Submitted by Fabio Sobreira Campos da Costa (fabio.sobreira@ufpe.br) on 2017-11-28T13:57:48Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Dissertação Wesley.pdf: 5879894 bytes, checksum: c3dc2095f2e7f0de1dc4a882f5448b5f (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-28T13:57:48Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Dissertação Wesley.pdf: 5879894 bytes, checksum: c3dc2095f2e7f0de1dc4a882f5448b5f (MD5) Previous issue date: 2016-12-02 / Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e 3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizando o MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refino mais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constante a ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar o erro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordem do polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. A versão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuem a vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação dos elementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada para construção dos elementos triangulares T6(6 nós), T10(10 nós), T15(15nós) e T21(21 nós) e elementos tetraédricos TE10(10 nós), TE20(20 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagem dos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem do polinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-Adaptativa para solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional do domínio. As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custo computacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grande número de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo a solucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando as integrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional. Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturas foram desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malha inicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) e define a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de gerar os novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida, o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, para posterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplos de validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional das rotinas propostas. Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando matrizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerável redução no tempo de processamento. / This work presents the development of explicit finite element matrices for higher order triangular and tetrahedral elements applied to solution of 2D and 3D elasticity problems. The accuracy of analysis results using the Finite Element Method (FEM) depends on mesh refinement and element quality. The most usual refinement techniques are the adaptive versions h, p, hp and r, in which the h version keeps the order of interpolation functions constant and raises the number of elements to minimize the error. Alternatively, the p version maintains the number of elements constant and raises the order of the polynomial in the interpolation functions for a better approximation of the solution. The hp version is a combination of the two previous approaches and the r version is obtained by modifying node position while maintaining the mesh topology. Triangular and tetrahedral elements were adopted for the present study, since they have the advantage of adapting to the most diverse geometric forms. Lagrange polynomial order is incremented to construct triangular elements T6 (6 nodes), T10 (10 nodes), T15 (15 nodes) and T21 (21 nodes), and tetrahedral elements TE10 (10 nodes), TE20 (20 nodes) and TE35 (35 nodes). Higher order elements provide greater accuracy as the order of the polynomial increases. Therefore, fewer elements are required to solve the problem when compared to the h version, thus reducing the need for additional mesh refinement. Applications using higher order finite elements often require great computational cost, since element matrices are obtained with a large set of numerical integration points, thus increasing the processing time. To solve this problem explicit stiffness matrices have been developed, avoiding numerical integrations and maximizing computational efficiency. Practical applications in a computational code for static and modal analysis of structures were developed using MATLAB software, with the user defining an initial mesh with triangular elements of three nodes (T3) or tetrahedral element of four nodes (TE4), and further establishing the polynomial order to be applied. The computer code is responsible for generating additional nodes and connectivities according to the chosen degree of the interpolation function. Next, the user defines the physical properties, boundary conditions and applied loads, for later calculation of the displacements, stresses, frequencies and vibration modes. Test cases are presented for validation of the proposed routines. Major conclusions reveal that for a broad set of elements the strategy using explicit finite element matrices was more efficient than the classical numerical integration procedure, with a considerable reduction in processing time.

