Bibliography: p. 145-146. / xiv, 416 p. ; 30 cm. / Title page, contents and abstract only. The complete thesis in print form is available from the University Library. / Thesis (Ph.D.)--University of Adelaide, Dept. of Pure Mathematics, 1996

Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με τους υπερβατικού αριθμούς και τα πρώτα αποτελέσματα αυτών. Αρχικά θα ασχοληθούμε με την απόδειξη της ύπαρξης τέτοιων αριθμών που έγινε από τον Liouville προσεγγίζοντας αλγεβρικούς αριθμούς με την βοήθεια ρητών αριθμών.Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με την μέθοδο Fourier την οποία γενίκευσε ο Hermite το 1873 για να καταλήξει στην υπερβατικότητα του e.Η μέθοδος του Hermite κατάλληλα τροποποιημένη θα επιτρέψει στον Lindemann το 1882 να αποδείξει την υπερβατικότητα του π.Θα παρουσιάσουμε τις αποδείξεις των θεωρημάτων Hermite και Lindemannστην συντομευμένη μορφή που πήραν από τους Hurwitz kai Niven. / -

Cette thèse comprend deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous développons une approche fondée sur la théorie des formes de Jacobi dont l'indice est un réseau pour classifier les formes modulaires réflexives sur des réseaux de niveau arbitraire. Les formes modulaires réflexives ont des applications en géométrie algébrique, en algèbre de Lie et en arithmétique. La classification des formes modulaires réflexives est un problème ouvert et a été étudiée par Borcherds, Gritsenko, Nikulin, Scheithauer et Ma depuis 1998. Dans cette partie, nous établissons de nouvelles conditions nécessaires à l'existence d'une forme modulaire réflexive. Nous prouvons la non-existence de formes modulaires réflexives et de formes modulaires 2-réflexives sur des réseaux de grand rang. Nous donnons également une classification complète des formes modulaires 2-réflexives sur des réseaux contenant deux plans hyperboliques.La deuxième partie est consacrée à l’étude des formes de Jacobi de $W(E_8)$-invariantes. Ce type de formes de Jacobi a une signification dans les variétés de Frobenius, la théorie de Gromov-Witten et la théorie des cordes. En 1992, Wirthm\"{u}ller a prouvé que l’espace des formes de Jacobi pour tout système de racines irréductible excepté $E_8$ est une algèbre polynomiale. Très peu de choses sont connues dans le cas de $E_8$. Dans cette partie, nous montrons que l'anneau bigradué des formes de Jacobi $W(E_8)$-invariantes n'est pas une algèbre polynomiale et prouvons que chacune de ces formes de Jacobi peut être exprimée uniquement sous la forme d'un polynôme en neuf formes de Jacobi algébriquement indépendantes introduites par Sakai avec des coefficients méromorphes $\SL_2(\ZZ)$-modulaires. Ce dernier résultat implique que, à indice fixé, l’espace des formes de Jacobi $W(E_8)$-invariantes est un module libre sur l’anneau des formes $\SL_2(\ZZ)$-modulaires et que le nombre de générateurs peut être calculé via une série génératrice. Nous déterminons et construisons tous les générateurs pour des indices petits. Ces résultats étendent un théorème de type de Chevalley au cas du réseau $E_8$. / This thesis consists of two independent parts. In the first part we develop an approach based on the theory of Jacobi forms of lattice index to classify reflective modular forms on lattices of arbitrary level. Reflective modular forms have applications in algebraic geometry, Lie algebra and arithmetic. The classification of reflective modular forms is an open problem and has been investigated by Borcherds, Gritsenko, Nikulin, Scheithauer and Ma since 1998. In this part, we establish new necessary conditions for the existence of a reflective modular form. We prove non-existence of reflective modular forms and 2-reflective modular forms on lattices of large rank. We also give a complete classification of 2-reflective modular forms on lattices containing two hyperbolic planes. The second part is devoted to the study of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms. This type of Jacobi forms has significance in Frobenius manifolds, Gromov--Witten theory and string theory. In 1992, Wirthm\"{u}ller proved that the space of Jacobi forms for any irreducible root system not of type $E_8$ is a polynomial algebra. But very little has been known about the case of $E_8$. In this paper we show that the bigraded ring of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms is not a polynomial algebra and prove that every such Jacobi form can be expressed uniquely as a polynomial in nine algebraically independent Jacobi forms introduced by Sakai with coefficients which are meromorphic $\SL_2(\ZZ)$ modular forms. The latter result implies that the space of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms of fixed index is a free module over the ring of $\SL_2(\ZZ)$ modular forms and that the number of generators can be calculated by a generating series. We determine and construct all generators of small index. These results give a proper extension of the Chevalley type theorem to the case of $E_8$.

