Εντός ενός εκτεταμένου φάσματος τόπων και χρόνων της ανθρώπινης διανόησης, τόσο ο ορισμός όσο και η επίλυση του προβλήματος του σχετικού με το κακό θα αναζητούνται διακαώς και αδιαλείπτως. Τα πλέον κεντροβαρή θέματα, τα οποία θα αποτελέσουν τα κλειδιά για τη διάνοιξη μίας ικανοποιητικής κατανόησης σχετικά με το διαχρονικό ρίζωμα του κακού εντός της κοσμικής ολότητας, επιβάλλουν τη διερεύνηση της σχέσης της ύψιστης οντότητας με αυτό, όπως και της πεπερασμένης έλλογης οντότητας με την ελευθερία της, έστω και εάν η ελευθερία αυτή αποδειχθεί εντέλει δυνητική, ενδεχομένως ανύπαρκτη. Επικεντρωμένη στα κορυφαία έργα: Essais de Théodicée sur la Bonté de Dieu, la Liberté de l'Homme et l'Origine du Mal (Δοκίμια Θεοδικίας για την Καλοσύνη του Θεού, την Ελευθερία του Ανθρώπου και την Καταγωγή του Κακού) (1710) του Gottfried Wilhelm Leibniz [Λάιμπνιτς, 1646‒1716] και Philosophische Untersuchungen Über das Wesen der Menschlichen Freiheit und die Damit Zusammenhängenden Gegenstände (Φιλοσοφικές Έρευνες για την Ουσία της Ανθρώπινης Ελευθερίας και Περί Συναφών Θεμάτων) (1809) του Friedrich Wilhelm Joseph Schelling [Σέλλινγκ, 1775–1854], στα πλαίσια της κοσμοθεωρίας του καθενός στοχαστή, η παρούσα εργασία επιχειρεί σε δύο κύρια μέρη να αναδείξει το σχεσιακό πλέγμα επί του οποίου δομείται μία, όσο το δυνατόν περισσότερο, σαφής έννοια του κακού. Επιπρόσθετα, η εκπόνησή της φιλοδοξεί στον εντοπισμό των πιθανών σημείων επαφής–απόκλισης αναφορικά με τη συγκεκριμένη έννοια. Το πρώτο μέρος της εργασίας αφορά την έννοια του κακού που θα δεχθεί επεξεργασία, θα αποσαφηνιστεί και θα επικρατήσει στη σκέψη του Leibniz. Κάτι τέτοιο κρίνεται ως εφικτό κυρίως μέσω της παρουσίασης, όπως και της διευκρίνισης των δύο βασικών επιχειρημάτων που θεμελιώνουν το εγχείρημα της θεοδικίας, δηλαδή του κακού εντός των ορίων της Θεωρίας του Καλύτερου Δυνατού Κόσμου και του κακού ως έλλειψης. Θεωρείται απαραίτητο το να διερευνηθούν λεπτομερώς οι συσχετίσεις της θεϊκής και της ανθρώπινης οντότητας με το κακό, όπως και η μεταξύ των δύο οντοτήτων διασύνδεση. Η προσπάθεια αυτής της διερεύνησης διεξάγεται στα πλαίσια της κοσμοθεώρησης του Leibniz η οποία άπτεται της περίοπτης θέσης της Μονάδας [La Monade], όπως και της Προδιατεταγμένης Αρμονίας [Le Système de l'Harmonie Préétablie] εντός αυτής. Ο λαϊβνίτειος Θεός, ο δημιουργός, κατόπιν ο συντηρητής της κοσμικής ολότητας, κατέχει τη δύναμη και τη γνώση για να καταστρώσει, να πραγματώσει ελεύθερα το υπέρτατο σχέδιό του για έναν κόσμο που θα είναι ο καλύτερος δυνατός στη σύγκρισή του με τον οποιονδήποτε. Μόνο που το εν λόγω σχέδιό του φέρει ένα άκρως σημαντικό ψεγάδι που, αναφορικά με όλα ανεξαιρέτως τα «γνώριμα» όντα που βιώνουν το συγκεκριμένο συμπαντικό μοντέλο, διαβρώνει στον μέγιστο βαθμό την εικόνα που τείνει προς την τελειότητα. Αυτό το διαχρονικά αξιόμεμπτο ελάττωμα του συστήματος θα είναι το κακό [le mal]. Η Θεοδικία θα επιχειρήσει τη διεισδυτική προσέγγισή της στην έννοια, τη φύση και την προέλευση του κακού σε συνάρτηση με τον Θεό και τον άνθρωπο, συντάσσοντας συνάμα τη δεξιοτεχνικά δομημένη απάντηση στους διάφορους επικριτές της, στους φιλοσόφους μα και τους θεολόγους οι οποίοι θα επιμείνουν αφενός στο ασύμβατο της θεϊκής φύσης με το κακό, αφετέρου στο δισυπόστατό της. Πριν από την έναρξη του δεύτερου μέρους το οποίο θα επικεντρωθεί στην έννοια του κακού βάσει της συλλογιστικής γραμμής του Schelling, στο κεφάλαιο «O Schelling για το “Κακό” του Leibniz» αντιπαρατίθεται το κακό τής ισχυρά ενεργής πνευματικής δύναμης στον αντίποδα της αντίστοιχης λαϊβνίτειας όψης, της βασισμένης σε ένα κακό στερημένο και συνάμα ελλειπτικό. Αυτή η αντιπαράθεση αποσκοπεί στην ανάδειξη των σημείων τομής, υπό την προϋπόθεση του ότι θα ληφθούν επίσης υπόψη τα διαφορετικά πλαίσια εντός των οποίων εκτυλίσσεται το έργο του καθενός στοχαστή: εκκινώντας από τον ενστερνισμό ενός αμετάκλητου Θεϊσμού προς την, μετέπειτα από έναν