A representação de malhas por meio de estrutura de dados e operadores topológicos e um dos focos principais da modelagem geométrica, onde permite uma implementação robusta e eficiente de mecanismos de refinamento adaptativo, alinhamento de células e acesso as relações de incidência e adjacência entre os elementos da malha, o que é de grande importância na maioria das aplicações em mecânica dos fluidos. No caso de malhas não estruturadas, a não uniformidade da decomposição celular e melhor representada por uma estrategia mais sofisticada, que são as estruturas de dados topológicas. As estruturas de dados topológicas indexam elementos de uma malha representando relações de incidência e adjacência entre elementos, garantindo acesso rápido às informações. Um dos aspectos mais comuns aos problemas tratados pela mecânica dos fluidos computacional é a complexidade da geometria do domínio onde ocorre o escoamento. O uso de estruturas de dados para manipular malhas computacionais e de grande importância pois realiza de modo eficiente as consultas às informações da malha e centraliza todas as operações sobre a malha em um único módulo, possibilitando sua extensão e adaptação em diversas situações. Este trabalho visou explorar o acoplamento de uma estrutura de dados topológica, a Mate Face, em um módulo simulador existente, de modo a gerenciar todos os acessos à malha e dispor operações e iteradores para pesquisas complexas nas vizinhanças de cada elemento na malha. O módulo simulador resolve as equações governantes da mecânica dos fluidos através da técnica de volumes finitos. Foi utilizada uma formulação que atribui os valores das propriedades aos centroides dos volumes de controle, utiliza métodos de alta ordem, os esquemas ENO e WENO, que tem a finalidade de capturar com eficiência descontinuidades presentes em problemas governados por equações diferenciais parciais hiperbólicas. As equações de Euler em duas dimensões representam os escoamentos de interesse no presente trabalho. O acoplamento da estrutura de dados Mate Face ao simulador foi realizada através da criação de uma biblioteca desenvolvida que atua como uma interface de comunicação entre os dois módulos, a estrutura de dados e o simulador, que foram implementados em diferentes linguagens de programação. Deste modo, todas as funcionalidades existentes na Mate Face tornaram-se acessíveis ao simulador na forma de procedimentos. Um estudo sobre malhas dinâmicas foi realizado envolvendo o método das molas para movimentação de malhas simulando-se operações de arfagem. A idéia foi verificar a aplicabilidade deste método para auxiliar simulações de escoamentos não estacionarios. Uma outra vertente do trabalho foi estender a estrutura Mate Face de forma a representar elementos não suportados a priori, de modo a flexibilizar o seu uso em simulações de escoamentos baseados no método de volumes finitos espectrais. O método dos volumes espectrais e utilizado para se obter alta resolução espacial do domínio computacional, que também atribui valores das propriedades aos centroides dos volumes de controle, porém, os volumes de controle são particionados em volumes menores de variadas topologias. Assim, uma extensão da Mate Face foi desenvolvida para representar a nova malha para a aplicação do método, representando-se cada particionamento localmente em cada volume espectral. Para todas as etapas deste trabalho, realizaram-se experimentos que validaram a utilizaação da estrutura de dados Mate Face junto a métodos numéricos. Desta forma, a estrutura pode auxiliar as ferramentas de simulações de escoamentos de fluidos no gerenciamento e acesso à malha computacional / The storage and access of grid files by data structures and topologic operators is one of the most important goals of geometric modeling research field, which allows an efficient and stable implementation of adaptive refinement mechanisms, cells alignment and access to incidence and adjacency properties from grid elements, representing great concernment in the majority of applications from fluid mechanics. In the case of non-structured grids, the cellular decomposition if non-uniform and is better suited by a more sophisticated strategy - the topologic data structs. The topologic data structs index grid elements representing incidence and adjacency properties from grid elements, ensuring quick access to information. One of most common aspects from problems solved by computational fluid mechanic is the complexity of the domain geometry where the fluid ows. The usage of data structures to manipulate computational grids is of great importance because it performs efficiently queries on grid information and centers all operations to the grid on a unique module, allowing its extension and flexible usage on many problems. This work aims at exploring the coupling of a topologic data structure, the Mate Face, on a solver module, by controlling all grid access providing operators and iterators that perform complex neighbor queries at each grid element. The solver module solves the governing equations from fluid mechanics though the finite volume technique with a formulation that sets the property values to the control volume centroids, using high order methods - the ENO and WENO schemes, which have the purpose of efficiently capture the discontinuities appearing in problems governed by hyperbolic conservation laws. The two dimensional Euler equations are considered to represent the flows of interest. The coupling of the Mate Face data structure to the solver module was achieved by a creation of a library that acts as an interface layer between both modules, the Mate Face and the solver, which had been implemented using different programming languages. Therefore, all Mate Face class methods are available to the solver module though the interface library in the form of procedures. A study of dynamic grids was made by using spring methods for the moving grid under pitch movement case. The goal was to analyze the applicability of such method to aid non stationary simulations. Another contribution