Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n’est que récemment qu’ils ont commencé d’intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Les problèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cette thèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes de complémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l’inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, et M, une matrice d’ordre n. L’existence et l’unicité de ce problème est obtenue quand la matrice M est une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complémentarité est la méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d’abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que la méthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuite on caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c’est la classe des matrices qui sont telles que quel que, soit le vecteur q, l’algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deux points. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l’algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pour les P-matrices. Des résultats numériques montrent l’efficacité de cet algorithme et sa convergence polynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéaire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s’agit d’un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l’on rencontre dans le cadre de l’étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D’une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D’autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l’ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l’efficacité de l’algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests / This manuscript deals with numerical methods for linear and nonlinear complementarity problems,and, more specifically, with solving gas phase appearance and disappearance modeled as a complementarity problem. In the first part of this manuscript, we focused on the plain Newton-min method to solve the linear complementarity problem (LCP for short) 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 that can be viewed as a nonsmooth Newton algorithm without globalization technique to solve the system of piecewise linear equations min(x,Mx+q) = 0, which is equivalent to the LCP. When M is an M-matrix of order n, the algorithm was known to converge in at most n iterations. We show that this resultno longer holds when M is a P-matrix of order > 3. On the one hand, we offer counter-examplesshowing that the algorithm may cycle in those cases. P-matrices are interesting since they are thoseensuring the existence and uniqueness of the solution to the LCP for an arbitrary q. Incidentally,convergence occurs for a P-matrix of order 1 or 2. On the other hand, we provide a new algorithmic characterization of P-matricity : we show that a nondegenerate square real matrix M is a P-matrixif and only if, whatever is the real vector q, the Newton-min algorithm does not cycle between twopoints. In order to force the convergence of the Newton-min algorithm with P-matrices, we havederived a new method, which is robust, easy to describe, and simple to implement. It is globallyconvergent and the numerical results reported in this manuscript show that it outperforms a methodof Harker and Pang. In the second part of this manuscript, we consider the modeling of migration of hydrogen produced by the corrosion of the nuclear waste packages in an underground storage including the dissolution of hydrogen. It results in a set of nonlinear partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. We show how to apply a robust and efficient solution strategy, the Newton-min method considered for LCP in the first part, to this geoscience problem and investigates its applicability and efficiency on this difficult problem. The practical interest of this solution technique is corroborated by numerical experiments from the Couplex Gas benchmark proposed by Andra and GNR MoMas. In particular, numerical results show that the Newton-min method is quadratically convergent for these problems

Le travail présenté dans ce manuscrit est consacré à l'élaboration d'un modèle dynamique de la nage pour la commande du futur "Robot Anguille" du projet ROBEA-CNRS du même nom. Dans l'absolu, le calcul des interactions entre un corps déformable et le fluide sur lequel il s'appuie pour se déplacer, est un problème complexe nécessitant l'intégration des équations de Navier-Stokes couplées aux équations non-linéaires de la dynamique du corps soumis à des transformations finies. Poursuivant des objectifs de commande pour la robotique, la solution proposée dans ce travail est basée sur la fusion de deux théories : celle du "corps mince" issue de la mécanique des fluides et celle des "poutres Cosserat" de la mécanique du solide. La première théorie permet de remplacer l'écoulement 3-D autour du poisson par la stratification "tranche par tranche" d'écoulements plans, transverses à l'axe principal du corps de l'animal. Quant à la seconde, elle assimile le poisson à l'assemblage continu de sections rigides modélisant ses vertèbres ou, dans un contexte plus technologique, les plate-formes parallèles de notre robot bio-mimétique. Sur la base de cette modélisation, le travail présenté a pour but d'établir les dynamiques de la tête et des vertèbres du poisson afin d'élaborer in fine un algorithme de simulation numérique basé sur le "formalisme de Newton-Euler" de la robotique, ici étendu aux robots locomoteurs continus. Finalement, le modèle élaboré réalise une généralisation du modèle de Lighthill au cas de la nage tridimensionnelle d'un corps élancé autopropulsé. Outre ce résultat purement analytique, le simulateur qui en résulte nous a permis de mettre au point des allures jamais étudiées jusqu'alors. Qui plus est, il tourne en "temps réel", tout en maintenant un bon niveau de précision (i.e. inférieur à 10%) comparé à la référence basée sur la résolution numérique des équations de Navier-Stokes.