αιώνα, ενδυνάμωση, κατόπιν ακόμα και υπέρβαση των ορίων του Γερμανικού Ιδεαλισμού. Στην Εισαγωγή της πραγματείας για την Ουσία της Ανθρώπινης Ελευθερίας, ο Schelling προαναγγέλλει τη στροφή, την πρωτότυπη μα συνάμα και προκλητική, στο ξετύλιγμα των διαδρομών της έρευνάς του: το ξερίζωμα της παραδοσιακής τοποθέτησης του πνεύματος αντιμέτωπου με το υποθετικά άλογο της φύσης και την αντικατάστασή του με το, εξίσου υποθετικά αντιθετικό, ζεύγος αναγκαιότητα–ελευθερία. Καθ’ όλη τη διάρκεια της ολοκληρωτικής αυτής σάρωσης του εσώτερου φιλοσοφικού κέντρου, η πρωταρχική τοποθέτηση του καινοτόμου δίπολου θα ταλανίζει, χωρίς τη δυνατότητα απόρριψης ούτε του ενός ούτε του άλλου πόλου, εντατικά και επίμονα τους προβληματισμούς του Γερμανού φιλοσόφου. Διαποτισμένη από μία εσώτερη πανίσχυρη βουλητική δραστηριότητα, η δυνατότητα για την ανθρώπινη ελευθερία περιστρέφει τον κύριο άξονα της πραγματείας, ενσωματώνοντας τη βαθειά απόφαση για το καλό, μα συνάμα και για το κακό ως την ειδοποιό διαφορά, σε σύγκριση με τη θεϊκή και όλες τις υπόλοιπες οντότητες, του ανθρώπινου Wesen, δηλαδή του είναι που συγκρατεί το ανθρώπινο μαζί με την ιδιαίτερη ελευθερία η οποία ουσιαστικά διεκδικεί την ιδέα του ανθρωπισμού. Ο ίδιος ο Schelling επισημαίνει πως στην πραγματεία του θα εκφράσει τη διαλογική γένεση των πάντων μέσα στο κείμενο. Σε μία έτερη ερμηνευτική διαδρομή της ανάγνωσης του κορυφαίου αυτού φιλοσοφικού κειμένου, ο Wirth θα παραλληλίσει την εν λόγω γένεση με διαλεκτική καταιγίδα εν μέσω της διαφωνίας και της ανισορροπίας του Wesen, το οποίο εξάλλου, σε τελική ανάλυση, αναδεικνύεται μέσα από αυτήν τη λεκτική ρευστότητα. Μα θα είναι ο φιλόσοφος, εντέλει, εκείνος που θα γνωρίσει το ανέφικτο της όποιας απόπειρας για την εξ ολοκλήρου ιδιοποίηση του εννοιολογικού πλέγματος μίας τόσο αρχέγονης υφής, καθόσον ο διάλογος εκτυλίσσεται μεταξύ συνομιλητών που δεν είναι του ίδιου είδους. Μάλλον φαντάζει σαν κάποια στιχομυθία στην απόπειρα της επικοινωνίας με την ίδια τη φύση. σα να μιλά το φως με το κεκαλυμμένο, και μόνιμο, σκοτάδι του, και εκείνο να απαντά (Jason M. Wirth, The Conspiracy of Life ‒Meditations on Schelling and His Time, State University of New York Press, USA, 2003, σ.σ. 158‒160). / Within an extended spectrum of places and times of the human intellect, both the definition and the solution of the problem of evil will continuously and eagerly be sought. The most important issues, that form the key for the opening of a satisfactory understanding concerning the timeless evil's rootstock in the cosmic totality, impose the investigation of the relationship between the supreme entity with evil, just as the relationship between the finite rational entity with its freedom, even if this freedom is ultimately proven potential, possibly non-existent. Focused on the outstanding works: Essais de Théodicée sur la Bonté de Dieu, la Liberté de l'Homme et l'Origine du Mal (Essays of Theodicy on the Goodness of God, the Freedom of Man and the Origin of Evil) (1710) by Gottfried Wilhelm Leibniz (1646‒1716) and Philosophische Untersuchungen Über das Wesen der Menschlichen Freiheit und die Damit Zusammenhängenden Gegenstände (Philosophical Investigations into the Essence of Human Freedom and Related Matters) (1809) by Friedrich Wilhelm Joseph Schelling (1775‒1854), the present paper attempts, in two main parts within the framework of each thinker's worldview, to feature the relational grid upon which has been structured a definite, as far as possible, sense of evil. Additionally, this paper aims to identify possible points of contact‒deviation regarding this specific concept, mainly within their stated works. The first part of this thesis concerns the concept of evil that will be edited, elucidated, and also will be prevailed on the thought of Leibniz. This has been considered possible primarily through the presentation, as well as the