of this work was to show how the Mate Face can be extended in order to deal with non-supported types of elements, allowing it to aid numeric simulations using the spectral finite volume method. The spectral nite volume method is used to obtain high spatial resolution, also by setting the property values to the control volume centroids, but here the control volumes are partitioned into smaller volumes of different types, from triangles to hexagons. Then, an extension of the Mate Face was developed in order to hold the new generated grid by the partitioning specfied by the spectral finite volume method. The extension of Mate Face represents all partitioned elements locally for each original control volume. For all implementations and proposals from this work, experiments were performed to validate the usage of the Mate Face along with numeric methods. Finally, the data structure can aid the fluid flow simulation tools by managing the grid file and providing efficient query operators

A representação de malhas por meio de estrutura de dados e operadores topológicos e um dos focos principais da modelagem geométrica, onde permite uma implementação robusta e eficiente de mecanismos de refinamento adaptativo, alinhamento de células e acesso as relações de incidência e adjacência entre os elementos da malha, o que é de grande importância na maioria das aplicações em mecânica dos fluidos. No caso de malhas não estruturadas, a não uniformidade da decomposição celular e melhor representada por uma estrategia mais sofisticada, que são as estruturas de dados topológicas. As estruturas de dados topológicas indexam elementos de uma malha representando relações de incidência e adjacência entre elementos, garantindo acesso rápido às informações. Um dos aspectos mais comuns aos problemas tratados pela mecânica dos fluidos computacional é a complexidade da geometria do domínio onde ocorre o escoamento. O uso de estruturas de dados para manipular malhas computacionais e de grande importância pois realiza de modo eficiente as consultas às informações da malha e centraliza todas as operações sobre a malha em um único módulo, possibilitando sua extensão e adaptação em diversas situações. Este trabalho visou explorar o acoplamento de uma estrutura de dados topológica, a Mate Face, em um módulo simulador existente, de modo a gerenciar todos os acessos à malha e dispor operações e iteradores para pesquisas complexas nas vizinhanças de cada elemento na malha. O módulo simulador resolve as equações governantes da mecânica dos fluidos através da técnica de volumes finitos. Foi utilizada uma formulação que atribui os valores das propriedades aos centroides dos volumes de controle, utiliza métodos de alta ordem, os esquemas ENO e WENO, que tem a finalidade de capturar com eficiência descontinuidades presentes em problemas governados por equações diferenciais parciais hiperbólicas. As equações de Euler em duas dimensões representam os escoamentos de interesse no presente trabalho. O acoplamento da estrutura de dados Mate Face ao simulador foi realizada através da criação de uma biblioteca desenvolvida que atua como uma interface de comunicação entre os dois módulos, a estrutura de dados e o simulador, que foram implementados em diferentes linguagens de programação. Deste modo, todas as funcionalidades existentes na Mate Face tornaram-se acessíveis ao simulador na forma de procedimentos. Um estudo sobre malhas dinâmicas foi realizado envolvendo o método das molas para movimentação de malhas simulando-se operações de arfagem. A idéia foi verificar a aplicabilidade deste método para auxiliar simulações de escoamentos não estacionarios. Uma outra vertente do trabalho foi estender a estrutura Mate Face de forma a representar elementos não suportados a priori, de modo a flexibilizar o seu uso em simulações de escoamentos baseados no método de volumes finitos espectrais. O método dos volumes espectrais e utilizado para se obter alta resolução espacial do domínio computacional, que também atribui valores das propriedades aos centroides dos volumes de controle, porém, os volumes de controle são particionados em volumes menores de variadas topologias. Assim, uma extensão da Mate Face foi desenvolvida para representar a nova malha para a aplicação do método, representando-se cada particionamento localmente em cada volume espectral. Para todas as etapas deste trabalho, realizaram-se experimentos que validaram a utilizaação da estrutura de dados Mate Face junto a métodos numéricos. Desta forma, a estrutura pode auxiliar as ferramentas de simulações de escoamentos de fluidos no gerenciamento e acesso à malha computacional / The storage and access of grid files by data structures and topologic operators is one of the most important goals of geometric modeling research field, which allows an efficient and stable implementation of adaptive refinement mechanisms, cells alignment and access to incidence and adjacency properties from grid elements, representing great concernment in the majority of applications from fluid mechanics. In the case of non-structured grids, the cellular decomposition if non-uniform and is better suited by a more sophisticated strategy - the topologic data structs. The topologic data structs index grid elements representing incidence and adjacency properties from grid elements, ensuring quick access to information. One of most common aspects from problems solved by computational fluid mechanic is the complexity of the domain geometry where the fluid ows. The usage of data structures to manipulate computational grids is of great importance because it performs efficiently queries on grid