- / -

Στις διακριτές κατανομές η εύρεση εκτιμητών μεγίστης πιθανοφάνειας παρουσιάζει δυσκολίες κυρίως όταν οι πιθανότητες δεν εκφράζονται με αναλυτικό τύπο και δίνονται αναγωγικά. Τέτοιες κλάσεις αποτελούν η συνέλιξη κατανομών και οι επιγενείς κατανομές. Στην παρούσα διπλωματική αντικείμενό μας είναι η παρουσίαση των ιδιοτήτων των εκτιμητών μεγίστης πιθανοφάνειας σε αυτές τις οικογένειες. Αποδεικνύεται ότι μια από τις εξισώσεις συμπίπτει με την εξίσωση που προέρχεται από τη μέθοδο των ροπών για τον δειγματικό μέσο. Έτσι σε περιπτώσεις κατανομών με δύο παραμέτρους, όπως η Charlier και η Neyman που παρουσιάζονται αναλυτικά, μόνο μια εξίσωση χρειάζεται να λυθεί επαναληπτικά για την εύρεση των εκτιμητών. Ο πληθυσμιακός μέσος επίσης αποτελεί τη βασική παράμετρο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό των παραμέτρων της υπό μελέτη κατανομής. Η παραμετρικοποίηση αυτή εξαλείφει την υψηλή συσχέτιση μεταξύ των αρχικών παραμέτρων και επιτυγχάνει τη διάκριση όσον αφορά την πληροφορία που είναι σχετική με αυτές. Συγκεκριμένα παραδείγματα με τα οποία ασχοληθήκαμε είναι στις συνελίξεις δύο κατανομών η Delaporte καθώς και στις επιγενείς κατανομές η Hermite. / -

Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στο επιστημονικό πεδίο της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και αποσκοπεί στην εκτίμηση της μέσης τιμής ενός πληθυσμού, ο οποίος επιλέγεται από δύο κανονικούς πληθυσμούς με άγνωστες μέσες τιμές και κοινή γνωστή διασπορά ως προς το τετραγωνικό σφάλμα και ως προς την ασύμμετρη συνάρτηση ζημίας LINEX. Η μελέτη του προβλήματος της εκτίμησης της μέσης τιμής ενός πληθυσμού ως προς το τετραγωνικό σφάλμα, παρουσιάστηκε στην εργασία του Dahiya(1974) ενώ το αντίστοιχο πρόβλημα ως προς την ασύμμετρη συνάρτηση ζημίας LINEX μελετήθηκε από τους Parsian and Farsipour(1999). Στην παρούσα εργασία, έγινε μια προσπάθεια σύγκρισης των αποτελεσμάτων της συνάρτησης μεροληψίας καθώς και της συνάρτησης κινδύνου προκειμένου να διαπιστωθεί ο βέλτιστος εκτιμητής. Η εύρεση εκτιμητών της μέσης τιμής από επιλεγμένο κανονικό πληθυσμό προϋποθέτει τη γνώση βασικών μαθηματικών εργαλείων. Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαίο να μελετήσουμε βασικές έννοιες της Μαθηματικής Στατιστικής, οι οποίες θα μας βοηθήσουν να επιτύχουμε το στόχο μας. Στο Κεφάλαιο 1 παρατίθενται βασικοί ορισμοί και θεωρήματα της Μαθηματικής Στατιστικής. Στο Κεφάλαιο 2, περιλαμβάνεται η συνήθης εκτίμηση των παραμέτρων θέσεως από δύο κανονικούς πληθυσμούς με κοινή, γνωστή διασπορά. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε τους εκτιμητές της μέσης τιμής του επιλεγμένου κανονικού πληθυσμού, τους οποίους πρότεινε ο Ram.C Dahiya(1974) καθώς και τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεροληψίας. Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται εκτενής ανάλυση των εκτιμητών μέσης τιμής από κανονικούς πληθυσμούς, τους οποίους πρότειναν οι Parsian and Farsipour(1999) καθώς και οι αντίστοιχες συναρτήσεις μεροληψίας. Στο Κεφάλαιο 5 παραθέτουμε τη συνάρτηση κινδύνου για καθένα από τους εκτιμητές των Parsian and Farsipour(1999) καθώς και αριθμητικά αποτελέσματα για το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των εκτιμητών που προτάθηκαν στην εργασία του Dahiya(1974). / --

Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Στατιστικής θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στη μελέτη της αρνητικής διωνυμικής κατανομής καθώς επίσης και στην εκτίμηση των παραμέτρων της. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται κάποιοι χρήσιμοι, για την πορεία της μελέτης μας, ορισμοί και θεωρήματα. Στο Κεφάλαιο 2 μελετάται το μοντέλο της αρνητικής διωνυμικής κατανομής, δίνονται τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής και παρουσιάζονται οι διαφορετικές παραμετρικοποιήσεις της. Στο Κεφάλαιο 3, εξετάζεται το πρόβλημα εκτίμησης των παραμέτρων της αρνητικής διωνυμικής κατανομής και πιο ειδικά η εκτίμηση για τις διάφορες παραμετρικοποιήσης της. Για περισσότερη ανάλυση χρησιμοποιούνται η εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση με τη μέθοδο των ροπών και πιο εξειδικευμένες υπολογιστικές μέθοδοι εκτίμησης. Στο Κεφάλαιο 4, και για το ίδιο πρόβλημα εκτίμησης που πραγματεύεται το προηγούμενο κεφάλαιο, επιλέγεται ο βέλτιστος εκτιμητής των παραμέτρων της αρνητικής διωνυμικής κατανομής και παρουσιάζεται ένα παράδειγμα για την κατανόηση των μεθόδων εκτίμησης. / The master thesis we are going to introduce takes place in the region of Statistical Decision Theory and particularly in studying the Negative Binomial Distribution and the estimation of its parameters. In Chapter 1 some useful definitions and theorems are presented. In Chapter 2 the model of negative binomial distribution is studied and its different parameterizations are discussed. In Chapter 3 we examine the problem of estimating the parameters of our model and for its parameterizations. In particular we give the method of Maximum Likelihood Estimation, the Method of Moments and more specified Estimation Methods. In Chapter 4 and for the same estimation problem, as in previous chapter, it’s been chosen the best estimator of the parameters in our model and it’s been derived an example for the better understanding of the above methods.

Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στην εκτίμηση των παραμέτρων στο μοντέλο της διπαραμετρικής εκθετικής κατανομής με παράμετρο θέσης μ και παράμετρο κλίμακος σ. Θεωρούμε ένα δείγμα n τυχαίων μεταβλητών, καθεμία από τις οποίες ακολουθεί την διπαραμετρική εκθετική κατανομή. Λογοκρίνουμε κάποιες αρχικές παρατηρήσεις και έστω ότι τερματίζουμε το πείραμά μας πριν αποτύχουν όλες οι συνιστώσες. Τότε προκύπτει ένα διπλά διακεκομμένο δείγμα διατεταγμένων παρατηρήσεων. Η εκτίμηση των παραμέτρων της διπαραμετρικής εκθετικής κατανομής, γίνεται από το συγκεκριμένο δείγμα. Πρώτα μελετάμε κάποιες βασικές έννοιες της Στατιστικής και της Εκτιμητικής και βρίσκουμε εκτιμητές για τις παραμέτρους. Πιο συγκεκριμένα, βρίσκουμε αμερόληπτο εκτιμητή ελάχιστης διασποράς, εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας, εκτιμητή με την μέθοδο των ροπών και τον βέλτιστο αναλλοίωτο εκτιμητή σε συγκεκριμένη κλάση, αντίστοιχα και για τις δύο παραμέτρους. Σαν βελτίωση των προηγούμενων εκτιμητών, ακολουθούν οι εκτιμητές τύπου Stein και, ολοκληρώνοντας, ασχολούμαστε με πρόβλεψη κατά Bayes για μια μελλοντική παρατήρηση / The present master thesis deals with the estimation of the location parameter μ and the scale parameter σ of the two-parameter exponential distribution. A sample n of random variables from the two-parameter exponential distribution is assumed. Part of the initial variables is censored and the experiment is terminated before all the components fail. A doubly censored sample emerges from which the two-parameter exponential distribution's parameters are estimated. First of all, basic Statistics' concepts are studied in order to estimate the parameters. More specifically, the Minimum Variance Unbiased Estimator (MVUE), the Maximum Likelihood Estimator (MLE), the estimator based on the Method of Moments and the best affine equivariant estimator are computed for both the parameters. To improve the previous estimators, the Stein method is used and to conclude the Bayes prediction is used for future observation

Η αντιμετώπιση της περιορισμένης χωρικής ανάλυσης των εικόνων, η οποία οφείλεται στους φυσικούς περιορισμούς που εμφανίζουν οι αισθητήρες σύλληψης εικόνας, αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Στη διατριβή αυτή αρχικά γίνεται προσπάθεια μοντελοποίησης της λειτουργίας του ψηφιοποιητή εικόνας κατά τη δημιουργία αντίγραφου ενός εγγράφου μέσω απλών μοντέλων. Στην εξομοίωση της λειτουργίας του ψηφιοποιητή, το προτεινόμενο μοντέλο θα πρέπει να προτιμηθεί έναντι των μοντέλων Gaussian και Cauchy, που συναντώνται στη βιβλιογραφία, καθώς είναι ισοδύναμο στην απόδοση, απλούστερο στην υλοποίηση και δεν παρουσιάζει εξάρτηση από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά λειτουργίας του ψηφιοποιητή. Έπειτα, μορφοποιούνται νέες μέθοδοι για τη βελτίωση της χωρικής ανάλυσης σε εικόνες. Προτείνεται μέθοδος μη ομοιόμορφης παρεμβολής για ανακατασκευή εικόνας Super-Resolution (SR). Αποδεικνύεται πειραματικά πως η προτεινόμενη μέθοδος η οποία χρησιμοποιεί την παρεμβολή Kriging υπερτερεί της μεθόδου η οποία δημιουργεί το πλέγμα υψηλής ανάλυσης μέσω της σταθμισμένης παρεμβολής κοντινότερου γείτονα που αποτελεί συμβατική τεχνική. Επίσης, παρουσιάζονται τρεις νέες μέθοδοι για στοχαστική ανακατασκευή εικόνας SR regularized. Ο εκτιμητής Tukey σε συνδυασμό με το Bilateral Total Variation (BTV) regularization, ο εκτιμητής Lorentzian σε συνδυασμό με το BTV regularization και ο εκτιμητής Huber συνδυασμένος με το BTV regularization είναι οι τρεις μέθοδοι που προτείνονται. Μία πρόσθετη καινοτομία αποτελεί η απευθείας σύγκριση των τριών εκτιμητών Tukey, Lorentzian και Huber στην ανακατασκευή εικόνας super-resolution, άρα στην απόρριψη outliers. Η απόδοση των προτεινόμενων μεθόδων συγκρίνεται απευθείας με εκείνη μίας τεχνικής SR regularized που υπάρχει στη βιβλιογραφία, η οποία αποδεικνύεται κατώτερη. Σημειώνεται πως τα πειραματικά αποτελέσματα οδηγούν σε επαλήθευση της θεωρίας εύρωστης στατιστικής συμπεριφοράς. Επίσης, εκπονείται μία πρωτότυπη μελέτη σχετικά με την επίδραση που έχει κάθε ένας από τους όρους έκφρασης πιστότητας στα δεδομένα και regularization στη διαμόρφωση του αποτελέσματος της ανακατασκευής εικόνας SR. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν βοηθούν στην επιλογή μίας αποτελεσματικής μεθόδου για ανακατασκευή εικόνας SR ανάμεσα σε διάφορες υποψήφιες μεθόδους για κάποια δεδομένη ακολουθία εικόνων χαμηλής ανάλυσης. Τέλος, προτείνεται μία μέθοδος παρεμβολής σε εικόνα μέσω νευρωνικού δικτύου. Χάρη στην προτεινόμενη τεχνική εκπαίδευσης το νευρωνικό δίκτυο μαθαίνει το point spread function του ψηφιοποιητή εικόνας. Τα πειραματικά αποτελέσματα αποδεικνύουν πως η προτεινόμενη μέθοδος υπερτερεί σε σχέση με τους κλασικούς αλγόριθμους δικυβικής παρεμβολής και παρεμβολής spline. Η τεχνική που προτείνεται εξετάζει για πρώτη φορά το ζήτημα της σειράς της παρουσίασης των δεδομένων εκπαίδευσης στην είσοδο του νευρωνικού δικτύου. / Coping with the limited spatial resolution of images, which is caused by the physical limitations of image sensors, is the objective of this thesis. Initially, an effort to model the scanner function when generating a document copy by means of simple models is made. In a task of scanner function simulation the proposed model should be preferred over the Gaussian and Cauchy models met in bibliography as it is equivalent in performance, simpler in implementation and does not present any dependence on certain scanner characteristics. Afterwards, new methods for improving images spatial resolution are formulated. A nonuniform interpolation method for Super-Resolution (SR) image reconstruction is proposed. Experimentation proves that the proposed method employing Kriging interpolation predominates over the method which creates the high-resolution grid by means of the weighted nearest neighbor interpolation that is a conventional interpolation technique. Also, three new methods for stochastic regularized SR image reconstruction are presented. The Tukey error norm in combination with the Bilateral Total Variation (BTV) regularization, the Lorentzian error norm in combination with the BTV regularization and the Huber error norm combined with the BTV regularization are the three proposed methods. An additional novelty is the direct comparison of the three estimators Tukey, Lorentzian and Huber in the task of super-resolution image reconstruction, thus in rejecting outliers. The performance of the proposed methods proves superior to that of a regularized SR technique met in bibliography. Experimental results verify the robust statistics theory. Moreover, a novel study which considers the effect of each one of the data-fidelity and regularization terms on the SR image reconstruction result is carried out. The conclusions reached help to select an effective SR image reconstruction method, among several potential ones, for a given low-resolution sequence of frames. Finally, an image interpolation method employing a neural network is proposed. The presented training procedure results in the network learning the scanner point spread function. Experimental results prove that the proposed technique predominates over the classical algorithms of bicubic and spline interpolation. The proposed method is novel as it treats, for the first time, the issue of the training data presentation order to the neural network input.

Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στην εκτίμηση των παραμέτρων στο μοντέλο της διπαραμετρικής εκθετικής κατανομής με παράμετρο θέσης μ και παράμετρο κλίμακος σ. Θεωρούμε το πρόβλημα εκτίμησης των παραμέτρων κλίμακας μ και θέσης σ, όταν μ≤c, όπου c είναι μία γνωστή σταθερά. Αποδεικνύουμε ότι σε σχέση με το κριτήριο του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος (ΜΤΣ), οι βέλτιστοι αναλλοίωτοι εκτιμητές των μ και σ, είναι μη αποδεκτοί όταν μ≤c, και προτείνουμε βελτιωμένους. Επίσης συγκρίνουμε του εκτιμητές αυτούς σε σχέση με το κριτήριο του Pitman. Επιπλέον, προτείνουμε εκτιμητές που είναι καλύτεροι από τους βέλτιστους αναλλοίωτους εκτιμητές, όταν μ≤c, ως προς την συνάρτηση ζημίας LINEX. Τέλος, η θεωρία που αναπτύσσεται εφαρμόζεται σε δύο ανεξάρτητα δείγματα προερχόμενα από εκθετική κατανομή. / The present master thesis deals with the estimation of the location parameter μ and the scale parameter σ of the two-parameter exponential distribution. We consider the problem of estimation of locasion parameter μ and the scale parameter σ, when it is known apriori that μ≤c, where c is a known constant. We establish that with respect to the mean square error (mse) criterion the best affine estimators of μ and σ in the absence of information μ≤c are inadmissible and we propose estimators which are better than these estimators. Also, we compare these estimators with respect to the Pitman Nearness criterion. We propose estimators which are better than the standard estimators in the unrestricted case with respect to the suitable choise of LINEX loss. Finally, the theory developed is applied to the problem of estimating the location and scale parameters of two exponential distributions when the location parameters are ordered.