Le travail présenté dans cette thèse est consacré à la modélisation de la dynamique de locomotion des "soft robots", i.e. les systèmes multi-corps mobiles compliants. Ces compliances peuvent être localisées et considérées comme des liaisons passives du système,ou bien introduites par des flexibilités distribuées le long des corps. La dynamique de ces systèmes est modélisée en adoptant une approche Lagrangienne basée sur les outils mathématiques développés par l'école américaine de mécanique géométrique. Du point de vue algorithmique, le calcul de ces modèles dynamiques s'appuie sur un algorithme récursif et efficace de type Newton-Euler, ici étendu aux robots locomoteurs munis d'organes compliants. Poursuivant des objectifs de commande et de simulation rapide pour la robotique, l'algorithme proposé est capable de résoudre la dynamique externe directe ainsi que la dynamique inverse des couples internes. Afin de mettre en pratique l'ensemble de ces outils de modélisation, nous avons pris le vol battant des insectes comme exemple illustratif. Les équations non-linéaires qui régissent les déformations passives de l'aile sont établies en appliquant deux méthodes différentes. La première consiste à séparer le mouvement de l'aile en une composante rigide dite de "repère flottant" et une composante de déformation. Cette dernière est paramétrée dans le repère flottant par la méthode des modes supposés ici appliquée à l'aile vue comme une poutre d'Euler-Bernoulli soumise à la flexion et à la torsion. Quant à la seconde approche, les mouvements de l'aile n'y sont pas séparés mais directement paramétrés par les transformations finies rigides et absolues d'une poutre Cosserat. Cette approche est dite Galiléenne ou "géométriquement exacte" en raison du fait qu'elle ne requiert aucune approximation en dehors des inévitables discrétisations spatiale et temporelle imposées parla résolution numérique de la dynamique du vol. Dans les deux cas,les forces aérodynamiques sont prises en compte via un modèle analytique simplifié de type Dickinson. Les modèles et algorithmes résultants sont appliqués à la conception d'un simulateur du vol, ainsi qu'à la conception d'un prototype d'aile, dans le contexte du projet coopératif (ANR) EVA.

Le travail présenté dans cette thèse est consacré à la modélisation de la dynamique de locomotion des "soft robots", i.e. les systèmes multi-corps mobiles compliants. Ces compliances peuvent être localisées et considérées comme des liaisons passives du système,ou bien introduites par des flexibilités distribuées le long des corps. La dynamique de ces systèmes est modélisée en adoptant une approche Lagrangienne basée sur les outils mathématiques développés par l’école américaine de mécanique géométrique. Du point de vue algorithmique, le calcul de ces modèles dynamiques s’appuie sur un algorithme récursif et efficace de type Newton-Euler, ici étendu aux robots locomoteurs munis d’organes compliants. Poursuivant des objectifs de commande et de simulation rapide pour la robotique, l’algorithme proposé est capable de résoudre la dynamique externe directe ainsi que la dynamique inverse des couples internes. Afin de mettre en pratique l’ensemble de ces outils de modélisation, nous avons pris le vol battant des insectes comme exemple illustratif. Les équations non-linéaires qui régissent les déformations passives de l’aile sont établies en appliquant deux méthodes différentes. La première consiste à séparer le mouvement de l’aile en une composante rigide dite de "repère flottant" et une composante de déformation. Cette dernière est paramétrée dans le repère flottant par la méthode des modes supposés ici appliquée à l’aile vue comme une poutre d’Euler-Bernoulli soumise à la flexion et à la torsion. Quant à la seconde approche, les mouvements de l’aile n’y sont pas séparés mais directement paramétrés par les transformations finies rigides et absolues d’une poutre Cosserat. Cette approche est dite Galiléenne ou "géométriquement exacte" en raison du fait qu’elle ne requiert aucune approximation en dehors des inévitables discrétisations spatiale et temporelle imposées parla résolution numérique de la dynamique du vol. Dans les deux cas,les forces aérodynamiques sont prises en compte via un modèle analytique simplifié de type Dickinson. Les modèles et algorithmes résultants sont appliqués à la conception d’un simulateur du vol, ainsi qu’à la conception d’un prototype d’aile, dans le contexte du projet coopératif (ANR) EVA. / The objective of the present work is to model the locomotion dynamics of "soft robots", i.e. compliant mobile multi-body systems. These compliances can be either localized and treated as passive joints of the system, or introduced by distributed flexibilities along the bodies. The dynamics of these systems is modeled in a Lagrangian approach based on the mathematical tools developed by the American school of geometric mechanics. From the algorithmic viewpoint, the computation of these dynamic models is based on a recursive and efficient Newton-Euler algorithm which is extended here to the case of robots equipped with compliant organs. The proposed algorithm is compatible with control, fast simulation and real time robotic applications. It is able to solve the direct external dynamics as well as the inverse internal torque dynamics. The modeling tools and algorithms developed in this thesis are applied to one of the most advanced cases of compliante locomotion i.e. the flapping flight MAVs bio-inspired by insects. The nonlinear equations governing the passive deformations of the wing are derived using two different methods. In the first method, we separate the wing movement into a rigid component (which corresponds to the movements of a "floating frame"), and a deformation component. The latter one is parameterized in the floating frame using the assumed modes approach where the wing is considered as an Euler-Bernoulli beam undergoing flexion and torsion deformations. Regarding the second method, the wing movements are no longer separated but directly parameterize dusing rigid finite absolute transformations of a Cosserat beam. This method is called Galilean or "geometrically exact" because it does not require any approximation apart from the unavoidable spatial and temporal discretizations imposed by numerical resolution of the flight dynamics. In both cases, the aerodynamic forces are taken into account through a simplified analytical model. The resulting models and algorithms are used in the context of the collaborative project (ANR) EVA to develop a flight simulator, and to design wing prototype.