Bibliography : leaves 184-188. / vi, 188 leaves ; 30 cm. / Title page, contents and abstract only. The complete thesis in print form is available from the University Library. / Thesis (Ph.)--University of Adelaide, Dept. of Pure Mathematics, 1994

Το αντικείμενο αυτής της εργασίας είναι η μελέτη κάποιων κλάσεων καθολικών συναρτήσεων. Οι κλάσεις αυτές περιέχουν συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι οποίες πραγματοποιούν εντυπωσιακές προσεγγίσεις πάνω σε συμπαγή υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου. Πιο συγκεκριμένα, θα ασχοληθούμε με δύο κλάσεις καθολικών σειρών Taylor, και με μία κλάση καθολικών συναρτήσεων ως προς τις παραγώγους. Καθολική σειρά Taylor, με την έννοια του Β. Νεστορίδη, ονομάζουμε μία συνάρτηση f , ολόμορφη σε κάποιο ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ 􀀀 , η οποία με τη βοήθεια των μερικών αθροισμάτων του αναπτύγματος Taylor γύρω από ένα κέντρο ζ∈Ω, προσεγγίζει όλα τα πολυώνυμα ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ωc , με συνεκτικό συμπλήρωμα. Αυτή την κλάση συναρτήσεων την συμβολίζουμε με U(Ω,ζ). Επιπλέον υπάρχει η ασθενέστερη κλάση 1 U (Ω,ζ) , των καθολικών σειρών Taylor με την έννοια του Luh, η οποία περιέχει συναρτήσεις που πραγματοποιούν του ίδιου τύπου προσεγγίσεις, αλλά μόνο σε συμπαγή υποσύνολα του c Ω . Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε κάποια γενικά αποτελέσματα, που είναι προαπαιτούμενα για ότι θα ακολουθήσει. Πιο συγκεκριμένα, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το κλασσικό θεώρημα Baire που ισχύει σε πλήρεις χώρους καθώς και κάποια τοπολογικά λήμματα που ισχύουν στο μιγαδικό επίπεδο. Το πρώτο λήμμα είναι ένα κλασσικό αποτέλεσμα που μας εξασφαλίζει την ύπαρξη εξαντλούσας ακολουθίας συμπαγών συνόλων ενός ανοιχτού υποσυνόλου του 􀀀 , με κατάλληλες ιδιότητες. Το δεύτερο λήμμα είναι ένα πιο ειδικό και τεχνικό αποτέλεσμα, οφείλεται στον Β.Νεστορίδη και θεωρείται σημαντικό βήμα στην μελέτη των καθολικών σειρών Taylor. Επίσης, αναφέρουμε τα γνωστά προσεγγιστικά θεωρήματα των Runge και Mergelyan με την βοήθεια των οποίων, μπορούμε να μελετάμε μόνο τα πολυώνυμα και να έχουμε αποτελέσματα που ισχύουν σε γενικότερες συναρτήσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του Β. Νεστορίδη, ότι η κλάση U(Ω,ζ) είναι Gδ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω), με την τοπολογία που αναφέραμε παραπάνω. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό, διότι μας αποκαλύπτει ότι με μερικά αθροίσματα αναπτύγματος της ίδιας συνάρτησης, μπορούμε να προσεγγίσουμε όλα τα πολυώνυμα πάνω σε μια πολύ μεγάλη κλάση συμπαγών υποσυνόλων. Στο κεφάλαιο 3, θα παρουσιάσουμε την απόδειξη ότι η κλάση (Ω) der U είναι Gδ και πυκνό υποσύνολο στο Η(Ω). Όπως το παραπάνω αποτέλεσμα, έτσι και αυτό έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, αφού μας εξασφαλίζει την ύπαρξη πολλών συναρτήσεων στην κλάση (Ω) der U . Το τελευταίο κεφάλαιο αποτελεί το κύριο μέρος της παρούσας εργασίας. Βασικός στόχος μας είναι να αποδείξουμε την ύπαρξη 1-1 συναρτήσεων στην τομή των κλάσεων 1( , ) ( ) der UΩζ IU Ω (βλ.[5]). Σημειώνουμε ότι για αυτό το αποτέλεσμα πρέπει το Ω να είναι ειδικότερα χωρίο Jordan. Στην 3 βιβλιογραφία έχει αποδειχτεί ότι η κλάση U(D,0) δεν περιέχει 1-1 συναρτήσεις, και μάλιστα είναι ξένη με την κλάση Nevanlinna οπότε δεν περιμένουμε από τις συναρτήσεις αυτές να έχουν καλές ιδιότητες (βλ.[14]). Αντίθετα το αποτέλεσμα που παρουσιάζουμε υποδηλώνει ότι το φαινόμενο αυτό δεν εμφανίζεται στις υπόλοιπες δύο κλάσεις καθολικών συναρτήσεων και δείχνει πόσο διαφορετική είναι η κλάση U(Ω,ζ) από την κλάση U1(Ω,ζ ). / -