clarification of the two key arguments that ground the operation of theodicy: evil within the Best of All Possible Worlds Theory and evil as a deficiency. It is essential to investigate in detail the correlations of the divine and the human being with evil, as well as the two entities interconnection. The essay of this investigation is conducted within the cosmic view of Leibniz which relates to the prominence of the Monad [La Monade], just as the Pre-established Harmony [Le Système de l'Harmonie Préétablie] therein. The leibnizian God, the creator, then the cosmic whole maintainer, possesses the power and the knowledge to design, to realize freely his ultimate plan for a world that will be the best possible, comparing to any other. Though his project has a very important flaw which, at least for all, without any exception, its “familiar” beings that are experiencing this universal model, corrupts at the fullest extent the image which tends towards perfection. Evil [le mal] will be this timeless censurable fault within the system. The theodicy will attempt its penetrating approach to the conception, nature and origin of evil in relation to God and man, by composing the skillfully structured response to various critics, philosophers and theologians who will insist on both the incompatible of the divine nature with evil, and on the possibility of God's two natures. Before the beginning of the second part, which will be focused on the concept of evil under the line of Schelling's reasoning, in chapter “ Schelling On Leibniz's 'Evil' ”, an evil of a powerful active spiritual power confronts the corresponding leibnizian aspect, based on a deprived yet elliptical evil. This debate aims to highlight the sectional points, provided that is also needed to take into account the different contexts within which each thinker's philosophical work is unfolding: starting from the embracement of a irrevocable Theism to, a century later, the reinforcement, then even the transcendence of the limits of German Idealism. In the essay's Introduction on the Essence of Human Freedom, Schelling foreshadows the turn, both innovative yet provocative, during the unraveling of the inquiry's paths: the uprooting of spirit's traditional placement be faced with the hypothetical irrational nature and its replacement by the equally hypothetical oppositional pair of necessity‒freedom. Throughout the duration of this thoroughgoing total screening of the inner philosophical center, the central placement of the innovative dipole will torment, without the possibility of rejection either one or the other pole, intensively and persistently Schelling's thoughts. Permeated by a mighty inner volitional activity, human freedom's potential rotates the main axis of the treatise, incorporating profound decision for good, but at the same time for evil as the determinant distinction, both from divine and all the other entities of the human Wesen ‒of being which is holding together the humane with the particular freedom that claims the very idea of humanity. Schelling himself points out the essay as a dialectical genesis of everything within the text. In a parallel interpretive course that will be followed by reading this philosophical masterpiece, Wirth will compare that genesis with a dialectical storm amid the discordance and the imbalance of Wesen, which furthermore, in the final analysis, will be emerged through this verbal fluidity. But the very philosopher knows that it's not achievable to have totally appropriated the conceptual grid of this so much primitive texture, whereas the dialogue unfolds between interlocutors not of the same kind. Probably it is showing more like some crosstalk attempting communication with nature itself; it is like light addressees to its disguised and permanent darkness, and darkness responds (Wirth, 2003, p.p. 158‒160).