Nous développons dans ce travail de thèse un outil de simulation numérique pour les matériaux à changement de phase (MCP), en tenant compte du phénomène de convection naturelle dans la phase liquide, pour des configurations en deux et trois dimensions. Les équations de Navier-Stokes incompressible avec le modèle de Boussinesq pour la prise en compte des forces de flottabilité liées aux effets thermiques, couplées avec une formulation de l’équation d’énergie suivant la méthode d’enthalpie, sont résolues par une méthode d’éléments finis adaptatifs. Une approche mono-domaine, consistant à résoudre les mêmes systèmes d’équations dans les phases solide et liquide, est utilisée. La vitesse est ramenée à zéro dans la phase solide, en introduisant un terme de pénalisation dans l’équation de quantité de mouvement, suivant le modèle de Carman-Kozeny, consistant à freiner la vitesse à travers un milieu poreux. Une discrétisation spatiale des équations utilisant des éléments finis de Taylor-Hood, éléments finis P2 pour la vitesse et éléments finis P1 pour la pression, est appliquée, avec un schéma d’intégration en temps implicite d’ordre deux (GEAR). Le système d’équations non-linéaires est résolu par un algorithme de Newton. Les méthodes numériques sont implémentées avec le logiciel libre FreeFem++ (www.freefem.org), disponible pour tout système d’exploitation. Les programmes sont distribués sous forme de logiciel libre, sous la forme d’une forme de toolbox simple d’utilisation, permettant à l’utilisateur de rajouter d’autres configurations numériques pour des problèmes avecchangement de phase. Nous présentons dans ce manuscrit des cas de validation du code de calcul, en simulant des cas tests bien connus, présentés par ordre de difficulté croissant : convection naturelle de l’air, fusion d’un MCP, le cycle complet fusion-solidification, chauffage par le bas d’un MCP, et enfin, la solidification de l’eau. / In this thesis we develop a numerical simulation tool for computing two and three-dimensional liquid-solid phase-change systems involving natural convection. It consists of solving the incompressible Navier-Stokes equations with Boussinesq approximation for thermal effects combined with an enthalpy-porosity method for the phase-change modeling, using a finite elements method with mesh adaptivity. A single-domain approach is applied by solving the same set of equations over the whole domain. A Carman-Kozeny-type penalty term is added to the momentum equation to bring to zero the velocity in the solid phase through an artificial mushy region. Model equations are discretized using Galerkin triangular finite elements. Piecewise quadratic (P2) finite-elements are used for the velocity and piecewise linear (P1) for the pressure. The coupled system of equations is integrated in time using a second-order Gear scheme. Non-linearities are treated implicitly and the resulting discrete equations are solved using a Newton algorithm. The numerical method is implemented with the finite elements software FreeFem++ (www.freefem.org), available for all existing operating systems. The programs are written and distributed as an easy-to-use open-source toolbox, allowing the user to code new numerical algorithms for similar problems with phase-change. We present several validations, by simulating classical benchmark cases of increasing difficulty: natural convection of air, melting of a phase-change material, a melting-solidification cycle, a basal melting of a phase-change material, and finally, a water freezing case.

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n'est que récemment qu'ils ont commencé d'intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Les problèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cette thèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes de complémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l'inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, et M, une matrice d'ordre n. L'existence et l'unicité de ce problème est obtenue quand la matrice M est une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complémentarité est la méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d'abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que la méthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuite on caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c'est la classe des matrices qui sont telles que quel que, soit le vecteur q, l'algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deux points. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l'algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pour les P-matrices. Des résultats numériques montrent l'efficacité de cet algorithme et sa convergence polynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéaire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s'agit d'un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l'on rencontre dans le cadre de l'étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D'une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D'autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l'ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l'efficacité de l'algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests