Devido aos riscos de contaminação dos recursos naturais solo e água, ao alto custo, ao tempo e ao esforço humano nas investigações de campo, os modelos matemáticos, aliados às técnicas numéricas e aos avanços computacionais, constituem uma ferramenta importante na previsão do deslocamento de solutos, contribuindo assim, para o controle de alterações ambientais. No Brasil, a modelação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada é voltada, quase que exclusivamente, aos problemas relacionados às atividades agrícolas. Entretanto, tão importante quanto a problemática dos produtos químicos nas atividades agrícolas é a questão de poluição e contaminação do solo e da água por chorume, gerado pelos resíduos sólidos domiciliares. Neste trabalho, é desenvolvido e validado um modelo computacional unidimensional para simulação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada do solo. O modelo matemático é dado pela equação diferencial parcial não-linear de Richards, que rege o movimento de água no solo, e a equação diferencial parcial linear de advecção-dispersão, do transporte de solutos, acompanhadas das condições iniciais e de contorno. A equação de Richards é dada em função do potencial matricial da água e a equação de transporte de solutos estima a evolução temporal da concentração de solutos no perfil do solo. Devido à dificuldade de se obter soluções analíticas destas equações, são resolvidas numericamente pelo método de elementos finitos. As referidas equações são resolvidas utilizando-se malhas uniformes inicialmente. Com a finalidade de obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, é empregada a adaptatividade com refinamento h na malha de elementos finitos. A função interpolação polinomial utilizada é de grau 2 ou maior que garante a conservação de massa. Na equação de Richards, a derivada temporal é aproximada por um quociente de diferença finita e é aplicado o esquema de Euler explícito e na equação de advecção-dispersão, é aproximada por um quociente de diferença finita, aplicando-se o esquema de Euler implícito, devido à linearidade da equação. O sistema operacional é o Linux Ubuntu 32 bits, o ambiente de programação é o PZ, escrito em linguagem de programação C++. Na validação do modelo, utilizam-se dados disponíveis na literatura. Os resultados são comparados, utilizando-se malhas uniformes e malhas adaptativas com refinamento h. Usando-se as malhas uniformes para o problema de Richards e de transporte de potássio, o tempo de execução é de 22 minutos e a memória utilizada de 6164 Kb. Com as malhas adaptadas, o tempo de execução é de 3 minutos e 27 segundos, consumindo 5876 Kb de memória. Houve, portanto, uma redução de 84,32% no tempo de execução, usando-se malhas adaptativas. A utilização da função interpolação polinomial de grau 2 ou maior e o refinamento h, permitem uma boa concordância do modelo na comparação com soluções disponíveis na literatura. / Due to the risks of contamination of soil and water resources, the high cost, time and human effort in the field investigations, the mathematical models, combined with numerical techniques and computational advances, are important tools in forecasting the movement of solutes thereby contributing to the control of environmental alteration. In Brazil, modeling of flow and solute transport in the unsaturated zone is focused, almost exclusively, on problems related to agricultural activities. However, as important as the problematical of chemicals products in agricultural activities is the issue of pollution and contamination of soil and water by leachate, generated by municipal solid wastes. In this work, an one-dimensional computational model for simulation of flow and solute transport in the unsaturated soil has been developed and validated. The mathematical model is given by the Richards\'s non-linear partial differential equation, which determines the movement of water in the soil, and the advection-dispersion linear partial differential equation, of the solute transport, together with initial and boundary conditions. The Richards equation is a function of the water pressure head and the solute transport equation estimate the temporal evolution of the solutes concentration in the soil profile. Due to the difficulty of obtaining analytical solutions of these equations, they are solved numerically using the finite element method. The governing equations are solved using initially a uniform mesh. In order to obtain more efficient simulations with low computational cost, adaptativity with h refinement on the finite element mesh is implemented. The interpolation function is of degree two or higher, assuring mass conservation. In Richards\' equation, the temporal derivative is approximated by Euler explicit finite difference. For the advection-dispersion equation, due to the linearity of the equation, an implicit finite difference scheme is used. The code is written in the programming language C++ based on the programming environment PZ using operating system Linux Ubuntu 32 bit. Model results are validated in comparison with data available in the literature. The results are evaluated using uniform meshes and with h refinement adaptive mesh. Using the uniform meshes for the problem of Richards and transport of potassium, the running time is 22 minutes and 6164 Kb of memory is used. With the adapted meshes, the execution time is 3 minutes and 27 seconds, consuming 5,876 Kb of memory. Therefore there was a reduction of 84.32% in execution time, using adaptive meshes. The interpolation function with degree two or higher and the h refinement, with reduction of the computation time, showed a good agreement in comparison with the literature.