Η ενσωμάτωση των κωδίκων Turbo σε ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών λόγω της εκπληκτικής αποδόσεώς τους που προσεγγίζει το θεμελιώδες όριο του Shannon, απαιτεί αποδοτικές αρχιτεκτονικές και υλοποιήσεις υψηλού ρυθμού διεκπεραίωσης και χαμηλής κατανάλωσης ενέργειας όσον αφορά την εξαιρετικά πολύπλοκη και χρονοβόρα επαναληπτική αποκωδικοποίησή τους. Η παρούσα διδακτορική διατριβή μελετά την χρήση της τεχνολογίας Πυριτίου-Γερμανίου (SiGe) BiCMOS σε αναλογικές αρχιτεκτονικές για την υλοποίηση αποκωδικοποιητών Turbo υψηλού ρυθμού διεκπεραίωσης και όσο το δυνατόν χαμηλής κατανάλωσης ισχύος. Η σχεδίαση βάσει των διπολικών τρανζίστορ ετεροεπαφής προσδίδει ιδιαίτερα υψηλή ταχύτητα στην απόκριση του αναλογικού συστήματος σε αντίθεση με τα συμβατικά διπολικά τρανζίστορ ή με τα τρανζίστορ πεδίου MOS, τα οποία λειτουργούν στην περιοχή υποκατωφλίου για τη διατήρηση της διαγραμμικής αρχής. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής παρουσιάζεται μια γενική μεθοδολογία χρησιμοποιώντας τους γράφους παραγόντων για την προδιαγραφή συστημάτων ελέγχου λαθών. Έπειτα, πραγματοποιείται η σύζευξη της επιτευχθείσας προδιαγραφής με την κυκλωματική συμπεριφορά των τοπολογιών λαμβάνοντας υπ’ όψιν φυσικά τα χαρακτηριστικά της τεχνολογίας SiGe BiCMOS και καταλήγουμε στην αποδοτική σχεδίαση και ολοκλήρωση αποκωδικοποιητών διόρθωσης λαθών υψηλής ταχύτητας. Χρήσιμα συμπεράσματα, για την υιοθέτηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας και τη χρήση της τεχνολογίας Πυριτίου-Γερμανίου, αναφέρονται με την παρουσίαση της πρώτης επιτυχούς υλοποίησης σε τεχνολογία 0.35μm AMS SiGe BiCMOS ενός αναλογικού Trellis αποκωδικοποιητή και των εξομοιωτικών αποτελεσμάτων του αντίστοιχου αποκωδικοποιητή Turbo, ο οποίος ενσωματώνει τον παραπάνω Trellis αποκωδικοποιητή. / The incorporation of Turbo codes into a wide range of applications due to their amazing performance close to the fundamental Shannon limit, demands efficient architectures and implementations of high-throughput and low energy consumption in the case of the extremely complex and time consuming procedure of iterative decoding. The present dissertation studies the use of SiGe BiCMOS technology in analog architectures for the implementation of high-throughput and moderate power consumption Turbo decoders. The design is based on Heterojunction Bipolar Transistors and leads to a significant increment of the analog system’s speed in contrast to the designs based on conventional bipolar transistors or MOS transistor, which operate in the subthreshold region in order to conform to the translinear principle. A generic methodology, using factor-graphs for the specification procedure of error control systems, is also presented. Furthermore, we map the derived specification onto the appropriate acircuit topology taking into account the characteristics of the SiGe BiCMOS technology. Finally, the methodology leads to an efficient design and consistent integration of high-speed analog decoders. We report useful conclusions for the adoption of the proposed methodology, and the use of Silicon-Germanium technology by presenting the first successful implementation of an analog Trellis decoder, and the simulation results of the relevant Turbo decoder in a 0.35μm AMS SiGe BiCMOS technology.

Πολλά είναι τα προβλήματα απόφασης τα οποία μπορούν να μοντελοποιηθούν ως προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Πολλές όμως είναι και οι καταστάσεις όπου δεν είναι λογικό να υποτεθεί ότι οι παράμετροι του μοντέλου καθορίζονται προσδιοριστικά. Για παράδειγμα, μελλοντικές παραγωγικότητες σε ένα πρόβλημα παραγωγής, εισροές σε μία δεξαμενή που συνδέεται με έναν υδροσταθμό παραγωγής ηλεκτρικού ρεύματος, απαιτήσεις στους διάφορους κόμβους σε ένα δίκτυο μεταφορών κλπ, είναι καταλληλότερα μοντελοποιημένες ως αβέβαιες παράμετροι, οι οποίες χαρακτηρίζονται στην καλύτερη περίπτωση από τις κατανομές πιθανότητας. Η αβεβαιότητα γύρω από τις πραγματοποιημένες τιμές εκείνων των παραμέτρων δεν μπορεί να εξαλειφθεί πάντα εξαιτίας της εισαγωγής των μέσων τιμών τους ή μερικών άλλων (σταθερών) εκτιμήσεων κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μοντελοποίησης. Δηλαδή ανάλογα με την υπό μελέτη κατάσταση, το γραμμικό προσδιοριστικό μοντέλο μπορεί να μην είναι το κατάλληλο μοντέλο για την περιγραφή του προβλήματος που θέλουμε να λύσουμε. Σε αυτή τη διπλωματική υπογραμμίζουμε την ανάγκη να διευρυνθεί το πεδίο της μοντελοποίησης των προβλημάτων απόφασης που παρουσιάζονται στην πραγματική ζωή με την εισαγωγή του στοχαστικού προγραμματισμού. / There are many practical decision problems than can be modeled as linear programs. However, there are also many situations that it is unreasonable to assume that the coefficients of model are deterministically fixed. For instance, future productivities in a production problem, inflows into a reservoir connected to a hydro power station, demands at various nodes in a transportation network, and so on, are often appropriately modeled as uncertain parameters, which are at best characterized by probability distributions. The uncertainty about the realized values of those parameters cannot always be wiped out just by inserting their mean values or some other (fixed) estimates during the modelling process. That is, depending on the practical situation under consideration, the linear deterministic model may not be the appropriate model for describing the problem we want to solve. In this project we emphasize the need to broaden the scope of modelling real life decision problems by inserting stochastic programming.

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά σημεία με βαρύτητες στον R^3 (b.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος n μη συγγραμμικών σημείων στον R^3 να βρεθεί ένα σημείο το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων με θετικές βαρύτητες του σημείου αυτού από τα n δοσμένα σημεία. Το αντίστροφο πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία με βαρύτητες στον R^3 (αντ.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος ενός σημείου που ανήκει στο εσωτερικό ενός κλειστού πολυέδρου που σχηματίζεται από n δοσμένα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, υπάρχει μοναδικά προσδιορίσιμο σύνολο τιμών για τις βαρύτητες που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα n δοσμένα σημεία, ώστε το σημείο αυτό να επιλύει για τις τιμές αυτές των βαρυτήτων το πρόβλημα b.FT στον R^3; Στην παρούσα διατριβή, αποδεικνύουμε μία γενίκευση της ισογώνιας ιδιότητας του σημείου b.FT για ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε ένα Κ-επίπεδο (Σφαίρα, Υπερβολικό επίπεδο, Ευκλείδειο επίπεδο). Στη συνέχεια, δίνουμε μία αναγκαία συνθήκη για να είναι το σημείο b.FT εσωτερικό σημείο ενός τετραέδρου και ενός πενταέδρου (πυραμίδες) στον R^3. Η δεύτερη ομάδα αποτελεσμάτων της διατριβής περιλαμβάνει τη θετική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για τρία μη γεωδαισιακά σημεία στο Κ-επίπεδο και στο αντ.FT πρόβλημα για τέσσερα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3. Η αρνητική απάντηση στο αντ.FT για τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία στον R^2 θα μας οδηγήσει σε σχέσεις εξάρτησης των βαρυτήτων που ονομάζουμε εξισώσεις της δυναμικής πλαστικότητας των τετραπλεύρων. Ομοίως, δίνοντας αρνητική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, παίρνουμε τις εξισώσεις δυναμικής πλαστικότητας , διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την αρχή της πλαστικότητας των κλειστών εξαέδρων στον R^3, που αναφέρει ότι: Έστω ότι πέντε προδιαγεγραμμένα ευθύγραμμα τμήματα συναντώνται στο σημείο b.FT, των οποίων τα άκρα σχηματίζουν ένα κλειστό εξάεδρο. Επιλέγουμε ένα σημείο σε κάθε ημιευθεία που ορίζει το προδιαγεγραμμένο ευθύγραμμο τμήμα, τέτοιο ώστε το τέταρτο σημείο να βρίσκεται πάνω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία και το τρίτο και πέμπτο σημείο να βρίσκονται κάτω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία. Τότε η μείωση της τιμής της βαρύτητας που αντιστοιχεί στην πρώτη, τρίτη και τέταρτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία προκαλεί αύξηση στις βαρύτητες που αντιστοιχούν στη δεύτερη και πέμπτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία.Τέλος, ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διατριβής αφορά την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος του Gauss για κυρτά τετράπλευρα στο Κ-επίπεδο, θέτοντας δύο σημεία στο εσωτερικό του κυρτού τετραπλεύρου με ίσες βαρύτητες, τα οποία στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι είναι δύο σημεία b.FT με συγκεκριμμένες βαρύτητες, αποτέλεσμα το οποίο γενικεύει το πρόβλημα b.FT για τετράπλευρα στο Κ-επίπεδo. / The weighted Fermat-Torricelli for n non-collinear points in R^3 states the following: Given n non-collinear points in R^3 find a point (b.FT point) which minimizes the sum of the distances multiplied by a positive number which corresponds to a given point (weight). The inverse Fermat-Torricelli problem for n non-collinear points with weights in R^3 (inv.FT) states the following: Given a point that belongs to the interior of a closed polyhedron which is formed between n given non-collinear points in R^3, does there exist a unique set of weights which corresponds to each one of the n points such that this point solves the weighted Fermat-Torricelli problem for this particular set of weights? In the present thesis, we prove a generalization of the isogonal property of the b.FT point for a geodesic triangle on the K-plane (Sphere, Hyperbolic plane, Euclidean plane). We proceed by giving a sufficient condition to locate the b.FT point at the interior of tetrahedra and pentahedra (pyramids) in R^3. The second group of results contains a positive answer on the inv.FT problem for three points that do not belong to a geodesic arc on the K-plane and on the inv.FT problem for four non collinear points and non coplanar in R^3. The negative answer with respect to the inv.FT problem for four non-collinear points in R^2 lead us to the relations of the dependence between the weights that we call the equations of dynamic plasticity for quadrilaterals. Similarly, by giving a negative answer with respect to the inv.FT problem for five points which do not belong in the same plane in R^3, we derive the equations of dynamic plasticity of closed hexahedra and we prove a plasticity principle of closed hexahedra in R^3, which states that: Considering five prescribed rays which meet at the weighted Fermat-Torricelli point, such that their endpoints form a closed hexahedron, a decrease on the weights that correspond to the first, third and fourth ray, causes an increase to the weights that correspond to the second and fifth ray, where the fourth endpoint is upper from the plane which is formed from the first ray and second ray and the third and fifth endpoint is under the plane which is formed from the first ray and second ray. Finally, a significant result of this thesis deals with the solution of the generalized Gauss problem for convex quadrilaterals on the K-plane in which by setting two points at the interior of the convex quadrilateral with equal weights we prove that these points are weighted Fermat-Torricelli points with specific weights, that generalizes the b.FT problem for quadrilaterals on the K-plane.