我們期待利用一種更為接近報酬分配實際情況的模型來估計風險值，以期望獲得較佳的風險值估計結果，由於市場上的波動因具有異質變異，易產生波動聚集現象(Volatility Clustering)，因此我們嘗試以GARCH模型捕捉波動起伏，並結合一般化極端值分配來捕捉財務資料常具有的厚尾現象。 研究中，更進一步地利用模擬比較Frechet與GEV估計尾端係數的優劣，結果發現在資料具有厚尾現象時，利用Frechet分配所估計的尾端係數結果的確比用GEV的結果好，不過利用係數結果估計風險值時，我們卻發現兩者的結果差異不大。而我們亦認為，在窗口大小為1800時，block size為63是合適的。 而實證結果中，除了更加驗證模擬結果外，我們亦發現利用AR(k)-GARCH(p,q)模型與一般化極端值分配作為估計風險值的方法的確可以考慮到波動的趨勢及厚尾現象，因而可以獲得較理想的風險值估計結果。 關鍵字：風險值、一般化極端值分配、厚尾、GARCH模型

論文名稱：非齊質變異下尾端風險的衡量 校所組別：國立政治大學國際貿易學研究所 指導教授：饒秀華博士 研究生：陳俊宏 關鍵字：風險值、極值理論、厚尾、GPD、GEV、HILL、GARCH模型 論文摘要 台灣加入世界貿易組織(WT0)之後，也相對宣示了國內企業邁向國際化與自由化的向前邁進一步，對於銀行、進、出口商在匯率使用上將會更加的頻繁，因此面對匯率的風險將是無法避免，本研究的目標為每一塊美元兌換台幣的即期匯率資料，以基本的歷史模擬法、變異數－共變異數法，比較極值理論所使用的方法是否有差異存在，而平常使用的非條件模型與條件的GARCH模型比較，條件模型是否能夠比非條件的模型更能正確地估計風險值；另外，條件模型在多日風險值的估計時是否還保有其適用性。 實證結果顯示：整體上而言，在1日風險值估計的模型上，條件模型上的假設確實比非條件的模型較好。在1日的風險值估計下，條件極值理論的使用上比條件變異數－共變異數法或歷史模擬法所估計出來的風險值表現的結果好。在多日的風險值估計下，1日風險值估計模型表現最佳的條件極值理論的模型，卻沒有依然表現的很好，原因是GARCH模型可能無法在時間拉長時，依然做到最好的估計，此時，或許使用非條件的Hill模型以λ_t的方法來估計風險值，就可以達到不錯的結果。

論文名稱：波動聚集考慮與否下之風險值衡量 校所別：國立政治大學國際貿易研究所 指導教授：饒秀華博士、翁久幸博士 研究生：丘至平 關鍵字：風險值、波動聚集、厚尾、混合常態分配、Laplace分配 論文提要內容： 眾多文獻指出金融資產報酬具有厚尾(Fat-Tail)及波動聚集(Volatility Clustering)的現象。而在尾端風險的衡量方面，究竟此一非齊質變異數應否考慮亦為各方所爭論。本文之研究擬以非條件分配（即Mixture Normal、Laplace及Normal三種分配）和條件分配（即一般常用之Garch(1，1)模式加上Mixture Normal及Laplace分配）等五種方式對台灣加權股價指數及開放式一般股票型基金日報酬率資料估計風險值，輔以回溯測試決定適用之分配。 在實證結果方面，Laplace分配優於混合常態分配之風險值估計，其原因是不論台灣加權股價指數報酬率或基金報酬率的資料並未分成"左右"兩群，而是類似單一分配，因此在用實際資料配適此分配時，混合常態分配僅能區別出平均數近似，而數異數不同的兩個常態分配。而Laplace分配較混合常態分配為厚尾，故混合常態分配表現劣於Laplace分配。 就台灣加權股價指數報酬率而言，除了在1%的顯著水準及250天的估計期間，Garch(1，1)-Laplace所得之漏損率為最接近者外，其餘均是以Laplace分配所求得之漏損率最佳。 就開放式一般股票型基金報酬率而言，不論估計期間為何（250或500天），在1%的顯著水準下，Laplace分配對風險值估計較佳；在5%的顯著水準下，以Garch(1，1)-Laplace得到良好的風險值估計。或許如Danielsson and de Vries(2000)所說，縱使就一般資產報酬有波動聚集的情況，然就極端事件(α=l%)而言並不具有此一現象，故以非條件之Laplace分配求算尾端風險即可。

關於風險值之估計，拔靴法因直接以市場資料為抽樣分配，計算時便包含一般財務時間序列所常有的厚尾高峰等現象，避免模型偏誤(Model Risk)。但市場上的波動因具有異質變異，易產生波動聚集現象(Volatility Clustering)，是以歷史資料無法立即反應波動之起伏與及時之資訊，一般VaR估計模型往往在波動較劇烈起伏處，無法準確估計風險值，因而提高市場風險。 　　針對於此，此次研究嘗試以GARCH模型捕捉波動起伏，並運用拔靴法估計之便捷與優點，估計更可靠之風險值（簡稱GARCH Bootstrap）。研究所得之主要結論如下： 　　1.拔靴法(Bootstrap)以及偏誤修正之拔靴法(Bias-Corrected Bootstrap)在厚尾及常態之下，皆比歷史模擬法有較佳之估計。但實證資料因厚尾情形不足，三者之VaR估計，並無顯著差異。 　　2.拔靴法及偏誤修正之拔靴法於模擬中有較大之差距，實證下則較小，應為實證資料厚尾情形較輕微所致。 　　3.模擬中，在GARCH模型之配適上，選擇樣本大小（或窗口大小）為250日或500日皆為條件之估計較佳。但實證上，250日的資料仍嫌不足，在計算參數時會有不收斂而無法得其結果。建議在窗口選擇上應至少為500日。 　　4.在資料本身具有GARCH現象時，GARCH Bootstrap會較Bootstrap為佳。

本文使用混合分配方法發展一個可處理厚尾,偏態(報酬分配不對稱)的壓力 測試模型。在資料上,我們以希臘國債與 S&P500 指數作為核心資產,臺灣市場 的標的資產作為邊緣資產。在與資料的配適能力上,本文發展的模型確實優於過 去假設常態分配的壓力測試模型。在實際執行壓力測試中,本研究比較了本文使 用的混合分配模型與過去模型的差異,我們發現壓力測試結果的差異相當大,因 此肯定了能抓住厚尾及偏態現象模型的重要性。

一般而言財務資料具有高峰(High Kurtosis)及厚尾(Heavy Tail)的特性，極值理論(Extreme Value Theorem)即是著重於尾部極端事件發生的機率，描繒出尾部極端值的機率分配，以捕捉財務資料中具厚尾的現象，利用估算尾部指數(Tail Index) α值判斷尾部分配的厚、薄程度。一般在估算α值時均是假設α值是不會隨著時間而變動的穩定值，然而在我們所選取的樣本期間內，可能伴隨著一些重大事件，如金融風暴、或是制度面的改變等，均有可能造成尾部極端值發生機率的增加或減少，因此在其樣本期間所估算的α值不應假設為一不變的常數。本文即是針對亞洲四小龍的匯率資料做”尾部參數是否發生結構變化(Structural Change)”之假設檢定，並且找出發生結構變化的時點。 實証結果發現，在1993~2004年間，亞洲四小龍的匯率報酬率其尾部參數確實有發生結構變化的情形。此結論對於風險管理者而言，必須注意到尾部參數α值應該是一個會隨著時間而改變的值，也就是在估算 值時應該要避開發生結構變化的可能時點，或許應於所要估計的樣本期間先執行尾部參數是否有結構變化的檢定，如此才能更準確的估算α值。