This thesis focuses on solute transport upscaling. Upscaling of solute transport is usually required to obtain computationally efficient numerical models in many field applications such as, remediation of aquifers, environmental risk to groundwater resources or the design of underground repositories of nuclear waste. The non-Fickian behavior observed in the field, and manifested by peaked concentration profiles with pronounced tailing, has questioned the use of the classical advection-dispersion equation to simulate solute transport at field scale using numerical models with discretizations that cannot capture the field heterogeneity. In this context, we have investigated the use of the advection-dispersion equation with mass transfer as a tool for upscaling solute transport in a general numerical modeling framework. Solute transport by groundwater is very much affected by the presence of high and low water velocity zones, where the contaminant can be channelized or stagnant. These contrasting water velocity zones disappear in the upscaled model as soon as the scale of discretization is larger that the size of these zones. We propose, for the modeling solute transport at large scales, a phenomenological model based on the concept of memory functions, which are used to represent the unresolved processes taking place within each homogenized block in the numerical models. We propose a new method to estimate equivalent blocks, for which transport and mass transfer parameters have to be provided. The new upscaling technique consists in replacing each heterogeneous block by a homogeneous one in which the parameters associated to a memory functions are used to represent the unresolved mass exchange between highly mobile and less mobile zones occurring within the block. Flow upscaling is based on the Simple Laplacian with skin, whereas transport upscaling is based in the estimation of macrodispersion and mass transfer parameters as a result of the interpretation of the r / Llerar Meza, G. (2009). Upscaling nonreactive solute transport [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5848 / Palancia

Cette thèse porte sur l’étude de quelques questions liées à l’identifiabilité et l’identification d’un problème inverse non-linéaire de source. Il s’agit de l’identification d’une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d’une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d’identifier la source recherchée d’une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d’apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l’état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d’identifiabilité et une méthode d’identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l’unique solution d’un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l’identification de sa fonction de débit en la résolution d’un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d’une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d’identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d’émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons. / The thesis deals with the two main issues identifiability and identification related to a nonlinear inverse source problem. This problem consists in the identification of a time-dependent point source occurring in the right hand-side of an advection-dispersion-reaction equation with spatially varying coefficients. Starting from the stationnary case in the one-dimensional model, we derived theoritical results defining the necessary number of sensors and their positions that enable to uniquely determine the sought source. Those results gave us a good visibility on how to proceed in order to obtain similar results for the time-dependent (evolution) case. As far as the two-dimensional evolution model is concerned, using some boundary null controllability results and the records of the generated state on the inflow boundary and its flux on the outflow boundary of the monitored domain, we established a constructive identifiability theorem as well as an identification method that localizes the two coordinates of the sought source position as the unique solution of a nonlinear system of two equations and transforms the identification of its time-dependent intensity function into solving a deconvolution problem. The last part of this thesis highlights the main difficulty encountred in such inverse problems namely the nonidentifiabilityof a source in its abstract form, proposes a method that enables to overcome this difficulty in the particular case where the aim is to identify the time active limit of the involved source. And thus, this last part opens doors on new horizons and prospects.