information and centers all operations to the grid on a unique module, allowing its extension and flexible usage on many problems. This work aims at exploring the coupling of a topologic data structure, the Mate Face, on a solver module, by controlling all grid access providing operators and iterators that perform complex neighbor queries at each grid element. The solver module solves the governing equations from fluid mechanics though the finite volume technique with a formulation that sets the property values to the control volume centroids, using high order methods - the ENO and WENO schemes, which have the purpose of efficiently capture the discontinuities appearing in problems governed by hyperbolic conservation laws. The two dimensional Euler equations are considered to represent the flows of interest. The coupling of the Mate Face data structure to the solver module was achieved by a creation of a library that acts as an interface layer between both modules, the Mate Face and the solver, which had been implemented using different programming languages. Therefore, all Mate Face class methods are available to the solver module though the interface library in the form of procedures. A study of dynamic grids was made by using spring methods for the moving grid under pitch movement case. The goal was to analyze the applicability of such method to aid non stationary simulations. Another contribution of this work was to show how the Mate Face can be extended in order to deal with non-supported types of elements, allowing it to aid numeric simulations using the spectral finite volume method. The spectral nite volume method is used to obtain high spatial resolution, also by setting the property values to the control volume centroids, but here the control volumes are partitioned into smaller volumes of different types, from triangles to hexagons. Then, an extension of the Mate Face was developed in order to hold the new generated grid by the partitioning specfied by the spectral finite volume method. The extension of Mate Face represents all partitioned elements locally for each original control volume. For all implementations and proposals from this work, experiments were performed to validate the usage of the Mate Face along with numeric methods. Finally, the data structure can aid the fluid flow simulation tools by managing the grid file and providing efficient query operators

No contexto de Dinâmica de Fluidos Computacional, métodos de simulação de objetos imersos em Malhas Cartesianas têm se mostrado vantajosos tanto em termos de Custo Computacional quanto em termos de precisão numérica. Entretanto, a representação física de objetos imersos nesses domínios computacionais impõe a perda de validade dos esquemas de Diferenças Finitas empregados, na região das superfícies introduzidas. Este trabalho analisa um Método de Interfaces Imersas quanto ao desempenho em aplicações a esquemas de solução numérica de Alta Ordem de precisão. Através de Testes de Refinamento de Malha, é feita a apreciação da ordem de decaimento dos erros das soluções numéricas em comparação com as soluções analíticas para 2 problemas unidimensionais. O primeiro envolve a solução da Equação de Calor unidimensional sujeita a uma Condição Inicial Unitária, e o segundo relaciona-se ao cálculo das duas primeiras derivadas espaciais das funções analíticas Seno e Tangente Hiperbólica. Também é promovida uma análise de forma fragmentária do método, a fim de individualizar a contribuição dos elementos envolvidos no comportamento das soluções geradas. Os resultados obtidos indicam eventuais alterações na ordem de precisão dos esquemas de Diferenças Finitas originalmente aplicados. Esse comportamento e visto como uma dependência que o método escolhido apresenta em relação a função discretizada. Por fim, são elaboradas considerações sobre restrições de aplicabilidade do método escolhido. / In the Computational Fluid Dynamics context, methods for simulating immersed objects in Cartesian Grids have shown advantages regarding both Computational Cost and numerical precision. Nevertheless, the physical representation of immersed objects within these computational domains leads to the loss of validity of the emplyed Finite Dierence Schemes near the immersed surfaces. This work analizes a Immersed Interface Method regarding its performance in High Order Schemes applications. The error decay order for numerical solutions of two 1D problems is observed. The rst problem relates to the solution of the Heat Equation subjected to the unitary initial condition. The second relates to the computation of the rst two derivatives of analytical functions Sin and Hyperbolic Tangent. It\'s also conducted a fragmentary analysis, which is intended to identify the contribution of each element of this method to the character of the generated solution. The results indicate some eventual changes in the Order of the Finite Dierences Schemes employed. This behaviour is regarded as a dependency of this method to the nature of the discretized function. Finaly, some remarks regarding restrictions to this method\'s applicability are made.

