Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse dans le but d'étudier la contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la contrôlabilité de quelques équations cinétiques en différents régimes. Dans un régime collisionnel, nous étudions la contrôlabilité de l'équation de Kolmogorov, un modèle de type Fokker-Planck cinétique, posée dans l'espace de phases $R^d times R^d$. Nous obtenons la contrôlabilité à zéro de cette équation grâce à l'utilisation d'une inégalité spectrale associée à l'opérateur Laplacien dans tout l'espace. Dans un régime non-collisionnel, nous étudions la contrôlabilité de deux systèmes de couplage fluide-cinétique, les systèmes de Vlasov-Stokes et de Vlasov-Navier-Stokes, comportant des non-linéarités dues au terme de couplage. Dans ces cas, l'approche repose sur la méthode du retour.Dans la deuxième partie nous étudions la contrôlabilité d'une famille d'équations paraboliques dégénérées 1-D par la méthode de platitude, qui permet la constructions de contrôles explicites. La troisième partie porte sur le problème de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger par la forme du domaine, c'est-à-dire, en utilisant le domaine comme variable de contrôle. Nous obtenons un résultat de ce type dans le cas du disque unité bidimensionnel. Nos méthodes sont basées sur un résultat de contrôle exact local autour d'une certaine trajectoire, obtenu grâce au théorème d'inversion locale. / This memoir presents the results obtained during my PhD, whose goal is the study of the controllability of some Partial Differential Equations.The first part of this thesis is concerned with the study of the controllability of some kinetic equations undergoing different regimes. Under a collisional regime, we study the controllability of the Kolmogorov equation, a particular case of kinetic Fokker-Planck equation, in the phase space $R^d times R^d$. We obtain the null-controllability of this equation thanks to the use of a spectral inequality associated to the Laplace operator in the whole space. Under a non-collisional regime, we study the controllability of two fluid-kinetic models, the Vlasov-Stokes system and the Vlasov-Navier-Stokes system, which exhibe nonlinearities due to the coupling terms. In those cases, the strategy relies on the Return method.In the second part, we study the controllability of a family of 1-D degenerate parabolic equations by the flatness method, which allows the construction of explicit controls.The third part is focused on the problem of the controllability of the Schrödinger equation via domain deformations, i.e., using the domain as a control. We obtain a result of this kind in the case of the two-dimensional unit disk, for radial data. Our methods are based on a local exact controllability result around a certain trajectory, obtained thanks to the Inverse Mapping theorem.

Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement.

Les résultats présentés dans ce mémoire sont dédiés à l'étude théorique et numérique de modèles en chimiotaxie-fluide motivés par un large éventail de phénomènes biologiques comme la chimiotaxie de populations cellulaires dans un fluide. Les deux premiers chapitres de cette thèse portent sur la chimiotaxie dans un fluide au repos. Au début, on généralise un schéma de volumes finis au cas de modèles isotropes de Keller-Segel avec des coefficients diffusifs scalaires généraux sur des maillages admissibles. Ensuite, on propose et on étudie un schéma monotone combinant les méthodes de volumes finis et d'éléments finis non conformes et permettant une discrétisation efficace et robuste de modèles de Keller-Segel avec des tenseurs diffusifs anisotropes hétérogènes sans imposer des conditions restrictives sur le maillage du domaine en espace. Les deux derniers chapitres sont dédiés à l'étude théorique (existence globale, unicité) et l'étude numérique (extension de la méthode combinée) du système chimiotactisme-fluide complet constitué d'équations chimiotaxiques anisotropes couplées aux équations de Navier-Stokes modélisant un fluide incompressible. Ce couplage s'effectue à travers les termes décrivant d'un part le transport des cellules vivantes et du chimio-attractant par le fluide et d'autre part la force gravitationnelle exercée par ces organismes vivants sur le fluide. Les travaux de cette thèse ont donné lieu à l'écriture d'un code de calcul très développé en Fortran 95 afin de valider nos résultats par des simulations numériques.

Le thème de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles décrivant l'intrusion saline dans les aquifères côtiers. On a choisi d'adopter la simplicité de l'approche avec interface nette : il n'y a pas de transfert de masse entre l'eau douce et l'eau salée (resp. entre la zone saturée et la zone sèche). On compense la difficulté mathématique liée à l'analyse des interfaces libres par un processus de moyennisation verticale nous permettant de réduire le problème initialement 3D à un système d'edps définies sur un domaine, Ω, 2D. Un second modèle est obtenu en combinant l'approche 'interface nette' à celle avec interface diffuse ; cette approche est déduite de la théorie introduite par Allen-Cahn, utilisant des fonctions de phase pour décrire les phénomènes de transition entre les milieux d'eau douce et d'eau salée (respectivement les milieux saturé et insaturé). Le problème d'origine 3D est alors réduit à un système fortement couplé d'edps quasi-linéaires de type parabolique dans le cas des aquifères libres décrivant l'évolution des profondeurs des 2 surfaces libres et de type elliptique-parabolique dans le cas des aquifères confinés, les inconnues étant alors la profondeur de l'interface eau salée par rapport à eau douce et la charge hydraulique de l'eau douce. Dans la première partie de la thèse, des résultats d'existence globale en temps sont démontrés montrant que l'approche couplée interface nette-interface diffuse est plus pertinente puisqu'elle permet d'établir un principe du maximum plus physique (plus précisèment une hiérarchie entre les 2 surfaces libres). En revanche, dans le cas de l'aquifère confiné, nous montrons que les deux approches conduisent à des résultats similaires. Dans la seconde partie de la thèse, nous prouvons l'unicité de la solution dans le cas non dégénéré, la preuve reposant sur un résultat de régularité du gradient de la solution dans l'espace Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Puis nous nous intéressons à un problème d'identification des conductivités hydrauliques dans le cas instationnaire. Ce problème est formulé par un problème d'optimisation dont la fonction coût mesure l'écart quadratique entre les charges hydrauliques expérimentales et celles données par le modèle. / The theme of this thesis is the analysis of mathematical models describing saltwater intrusion in coastal aquifers. The simplicity of sharp interface approach is chosen : there is no mass transfer between fresh water and salt water (respectively between the saturated zone and the area dry). We compensate the mathematical difficulty of the analysis of free interfaces by a vertical averaging process allowing us to reduce the 3D problem to system of pde's defined on a 2D domain Ω. A second model is obtained by combining the approach of 'sharp interface' in that with 'diffuse interface' ; this approach is derived from the theory introduced by Allen-Cahn, using phase functions to describe the phenomena of transition between fresh water and salt water (respectively the saturated and unsaturated areas). The 3D problem is then reduced to a strongly coupled system of quasi-linear parabolic equations in the unconfined case describing the evolution of the DEPTHS of two free surfaces and elliptical-parabolic equations in the case of confined aquifer, the unknowns being the depth of salt water/fresh water interface and the fresh water hydraulic head. In the first part of the thesis, the results of global in time existence are demonstrated showing that the sharp-diffuse interface approach is more relevant since it allows to establish a mor physical maximum principle (more precisely a hierarchy between the two free surfaces). In contrast, in the case of confined aquifer, we show that both approach leads to similar results. In the second part of the thesis, we prove the uniqueness of the solution in the non-degenerate case. The proof is based on a regularity result of the gradient of the solution in the space Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Then we are interest in a problem of identification of hydraulic conductivities in the unsteady case. This problem is formulated by an optimization problem whose cost function measures the squared difference between experimental hydraulic heads and those given by the model.