A equação de advecção-dispersão possui grande importância na engenharia e nas ciências aplicadas. No entanto, como é bem conhecido, a obtenção de uma solução numérica apropriada para essa equação é um problema desafiador tanto para engenheiros como para matemáticos, físicos e outros profissionais que trabalham com a modelagem de fenômenos associados a ela. Muitos métodos numéricos desenvolvidos podem apresentar uma série de inconvenientes, tais como oscilações, dispersão e/ou dissipação numérica e instabilidade, além de serem inapropriados para determinadas condições de contorno. O presente trabalho apresenta e analisa a metodologia DFLD-exp, uma nova abordagem para a obtenção de soluções semi-analíticas da equação de advecção-dispersão, a qual utiliza um tipo particular de diferenças finitas para a discretização espacial juntamente com técnicas de exponencial de matrizes para a resolução temporal. Uma cuidadosa análise numérica mostra que a metodologia resultante é não-oscilatória, essencialmente não-dispersiva e não-dissipativa, e incondicionalmente estável. Resoluções de vários exemplos numéricos, através de um código desenvolvido em linguagem MATLAB, confirmam os resultados teóricos. / The advection-dispersion equation has been very important in engineering and the applied sciences. However, the obtainment of an appropriate numerical solution to that equation has been challenging problem to engineers, mathematicians, physicians and others that work in the modeling of phenomena associate to advection-dispersion equation. Many developed numerical methods may produce a succession of mistakes, just as oscillations, numerical dispersion and/or dissipation, instability and those methods also may be inappropriate to determined boundary conditions. The present work shows and analyses the DFLD-exp methodology, a new way to obtain semi-analytic solutions to advection-dispersion equation, that make use of a particular form of finite differencing to the spatial discretization with techniques of matrix exponential to the time solving. A detailed numerical analysis shows the methodology is non-oscillatory, essentially non-dispersive and non-dissipative, and unconditionally stable. Resolutions of any numerical examples, by a computational code developed in MATLAB language, confirm the theoretical results.

A equação de advecção-dispersão possui grande importância na engenharia e nas ciências aplicadas. No entanto, como é bem conhecido, a obtenção de uma solução numérica apropriada para essa equação é um problema desafiador tanto para engenheiros como para matemáticos, físicos e outros profissionais que trabalham com a modelagem de fenômenos associados a ela. Muitos métodos numéricos desenvolvidos podem apresentar uma série de inconvenientes, tais como oscilações, dispersão e/ou dissipação numérica e instabilidade, além de serem inapropriados para determinadas condições de contorno. O presente trabalho apresenta e analisa a metodologia DFLD-exp, uma nova abordagem para a obtenção de soluções semi-analíticas da equação de advecção-dispersão, a qual utiliza um tipo particular de diferenças finitas para a discretização espacial juntamente com técnicas de exponencial de matrizes para a resolução temporal. Uma cuidadosa análise numérica mostra que a metodologia resultante é não-oscilatória, essencialmente não-dispersiva e não-dissipativa, e incondicionalmente estável. Resoluções de vários exemplos numéricos, através de um código desenvolvido em linguagem MATLAB, confirmam os resultados teóricos. / The advection-dispersion equation has been very important in engineering and the applied sciences. However, the obtainment of an appropriate numerical solution to that equation has been challenging problem to engineers, mathematicians, physicians and others that work in the modeling of phenomena associate to advection-dispersion equation. Many developed numerical methods may produce a succession of mistakes, just as oscillations, numerical dispersion and/or dissipation, instability and those methods also may be inappropriate to determined boundary conditions. The present work shows and analyses the DFLD-exp methodology, a new way to obtain semi-analytic solutions to advection-dispersion equation, that make use of a particular form of finite differencing to the spatial discretization with techniques of matrix exponential to the time solving. A detailed numerical analysis shows the methodology is non-oscillatory, essentially non-dispersive and non-dissipative, and unconditionally stable. Resolutions of any numerical examples, by a computational code developed in MATLAB language, confirm the theoretical results.