Desde o importante trabalho de Barth e Frederickson (1990), um certo número de pesquisadores têm estudado o método de Volumes Finitos de alta-ordem k-exato, por exemplo o grupo do Prof. Ollivier-Gooch: Ollivier-Gooch e van Altena (2002), Nejat (2007), Michalak (2009), etc. Outras discretizações espaciais de alta-ordem bastante populares são o método Galerkin Descontínuo e o método de Diferença Espectral; processos iterativos que involucram estes esquemas tem sido acelerados, nos últimos anos, por métodos p-multigrid. Porém, esta aceleração não tem sido aplicada no contexto do método de Volumes Finitos de alta-ordem, pelo menos para conhecimento do autor desta tese. Por isso, o objetivo desta pesquisa é adaptar o p-multigrid desenvolvido por Liang et al. (2009b) no contexto da Diferença Espectral, para o ambiente dos Volumes Finitos estudado pelo Prof. Ollivier-Gooch. A pesquisa começa implementando o solver VF-RK, de Volumes Finitos com avanço Runge-Kutta, para resolver as equações de advecção-difusão e de Euler aplicados a problemas estacionários, por exemplo, o escoamento transônico ao redor do NACA 0012. Depois, estuda-se o método p-multigrid no contexto da Diferença Espectral; o p-multigrid acelera o processo iterativo comutando níveis polinomiais de alta e de baixa-ordem. Após esse estudo, a adaptação ao âmbito dos Volumes Finitos é realizada resultando num p-multigrid relativamente mais simples porque, em contraposição com o p-multigrid para Diferença Espectral, não precisa de operadores de restrição e prolongação para a comunicação entre diferentes níveis polinomiais. A pesquisa conclui com uma comparação com o método de Volumes Finitos de 4a ordem sem p-multigrid (solver VF-RK). Nesse sentido, implementa-se o solver pMG, baseado no p-multigrid proposto, para resolver os problemas estacionários considerados na primeira parte do trabalho; o smoother do p-multigrid é o esquema Runge-Kutta do código VF-RK, e cada problema estacionário é resolvido utilizando diferentes Vciclos procurando sempre soluções de 4a ordem. Os resultados indicam que o método p-multigrid proposto é mais eficiente que o método de Volumes Finitos de 4a ordem sem p-multigrid, isto é, os dois métodos oferecem a mesma precisão mas o primeiro pode levar menos de 50% do tempo de CPU do segundo. / Since Barth and Frederickson\'s important work (Barth e Frederickson, 1990), a number of researchers have studied high-order k-exact Finite Volume method, for example Prof. Ollivier-Gooch\'s group: Ollivier-Gooch e van Altena (2002), Nejat (2007), Michalak (2009), etc. Other quite popular high-order spatial discretizations are the Discontinuous Galerkin methods and the Spectral Difference methods; the iterative processes involving these schemes have been accelerated in recent years by p-multigrid methods. However, this acceleration has not been applied in the context of the high-order Finite Volume method, at least for the knowledge of the author of this thesis. Therefore, the objective of this research is to adapt the p-multigrid developed by Liang et al. (2009b) in the context of Spectral Difference methods, to the environment of Finite Volume studied by Prof. Ollivier-Gooch. This research begins by implementing the solver VF-RK, Finite Volume solver with Runge-Kutta advance, to compute the advection-diffusion equation and Euler equations applied to steady state problems, for example, the transonic flow around NACA 0012. Then, it is studied the p-multigrid method in the context of Spectral Difference schemes; p-multigrid accelerates the iterative process by switching polynomial levels of high- and low-order. After this study, the adaptation to the context of the Finite Volume scheme is performed resulting in a relatively simple p-multigrid because, in contrast to the p-multigrid for Spectral Difference schemes, it doesn\'t need restriction and prolongation operators for communication between different polynomial levels. The research concludes with a comparison with 4th order Finite Volume method without p-multigrid (solver VF-RK). Accordingly, the solver pMG, based on the proposed p-multigrid, is implemented to resolve the steady state problems considered in the first part of the work; the p-multigrid smoother is the Runge-Kutta scheme from VF-RK code, and each steady state problem is solved using different Vcycles, looking for 4th order solutions ever. The results indicate that the proposed p-multigrid method is more efficient than the 4th order Finite Volume method without p-multigrid: the two methods give the same accuracy but the first one can take less than 50% of second one\'s CPU time.

A esfera é comumente usada como domínio computacional para representar o planeta Terra. Dessa forma, é possível modelar diversos fenômenos físicos, como a previsão numérica do tempo. A discretização pode ser feita de formas distintas, mas devido a uma crescente necessidade de eficiência computacional, as malhas geodésicas têm ganhado a atenção da comunidade científica. Dentre as quais, por serem mais isotrópicas em relação às malhas latitude/longitude, destacam-se as malhas icosaédricas. A qualidade dos modelos de previsão do tempo é fortemente influenciada pela precisão da solução da equação de advecção (ou transporte), pois, é necessário avaliar o transporte de diversas substâncias presentes na atmosfera. Nesse contexto, pesquisadores têm se interessado em desenvolver métodos de alta ordem na esfera para melhorar a qualidade da solução do transporte escalar. Apesar de existirem alguns modelos numéricos de alta ordem que usam malhas icosaédricas, não há consenso sobre as metodologias e os tipos de malhas a serem utilizadas. O objetivo deste trabalho foi estudar os métodos disponíveis na literatura e propor um novo método de alta ordem na esfera, baseado nos trabalhos de Ollivier-Gooch e colaboradores. O método de volumes finitos de alta ordem foi validado com testes de interpolação, integração e discretização do divergente. Por fim, foram utilizadas várias funções testes para a advecção. Os resultados foram comparados com os da literatura para malhas icosaédricas com distintas otimizações. Os testes incluem funções suaves, com