Dans cette thèse nous étudions des sommes exponentielles et des intégrales p-adiques, en utilisant la théorie des modèles et la géométrie. La première partie traite des sommes exponentielles dans des corps P-minimaux. La deuxième partie examine le comportement asymptotique des sommes exponentielles sur les corps p-adiques. Dans la première partie nous commençons par démontrer une théorème de décomposition cellulaire pour tous les corps P-minimaux, c.-à-d. indépendamment de l’existence des fonctions de Skolem définissables. En l’absence de ces fonctions nous introduisons les cellules en grappe régulières, inspirés par la notion classique de cellule p-adique de Denef. Notre décomposition cellulaire utilise les cellules classiques et les cellules en grappe régulières. Ensuite nous étendons la notion de fonction constructible exponentielle des structures semi-algébriques et sous-analytiques à tous les corps P-minimaux. Pour cela nous ajoutons des sommes exponentielles aux algèbres des fonctions constructibles. En utilisant notre décomposition cellulaire, nous démontrons que les fonctions constructibles exponentielles sont stables dans le contexte d’intégration. Cela signifie que l’intégration d’une fonction constructible exponentielle sur certaines de ses variables produit une fonction constructible exponentielle dans les autres variables. Dans la deuxième partie nous démontrons les conjectures d’Igusa, Denef-Sperber et Cluckers-Veys sur le comportement asymptotique des sommes exponentielles pour les polynômes dont le seuil log-canonique ne dépasse pas un demi. Nous apportons deux démonstrations ; l’une utilise l’intégration motivique et l’autre les fonctions zêtas d’Igusa. / In this thesis we study p-adic exponential sums and integrals using ideas from model theory and geometry. The first part of this thesis deals with exponential sums in P-minimal fields. The second part discusses estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums over p-adic fields. Our work on P-minimal fields starts with the proof of a cell decomposition theorem that holds in all P-minimal fields, i.e., independently of the existence of definable Skolem functions. For P-minimal fields that lack these functions, we introduce the notion of regular clustered cells. This notion is close to the classical notion of p-adic cells, that was introduced by Denef. Our cell decomposition uses both classical cells and regular clustered cells. Next, we extend the notion of exponential-constructible functions, already defined in the semi-algebraic and subanalytic setting, to all P-minimal fields. We do this by enlarging the algebras of constructible functions with exponential sums. Using our cell decomposition theorem we prove that exponential-constructible functions are stable under integration. This means that the act of integrating an exponential-constructible function over some of its variables produces an exponential-constructible function in the other variables. In our work on estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums we prove the Igusa, Denef-Sperber and Cluckers-Veys conjectures for polynomials with log-canonical threshold at most one half. We give two different proofs, one using motivic integration, and the other one using the Igusa zeta functions.

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει στόχο τη μελέτη της συνάρτησης Ζήτα του Riemann μέσω της Μιγαδικής ανάλυσης δηλαδή ως μία επέκταση αυτής από την ευθεία των πραγματικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο. Η σύνδεση της συνάρτησης αυτής με τους πρώτους αριθμούς, η διάσημη υπόθεση Riemann, η συναρτησιακή εξίσωση, η αναλυτικότητά της εκτός σημείου είναι μερικά αποτελέσματα της μελέτης. Το αρχικό βήμα της εργασίας πριν από την μελέτη της συνάρτησης Ζήτα είναι μια εκτενής αναφορά στην συνάρτηση Γάμμα ως επεκτεινόμενη στο Μιγαδικό επίπεδο, την αναλυτικότητά της και κάποιων βασικών ιδιοτήτων της. Κάτι τέτοιο ήταν αναγκαίο, διότι η συνάρτηση Γάμμα αποτελεί ένα εργαλείο για τη μελέτη της συνάρτησης Ζήτα. / --