由於許多資產報酬率的分配呈現厚尾的現象，因此，本文探討將最低報酬要求限制條件加入傳統的平均數╱變異數模型中，考慮在分配已知的情形下，假設資產報酬率的分配為t分配及常態分配，來求取最適的資產配置；在分配未知的情形下，利用古典Bootstrap法、移動區塊Bootstrap法及定態Bootstrap法的抽樣方法來模擬資產報酬率的分配形式，並利用模擬的資產報酬率分配求出最適的資產配置。 同時，本文亦探討資產配置在風險管理上的運用，當分配已知時，若對分配參數的估計正確，則使用的最低要求報酬率就是此資產配置的涉險值，反之，若對參數的估計錯誤時，會對資產配置產生很大的影響及風險管理上的不正確；當分配未知時，利用模擬方法來產生分配，則使用的最低要求報酬率可看成是此資產配置的涉險值。 實證部分選取資料分成本國及全球，研究發現對於何種分配或模擬方法的資產配置績效最好？沒有一定的結論。其原因是各種分配或模擬方法皆必須視資料的性質而定，因此，本論文的貢獻僅在建議使用厚尾分配及利用模擬方法，來符合資產報酬率呈現厚尾的現象，並利用此分配，以期在考慮最低報酬要求限制條件下的資產配置更為精確。 / The distributions of many asset returns tend to be fat-tail. This paper attempts to add the shortfall constraint in Mean-Variance Analysis. When the distribution is known, we find the optimal asset allocation under student-t distribution and normal distribution. On the other hand, we use Classical Bootstrap, Moving Block Bootstrap, and Stationary Bootstrap to stimulate the distribution of asset return, and to obtain the optimal asset allocation. We also examine the risk management of asset allocation. When we use the correct estimators of parameters under the known distribution, the threshold in shortfall constraint is the value-at-risk in asset allocation. Otherwise, if using the wrong estimators, we get the incorrect asset allocation and the improper risk management. When the distribution is unknown, using simulation to generate the distribution, the value-at-risk is the threshold. The empirical study is conducted in two parts, domestic and global asset allocation. The results cannot point out which distributions and simulations are suitable. They depend on the data’s property. The contribution of this paper is to introduce some methods to fit the fat-tail behavior of asset return in asset allocation.

因為股票市場常具有厚尾、偏態和峰態的特性且在國際的股票市場之間，股票報酬長存在有尾端相依的情況，所以我們的資產模型不能選用Gaussian分配。 近幾年來，常用GH 分配建構單維度的股票報酬。這篇文章將利用多元仿射JD、多元仿射VG 和多元仿射NIG分配去建構風險性資產的報酬並請應用到資產配置。 建構風險性資產的報酬後，我們提供兩種不同形式的投資組合並且可以導出投資組合的期望值、變異數、偏態和峰態。我們嘗試以投資組合的期望值、變異數、偏態和峰態當成我們的目標函數，然後得出未來最佳的投資組合的權重。為了讓我們的資產配置更加動態和有效率，我們重新估計模型的參數、選擇最佳的投資組合權重，然後重新評估最佳的資產配置在每個決策日期。實證結果發現當股票市場的表現好的時候，我們建議資產配置應使用偏態當成我們的目標函數，但是當股票市場的表現太好的時候，我們建議資產配置應使用變異數當成我們的目標函數。 / Since the stock markets always have the characteristics of heavy-tailness, skewness and kurtosis and there exists tail dependence among the international stock markets, we can’t use the Gaussian distribution as our model. Recently, the generalized hyperbolic (GH) distribution has been suggested to fit the single stock returns. This article will use the multivariate affine JD (MAJD), multivariate affine variance gamma (MAVG) and multivariate affine normal inverse Gaussian (MANIG) distributions to construct the risky asset returns, and apply them to asset allocation. After constructing the risky asset returns, we provide two different forms of portfolio and obtain the mean, variance, skewness, kurtosis of portfolio. We can try to select the optimal weights of portfolio by using the mean, variance, skewness, kurtosis of portfolios as our objective functions. To make our asset allocation more dynamic and efficient, we re-estimate all parameters for our models, select the optimal weights of portfolio, and re-assess the optimal asset allocation at each decision date. Empirically, when the performances of stock markets are good, we suggest that our asset allocation uses the skewness as the objective function. When the performances of stock markets are not good, we suggest that our asset allocation uses the variance as the objective function.

針對金融時序資料變異數不齊一的性質，隨機波動模型除了提供於ARCH族外的另一選擇；且由於其設定隱含波動本身亦為一個隨機波動函數，藉由設定隨時間改變且自我相關的條件變異數，使得隨機波動模型較ARCH族來得有彈性且符合實際。傳統上處理隨機波動模型的參數估計往往需要面對到複雜的多維積分，此問題可藉由貝氏分析裡的馬可夫鏈蒙地卡羅法解決。本文主要的探討標的，即在於利用馬可夫鏈蒙地卡羅法估計美元/新台幣匯率隨機波動模型參數。除原始模型之外，模型的擴充分為三部分：其一為隱含波動的二階自我回歸模型；其二則為藉由基本模型的修改，檢測匯率市場上的槓桿效果；最後，我們嘗試藉由加入scale mixture的方式以驗證金融時序資料中常見的厚尾分配。

本篇論文將厚尾分配（Heavy-Tailed Distribution）應用在財務及保險精算上。本研究主要有三個部分：第一部份是用厚尾分配來重新建構Lee-Carter模型（1992），發現改良後的Lee-Carter模型其配適與預測效果都較準確。第二部分是將厚尾分配建構於具有世代因子（Cohort Factor）的Renshaw and Haberman模型（2006）中，其配適及預測效果皆有顯著改善，此外，針對英格蘭及威爾斯（England and Wales）訂價長壽交換（Longevity Swaps），結果顯示此模型可以支付較少的長壽交換之保費以及避免低估損失準備金。第三部分是財務上的應用，利用Schmidt等人（2006）提出的多元仿射廣義雙曲線分配（Multivariate Affine Generalized Hyperbolic Distributions; MAGH）於Boyle等人（2003）提出的低偏差網狀法（Low Discrepancy Mesh; LDM）來定價多維度的百慕達選擇權。理論上，LDM法的數值會高於Longstaff and Schwartz（2001）提出的最小平方法（Least Square Method; LSM）的數值，而數值分析結果皆一致顯示此性質，藉由此特性，我們可知道多維度之百慕達選擇權的真值落於此範圍之間。 / The thesis focus on the application of heavy-tailed distributions in finance and actuarial science. We provide three applications in this thesis. The first application is that we refine the Lee-Carter model (1992) with heavy-tailed distributions. The results show that the Lee-Carter model with heavy-tailed distributions provide better fitting and prediction. The second application is that we also model the error term of Renshaw and Haberman model (2006) using heavy-tailed distributions and provide an iterative fitting algorithm to generate maximum likelihood estimates under the Cox regression model. Using the RH model with non-Gaussian innovations can pay lower premiums of longevity swaps and avoid the underestimation of loss reserves for England and Wales. The third application is that we use multivariate affine generalized hyperbolic (MAGH) distributions introduced by Schmidt et al. (2006) and low discrepancy mesh (LDM) method introduced by Boyle et al. (2003), to show how to price multidimensional Bermudan derivatives. In addition, the LDM estimates are higher than the corresponding estimates from the Least Square Method (LSM) of Longstaff and Schwartz (2001). This is consistent with the property that the LDM estimate is high bias while the LSM estimate is low bias. This property also ensures that the true option value will lie between these two bounds.