descontinuidades e testes de deformações na distribuição do campo transportado, que são fundamentais no desenvolvimento de modelos atmosféricos globais. Os resultados numéricos mostram que o método proposto, que será denominado por FV-OLG, foi capaz de obter alta ordem de precisão e verificou-se que as taxas de erro são pouco influenciadas por distorções de malha. Foi feito um teste adicional para avaliar o transporte de uma colina de gaussiana na malha icosaédrica com refinamento local. Os resultados obtidos demonstram que as taxas de convergências são as mesmas obtidas em malhas com distintas otimizações, demonstrando ser um método robusto a ser explorado em modelos atmosféricos globais. / The sphere is commonly used as a computational domain to represent the planet Earth. In this way, it is possible to model several physical phenomena, such as the numerical weather forecast. Discretization can be done in different ways, but due to an increasing need for computational efficiency, geodesic meshes have gained the attention of the scientific community. These are more isotropic in relation to the latitude / longitude meshes, among which, the icosahedral meshes stand out. The quality of weather forecast models is strongly influenced by the accuracy of the solution of the advection (or transport) equation, since it is necessary to evaluate the transport of various substances present in the atmosphere. In this context, researchers have been interested in developing high-order methods on the sphere to improve the quality of the scalar transport solution. Although there are some high order numerical models that use icosahedral meshes, there is no consensus on the methodologies and types of meshes to be used. The objective of this work was to study the methods available in the literature and to propose a new high order method in the sphere, based on the works of Ollivier-Gooch et al. The finite-order finite-volume method was validated with inter- polation, integration and discretization tests of the divergent. For this purpose, several tests were used for the advection and the results were compared with those from the literature for icosahedral meshes with different optimizations. The tests include smooth functions, with discontinuities and tests of deformations in the distribution of the transported field, which are fundamental in the development of global atmospheric models. The numerical results show that the proposed method, which will be called FV-OLG, was able to obtain a high order of accuracy and verified that the error rates are little influenced by mesh distortion. An additional test was carried out to evaluate the transport of a Gaussian hill in the icosahedral grid with local refinement. The results show that the convergence rates are the same as those obtained in meshes with different optimizations, demonstrating that it is a robust method to be used in global atmospheric models.

No contexto de Dinâmica de Fluidos Computacional, métodos de simulação de objetos imersos em Malhas Cartesianas têm se mostrado vantajosos tanto em termos de Custo Computacional quanto em termos de precisão numérica. Entretanto, a representação física de objetos imersos nesses domínios computacionais impõe a perda de validade dos esquemas de Diferenças Finitas empregados, na região das superfícies introduzidas. Este trabalho analisa um Método de Interfaces Imersas quanto ao desempenho em aplicações a esquemas de solução numérica de Alta Ordem de precisão. Através de Testes de Refinamento de Malha, é feita a apreciação da ordem de decaimento dos erros das soluções numéricas em comparação com as soluções analíticas para 2 problemas unidimensionais. O primeiro envolve a solução da Equação de Calor unidimensional sujeita a uma Condição Inicial Unitária, e o segundo relaciona-se ao cálculo das duas primeiras derivadas espaciais das funções analíticas Seno e Tangente Hiperbólica. Também é promovida uma análise de forma fragmentária do método, a fim de individualizar a contribuição dos elementos envolvidos no comportamento das soluções geradas. Os resultados obtidos indicam eventuais alterações na ordem de precisão dos esquemas de Diferenças Finitas originalmente aplicados. Esse comportamento e visto como uma dependência que o método escolhido apresenta em relação a função discretizada. Por fim, são elaboradas considerações sobre restrições de aplicabilidade do método escolhido. / In the Computational Fluid Dynamics context, methods for simulating immersed objects in Cartesian Grids have shown advantages regarding both Computational Cost and numerical precision. Nevertheless, the physical representation of immersed objects within these computational domains leads to the loss of validity of the emplyed Finite Dierence Schemes near the immersed surfaces. This work analizes a Immersed Interface Method regarding its performance in High Order Schemes applications. The error decay order for numerical solutions of two 1D problems is observed. The rst problem relates to the solution of the Heat Equation subjected to the unitary initial condition. The second relates to the computation of the rst two derivatives of analytical functions Sin and Hyperbolic Tangent. It\'s also conducted a fragmentary analysis, which is intended to identify the contribution of each element of this method to the character of the generated solution. The results indicate some eventual changes in the Order of the Finite Dierences Schemes employed. This behaviour is regarded as a dependency of this method to the nature of the discretized function. Finaly, some remarks regarding restrictions to this method\'s applicability are made.

Desde o importante trabalho de Barth e Frederickson (1990), um certo número de pesquisadores têm estudado o método de Volumes Finitos de alta-ordem k-exato, por exemplo o grupo do Prof. Ollivier-Gooch: Ollivier-Gooch e van Altena (2002), Nejat (2007), Michalak (2009), etc. Outras discretizações espaciais de alta-ordem bastante populares são o método Galerkin Descontínuo e o método de Diferença Espectral; processos iterativos que involucram estes esquemas tem sido acelerados, nos últimos anos, por métodos p-multigrid. Porém, esta aceleração não tem sido aplicada no contexto do método de Volumes Finitos de alta-ordem, pelo menos para conhecimento do autor desta tese. Por isso, o objetivo desta pesquisa é adaptar o p-multigrid desenvolvido por Liang et al. (2009b) no contexto da Diferença Espectral, para o ambiente dos Volumes Finitos estudado pelo Prof. Ollivier-Gooch. A pesquisa começa implementando o solver VF-RK, de Volumes Finitos com avanço Runge-Kutta, para resolver as equações de advecção-difusão e de Euler aplicados a problemas estacionários, por exemplo, o escoamento transônico ao redor do NACA 0012. Depois, estuda-se o método p-multigrid no contexto da Diferença Espectral; o p-multigrid acelera o processo iterativo comutando níveis polinomiais de alta e de baixa-ordem. Após esse estudo, a adaptação ao âmbito dos Volumes Finitos é realizada resultando num p-multigrid relativamente mais simples porque, em contraposição com o p-multigrid para Diferença Espectral, não precisa de operadores de restrição e prolongação para a comunicação entre diferentes níveis polinomiais. A pesquisa conclui com uma comparação com o método de Volumes Finitos de 4a ordem sem p-multigrid (solver VF-RK). Nesse sentido, implementa-se o solver pMG, baseado no p-multigrid proposto, para resolver os problemas estacionários considerados na primeira parte do trabalho; o smoother do p-multigrid é o esquema Runge-Kutta do código VF-RK, e cada problema estacionário é resolvido utilizando diferentes Vciclos procurando sempre soluções de 4a ordem. Os resultados indicam que o método p-multigrid proposto é mais eficiente que o método de Volumes Finitos de 4a ordem sem p-multigrid, isto é, os dois métodos oferecem a mesma precisão mas o primeiro pode levar menos de 50% do tempo de CPU do segundo. / Since Barth and Frederickson\'s important work (Barth e Frederickson, 1990), a number of researchers have studied high-order k-exact Finite Volume method, for example Prof. Ollivier-Gooch\'s group: Ollivier-Gooch e van Altena (2002), Nejat (2007), Michalak (2009), etc. Other quite popular high-order spatial discretizations are the Discontinuous Galerkin methods and the Spectral Difference methods; the iterative processes involving these schemes have been accelerated in recent years by p-multigrid methods. However, this acceleration has not been applied in the context of the high-order Finite Volume method, at least for the knowledge of the author of this thesis. Therefore, the objective of this research is to adapt the p-multigrid developed by Liang et al. (2009b) in the context of Spectral Difference methods, to the environment of Finite Volume studied by Prof. Ollivier-Gooch. This research begins by implementing the solver VF-RK, Finite Volume solver with Runge-Kutta advance, to compute the advection-diffusion equation and Euler equations applied to steady state problems, for example, the transonic flow around NACA 0012. Then, it is studied the p-multigrid method in the context of Spectral Difference schemes; p-multigrid accelerates the iterative process by switching polynomial levels of high- and low-order. After this study, the adaptation to the context of the Finite Volume scheme is performed resulting in a relatively simple p-multigrid because, in contrast to the p-multigrid for Spectral Difference schemes, it doesn\'t need restriction and prolongation operators for communication between different polynomial levels. The research concludes with a comparison with 4th order Finite Volume method without p-multigrid (solver VF-RK). Accordingly, the solver pMG, based on the proposed p-multigrid, is implemented to resolve the steady state problems considered in the first part of the work; the p-multigrid smoother is the Runge-Kutta scheme from VF-RK code, and each steady state problem is solved using different Vcycles, looking for 4th order solutions ever. The results indicate that the proposed p-multigrid method is more efficient than the 4th order Finite Volume method without p-multigrid: the two methods give the same accuracy but the first one can take less than 50% of second one\'s CPU time.