Au cours de cette thèse nous nous intéressons à des orthogonalités asymptotiques (au sens ou le produit scalaire dans le tore discret de taille N tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini) entre certaines fonctions liées aux blocs des chiffres des entiers et la fonction de Möbius (ainsi qu’avec la fonction de von Mangoldt). Ces travaux prolongent ceux de Mauduit et Rivat et répondent partiellement à une question de Kalai posée en 2012. Au cours du Chapitre 1 nous établissons ces estimations asymptotiques dans le cas où la fonction étudiée est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de chiffres consécutifs ou espacés de taille k fixé dans l’écriture de n en base q. Nous donnons aussi une grande classe de polynômes agissant sur les blocs de chiffres qui nous fournissent un théorème des nombres premiers et une orthogonalité asymptotique avec la fonction de Möbius. Dans le Chapitre 2, nous obtenons un principe d’aléa de Möbius avec dans le cas où notre fonction est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de ‘1’ consécutifs dans l’écriture de n en base 2, où la taille du bloc est une application croissante tendant vers l’infini, mais avec une certaine restriction de croissance. Dans le cas extrémal, que nous ne pouvons pas traiter, ce problème est lié à l’estimation du nombre de nombres premiers dans la suite des nombres de Mersenne. Dans le Chapitre 3, nous donnons des estimations dans le cas où la fonction est l’exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de k ‘1’ dans l’écriture de n en base 2 où k est grand par rapport à log N. Une conséquence du Chapitre 3 est que les résultats du Chapitre 1 sont quasi optimaux. / Throughout this thesis, we are interested in asymptotic orthogonality (in the sense that the scale product of the discrete torus of length N tends to zero as N tend to infinity) between some functions related to the blocks of digits of integers and the Möbius function (and also the von Mangoldt function). Our work extends previous results of Mauduit and Rivat, and gives a partial answer to a question posed by Kalai in 2012. Chapter 1 provides estimates in the case of the function is the exponential of a function taking values on the blocks (with and without wildcards) of length k (k fixed) in the digital expansion of n in base q. We also give a large class of polynomials acting on the digital blocks that allow to get a prime number theorem and asymptotic orthogonality with the Möbius function. In Chapter 2, we get an asymptotic formula in the case of our function is the exponential of the function which counts blocks of consecutive ‘1’s in the expansion of n in base 2, where the length of the block is an increasing function that tends (slowly) to infinity. In the extremal case, which we cannot handle, this problem is connected to estimating the number of primes in the sequences of Mersenne numbers. In Chapter 3, we provides estimates on the case of the function is the exponential of a function which count the blocks of k ‘1’s in the expansion of n in base 2 where k is large with respect to log N. A consequence of Chapter 3 is that the results of Chapter 1 are quasi-optimal.

Cette thèse, constitué en trois parties, est consacrée à l'étudie des valeurs spéciales de fonctions L automorphes. La première partie contient un survol rapide de la théorie des formes modulaires et des fonctions L de puissance symétrique associées qui est nécessaire dans la suite. Dans la seconde partie, nous nous concentrons sur les valeurs centrales, par l'étude des moments intégraux dans petit intervalle, pour les fonctions L automorphes. On prouve la conjecture de Conrey et al. et donne l'ordre exact pour les moments sous l'hypothèse de Riemann généralisée. La troisième partie présente des travaux sur les valeurs en s=1 de la fonction L de puissance symétrique en l'aspect de niveau-poids. On généralise et/ou améliore les résultats sur l'encadrement de la fonction L de puissance symétrique, la conjecture de Montgomery-Vaughan et également la fonction de répartition. Une application des valeurs extrêmes sur la distribution des coefficients des formes primitives concernant la conjecture de Sato-Tate est donnée / Special values of automorphic L-functions are considered in this work in three parts. In the first part, elementary information about automorphic forms and associated symmetric power L-functions, which will be very useful in the following parts, is introduced. In the second part, we study the central values, in the form of higher moment in short interval, of automorphic L-functions and give a proof for the conjecture of Conrey et al. to get the sharp bound for the moment under Generalized Riemann Hypothesis. In the last part, values of automorphic L-functions at s=1 are considered in level-weight aspect. We generalize and/or improve related early results about the bounds of values at s=1, the Montgomery-Vaughan's conjecture and distribution functions. As an application of our results on extreme values, the distribution of coefficients of primitive forms concerning the Sato-Tate conjecture is studied

Στη μεταπτυχιακή αυτή διπλωματική εργασία, αρχικά εισάγουμε τις έννοιες των μετρικών πολλαπλοτήτων σχεδόν επαφής και των μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής, δίνοντας και μερικά παραδείγματα από κάθε κατηγορία. Στη συνέχεια, αναφέρουμε και αποδεικνύουμε λεπτομερώς μερικές βασικές γεωμετρικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις μετρικές πολλαπλότητες επαφής και, οι οποίες, εμπλέκουν τον τανυστή καμπυλό- τητας. Τέλος, δίνεται έμφαση σε ειδικές κατηγορίες μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής που παρουσιάζουν ιδιαίτερο γεωμετρικό ενδιαφέρον και, κυρίως, είναι: πολλαπλότητες K- επαφής, πολλαπλότητες του Sasaki, (κ, μ) – πολλαπλότητες επαφής και μετρικές πολλαπλότητες Η – επαφής. / In this Master Thesis, we initially introduce the notions of almost contact metric manifolds and contact metric manifolds, giving some examples from each category. In sequel, we mention and prove explicitly some basic geometric properties of contact metric manifolds, which involve the curvature tensor. Summarizing, we focus on special classes of contact metric manifolds which have particular geometric interest and, mainly, are: K – contact manifolds, Sasakian manifolds, (κ, μ) – contact manifolds and H – contact metric manifolds.