être parfois dérivés, asymptotiquement, à partir de systèmes non-dissipatifs (typiquement des systèmes hyperboliques non-linéaires), par simple changement de variable en temps non-linéaire dégénéré à l'origine (où sont fixées les données initiales). L'avantage de ce point de vue est de pouvoir transférer certaines techniques hyperboliques vers les équations paraboliques, ce qui semble à première vue surprenant, puisque les équations paraboliques ont la réputation d'être plus facile à traiter (ce qui n'est pas vrai, en réalité, dans le cas de systèmes dégénérés). Le chapitre traite, comme prototype, du curve-shortening flow", qui est le plus simple des mouvements par courbure moyenne en co-dimension supérieure à un. Il est montré comment ce modèle peut être dérivé de la théorie des surfaces de dimension deux d'aire extrémale dans l'espace de Minkowski (correspondant aux cordes relativistes classiques) qui peut se ramener à un système hyperbolique. On obtient, presque automatiquement, l'équivalent parabolique des principes d'entropie relative et d'unicité fort-faible qu'il est, en fait, bien plus simple d'établir et de comprendre dans le cadre hyperbolique.Dans le second chapitre, la même méthode s'applique au système de Born-Infeld proprement dit, ce qui permet d'obtenir, à la limite, un modèle (non répertorié à notre connaissance) de Magnétohydrodynamique (MHD), où on retrouve à la fois une diffusivité non-linéaire dans l'équation d'induction magnétique et une loi de Darcy pour le champ de vitesse. Il est remarquable qu'un système d'apparence aussi lointaine des principes de base de la physique puisse être si directement déduit d'un modèle de physique aussi fondamental et géométrique que celui de Born-Infeld.Dans le troisième chapitre, un lien est établi entre des systèmes paraboliques et le concept de flot gradient de formes différentielles pour des métriques de transport. Dans le cas des formes volumes, ce concept a eu un succès extraordinaire dans le cadre de la théorie du transport optimal, en particulier après le travail fondateur de Felix Otto et de ses collaborateurs. Ce concept n'en est vraiment qu'à ses débuts: dans ce chapitre, on étudie une variante du «curve-shortening flow» étudié dans le premier chapitre, qui présente l'avantage d'être intégrable (en un certain sens) et de conduire à des résultats plus précis.Enfin, dans le quatrième chapitre, on retourne au domaine des EDP hyperboliques en considérant, dans le cas particulier des graphes, les surfaces extrémales de l'espace de Minkowski, de dimension et co-dimension quelconques. On parvient à montrer que les équations peuvent se reformuler sous forme d'un système élargi symétrique du premier ordre (ce qui assure automatiquement le caractère bien posé des équations) d'une structure remarquablement simple (très similaire à l'équation de Burgers) avec non linéarités quadratiques, dont le calcul n'a rien d'évident. / Our work concerns about the study of partial differential equations at the hinge of the continuum physics and differential geometry. The starting point is the model of non-linear electromagnetism introduced by Max Born and Leopold Infeld in 1934 as a substitute for the traditional linear Maxwell's equations. These equations are remarkable for their links with differential geometry (extremal surfaces in the Minkowski space) and have regained interest in the 90s in high-energy physics (strings and D-branches).The thesis is composed of four chapters.The theory of nonlinear degenerate parabolic systems of PDEs is not very developed because they can not apply the usual comparison principles (maximum principle), despite their omnipresence in many applications (physics, mechanics, digital imaging, geometry, etc.). In the first chapter, we show how such systems can sometimes be derived, asymptotically, from non-dissipative systems (typically non-linear hyperbolic systems), by simple non-linear change of the time variable degenerate at the origin (where the initial data are set). The advantage of this point of view is that it is possible to transfer some hyperbolic techniques to parabolic equations, which seems at first sight surprising, since parabolic equations have the reputation of being easier to treat (which is not true , in reality, in the case of degenerate systems). The chapter deals with the curve-shortening flow as a prototype, which is the simplest exemple of the mean curvature flows in co-dimension higher than 1. It is shown how this model can be derived from the two-dimensional extremal surface in the Minkowski space (corresponding to the classical relativistic strings), which can be reduced to a hyperbolic system. We obtain, almost automatically, the parabolic version of the relative entropy method and weak-strong uniqueness, which, in fact, is much simpler to establish and understand in the hyperbolic framework.In the second chapter, the same method applies to the Born-Infeld system itself, which makes it possible to obtain, in the limit, a model (not listed to our knowledge) of Magnetohydrodynamics (MHD) where we have non-linear diffusions in the magnetic induction equation and the Darcy's law for the velocity field. It is remarkable that a system of such distant appearance of the basic principles of physics can be so directly derived from a model of physics as fundamental and geometrical as that of Born-Infeld.In the third chapter, a link is established between the parabolic systems and the concept of gradient flow of differential forms with suitable transport metrics. In the case of volume forms, this concept has had an extraordinary success in the field of optimal transport theory, especially after the founding work of Felix Otto and his collaborators. This concept is really only on its beginnings: in this chapter, we study a variant of the curve-shortening flow studied in the first chapter, which has the advantage of being integrable (in a certain sense) and lead to more precise results.Finally, in the fourth chapter, we return to the domain of hyperbolic EDPs considering, in the particular case of graphs, the extremal surfaces of the Minkowski space of any dimension and co-dimension. We can show that the equations can be reformulated in the form of a symmetric first-order enlarged system (which automatically ensures the well-posedness of the equations) of a remarkably simple structure (very similar to the Burgers equation) with quadratic nonlinearities, whose calculation is not obvious.