A aeroelasticidade estuda a interação mútua entre os efeitos aerodinâmicos e estruturais. É sabido que essa relação muitas vezes se comporta de maneira não linear, causando diversos problemas, tais como flutter, oscilações em ciclo limite, bifurcações e caos. Tais fenômenos são difíceis de serem diagnosticados, podendo causar problemas graves à estrutura das aeronaves e também inviabilizar as suas operações. Dentre as principais fontes de não linearidades em sistemas aeroelásticos, pode-se citar as de origem aerodinâmica e estrutural. As de origem estrutural, por sua vez, podem ter caráter distribuído ou concentrado. Sabe-se que os efeitos estruturais concentrados denominados enrijecimento e folga são os de maior impacto na aeroelasticidade não linear. Desse modo, o objetivo desse trabalho é estudar a interação não linear entre duas não linearidades estruturais, ou seja, o enrijecimento associado à rigidez em torção e a folga presente nas articulações das superfícies de controle de seções típicas aeroelásticas. Experimentos em túnel de vento são realizados utilizando um dispositivo que permite variar a intensidade do efeito de enrijecimento e do tamanho da folga na articulação da superfície de comando. O modelo numérico de seção típica aeroelástica também é utilizado e validado com dados experimentais. Análises por meio de diagramas de bifurcação de Hopf e técnicas baseadas em espectros de potência são utilizadas. Todas as respostas aeroelásticas foram caracterizadas através de ferramentas de análise nos domínios do tempo e da frequência, como técnica de reconstrução de espaço de estados e os espectros de alta ordem (HOS), os quais são importantes na identificação dos tipos de acoplamentos não lineares. Resultados indicam que a combinação dos efeitos de enrijecimento e folga são responsáveis pelo comportamento subcrítico das bifurcações de Hopf e que a intensidade do enrijecimento tem influência direta nas amplitudes de ciclo limite. / Aeroelasticity is the field of engineering that deals with the mutual interaction between the aerodynamic and structural dynamics effects. It is known that this relationship often shows nonlinear behavior, causing various problems such as flutter, limit cycle oscillations, bifurcations and chaos. Such phenomena are difficult to predict and can cause serious problems to the aircraft structure and also they can jeopardize their operations. The unsteady aerodynamic and structural dynamics provide the main sources of nonlinearities in aeroelastic systems. Structural nonlinearities can be treated as distributed or concentrated effects. It is know that the nonlinear concentrated structural effects referred as hardening and freeplay have a significant impact on nonlinear aeroelasticity. The objective of this work is to analyze an aeroelastic system under the influence of combined structural nonlinearities, i.e., the hardening nonlinearity in the pitch airfoil motion and the freeplay nonlinearity in the control surface hinge. Wind tunnel experiments are carried out using one device that allows to vary the intensity of the hardening effect and the size of the freeplay gap in the control surface hinge. The numerical model of the typical aeroelastic section is also used and validated with experimental data. All aeroelastic responses are characterized by analytical tools in time and frequency domains. It was used the state space reconstruction technique and the higher order spectral analysis (HOS) to identify types of nonlinear couplings. The results indicate that the combination of hardening and freeplay effects are responsible for inducing the subcritical behavior on the Hopf bifurcations and that the intensity of the stiffness has a direct influence on the limit cycle amplitudes.

O estudo do transporte de partículas tem uma importância fundamental em diversas áreas de pesquisas como, por exemplo, na formação de gelo em uma aeronave pois pode afetar a sua sustentação e estabilidade. Tamanha é a preocupação com a segurança de vôo que diversos estudos têm sido realizados, resultando em códigos computacionais como o LEWICE nos Estados Unidos, TRAJICE no Reino Unido, ONERA na França e CANICE no Canadá. No Brasil, um dos estudo é feito pela EMBRAER em parceria com algumas instituições. O objetivo deste trabalho é desenvolver um algoritmo que possa ser empregado na trajetória das partículas, utilizando uma formulação euleriana que elimina a dificuldade da semeadura de partículas específica da formulação lagrangiana na determinação da fração de volume da partícula. O método empregado é dos volumes finitos em malhas não-estruturadas cuja principal chave está na reconstrução mínimos quadrados de alta ordem com restrição nos contornos. O desenvolvimento do trabalho engloba 3 etapas: definição da geometria e geração das malhas; utilização de um solver para o tratamento do escoamento do ar e obtenção do campo de velocidade; implementação e utilização do esquema numérico com reconstrução mínimos quadrados de alta ordem para simular o cálculo da fração de volume com imposição de condições limites apropriadas no contorno do corpo. Os resultados dos testes realizados mostram que o esquema numérico com reconstrução mínimos quadrados pode ser empregado na resolução de equações que apresentam uma região de descontinuidade, como é o caso da região de sombra, reduzindo a largura da banda de difusão numérica e overshoots. / The particle transport study has a fundamental importance in diverse research area like in the icing accretion on an aircraft because that can affect its sustentation and stability. The concern is so big that many researches have been carried through, resulting in computational codes like the LEWICE in the United States, TRAJICE in the United Kingdom, ONERA in France and CANICE in Canada. In Brazil, one of the study has been made by the EMBRAER with some institutes. The goal of this work is to develop an algorithm that can be used in the particles trajectory study, using an Eulerian method that eliminates the difficulty particle sowing, particular of the Lagrangian method, in the determination of the droplet fraction volume. This is made by the finite volume method on unstructured meshes whose main key is the high order reconstruction with restriction on the boundary. The development of the work involves 3 stages: geometry definition and mesh generation; using code for the treatment of the air flow and obtained flow velocity; use of the high order numerical scheme least square reconstruction to simulate the droplet fraction volume result with imposition of appropriate limit conditions in the body contour. The realized simulations shown that Least Square method can be used in problem resolution that present descontinuos region like is shadow region reducing numerical diffusion and overshoots.