L'objet principal de cette thèse est de développer des estimateurs adaptatifs en statistique pour données fonctionnelles. Dans une première partie, nous nous intéressons au modèle linéaire fonctionnel et nous définissons un critère de sélection de la dimension pour des estimateurs par projection définis sur des bases fixe ou aléatoire. Les estimateurs obtenus vérifient une inégalité de type oracle et atteignent la vitesse de convergence minimax pour le risque lié à l'erreur de prédiction. Pour les estimateurs définis sur une collection de modèles aléatoires, des outils de théorie de la perturbation ont été utilisés pour contrôler les projecteurs aléatoires de manière non-asymptotique. D'un point de vue numérique, cette méthode de sélection de la dimension est plus rapide et plus stable que les méthodes usuelles de validation croisée. Dans une seconde partie, nous proposons un critère de sélection de fenêtre inspiré des travaux de Goldenshluger et Lepski, pour des estimateurs à noyau de la fonction de répartition conditionnelle lorsque la covariable est fonctionnelle. Le risque de l'estimateur obtenu est majoré de manière non-asymptotique. Des bornes inférieures sont prouvées ce qui nous permet d'établir que notre estimateur atteint la vitesse de convergence minimax, à une perte logarithmique près. Dans une dernière partie, nous proposons une extension au cadre fonctionnel de la méthodologie des surfaces de réponse, très utilisée dans l'industrie. Ce travail est motivé par une application à la sûreté nucléaire. / The main purpose of this thesis is to develop adaptive estimators for functional data.In the first part, we focus on the functional linear model and we propose a dimension selection device for projection estimators defined on both fixed and data-driven bases. The prediction error of the resulting estimators satisfies an oracle-type inequality and reaches the minimax rate of convergence. For the estimator defined on a data-driven approximation space, tools of perturbation theory are used to solve the problems related to the random nature of the collection of models. From a numerical point of view, this method of dimension selection is faster and more stable than the usual methods of cross validation.In a second part, we consider the problem of bandwidth selection for kernel estimators of the conditional cumulative distribution function when the covariate is functional. The method is inspired by the work of Goldenshluger and Lepski. The risk of the estimator is non-asymptotically upper-bounded. We also prove lower-bounds and establish that our estimator reaches the minimax convergence rate, up to an extra logarithmic term.In the last part, we propose an extension to a functional context of the response surface methodology, widely used in the industry. This work is motivated by an application to nuclear safety.

Das Hauptanliegen dieser Arbeit ist der asymptotische Vergleich verschiedener nichtparametrischer adaptiver Schätzer des Mittelwertvektors in einer Regressionssituation mit wachsender Anzahl von Wiederholungen an festen Versuchspunkten. Da die adaptiven Schätzer nicht mehr linear in den Beobachtungen sind, wird ihre mittleren quadratischen Fehler durch ihre Risiken höherer Ordnung approximiert und dadurch wird ein Vergleich unter Annahme normalverteilter Beobachtungsfehlern ermöglicht. Es wird gezeigt, daß der Plug-In Schätzer des unbekannten Mittelwertvektors in dritter Ordnung besser ist als die anderen adaptiven Schätzer und, daß die mit Hilfe der Full Cross-validation Idee konstruierte Schätzer des Mittelwertvektors besser ist als die Schätzung mit Cross-validation, falls die unbekannte Regressionsfunktion "unglatt" ist. In speziellen Situationen ist die Full Cross-validation Adaptation besser als die Adaptationen mit Hilfe der in der Arbeit betrachteten "automatischen" Kriterien. Es wird außerdem einen Schätzer des Mittelwertvektors mit einer Plug-In Idee konstruiert, dessen Risiken zweiter Ordnung kleiner sind als die Risiken zweiter Ordnung der anderen adaptiven Schätzer. Wenn aber eine Vermutung vorliegt, daß die unbekannte Regressionsfunktion "sehr glatt" ist, wird bewiesen daß der Projektionsschätzer den kleinsten mittleren quadratischen Fehler liefert. / The main objective of this thesis is the asymptotic comparison of various nonparametric adaptive estimators of the mean vector in a regression situation with increasing number of replications at fixed design points. Since the adaptive estimators are no longer linear in the observations, one approximates their mean square errors by their heigher order risks and a comparison under the assumption of normal distributed errors of the observations will be enabled. It is shown that the Plug-In estimators of the unknown mean vector is better in third order than the others adaptive estimators and that the estimator defined with the full cross-validation idea is better than the estimator with cross-validation, if the unknown regression function is "non smooth". In some special situations, the full cross-validation adaptation will be better than the adaptations using a minimizer of the "automatic" criteria considered in this thesis. Additionally, an estimator of the mean vector is proposed, whose second order risk is smaller than the second order risks of the other adaptive estimators. If however one presumes that the unknown regression function is "very smooth", then it is shown that the projection estimator gives the smallest mean square error.