El campo de estudio centrado en los tipos de interés es muy amplio y ha merecido una gran atención, tanto por parte de los académicos como por parte de los profesionales. Esta afirmación queda avalada por la extensa bibliografía sobre el tema generada en los últimos años. Concretamente, el objetivo de esta tesis doctoral se centra en el planteamiento, desarrollo y contrastación de un modelo dinámico de la estructura temporal de tipos de interés, que incorpora tres variables de estado. El comportamiento temporal de estos factores se representa mediante ecuaciones diferenciales estocásticas. Aplicando el lema de Itò, la condición de inexistencia de posibilidades de arbitraje y una definición funcional de los precios que el mercado asigna al riesgo, se obtiene una ecuación cierta en derivadas parciales de segundo orden, para el precio de la obligación cupón cero, libre de riesgo de insolvencia. La ecuación que se obtiene en el modelo admite solución analítica, por separación de variables, por lo que es posible definir la función de descuento, para cualquier plazo, a partir de los valores de las tres variables de estado.Obtenida la función de descuento, la definición de la estructura de tipos al contado y la de tipos implícitos es inmediata. También se obtienen las expresiones correspondientes a la prima de riesgo y prima "forward" asociadas al modelo. Finalmente, se deducen las expresiones de duración y convexidad asociadas a cada factor estocástico del modelo.Esta tesis doctoral se ha estructurado en cuatro capítulos. El primer capítulo, de carácter introductorio, define el concepto de estructura temporal de tipos de interés. El segundo capítulo se centra en los modelos dinámicos de la curva de tipos. El tercer capítulo se inicia con el planteamiento del modelo propuesto de la dinámica de la estructura temporal, considerándose tres variables de estado: dos "spreads" y un tipo de interés al contado a largo plazo. En el cuarto y último capítulo se efectúa la contrastación empírica del modelo, mediante los datos proporcionados por el Servicio de Estudios del Banco de España. Finalmente, y a modo de resumen, se detallan las conclusiones de este trabajo.La tesis se completa con tres anexos. En el primero se presentan gráficamente las series temporales con las que se trabaja en el capítulo de aplicación empírica. En el anexo dos, se incluye el programa de Mathcad 2000 utilizado en la segunda fase de estimación del modelo. En el último anexo, se efectúa un análisis gráfico del modelo. Se comprueban, empíricamente, una serie de propiedades de la función de descuento obtenida y se analiza el comportamiento de la curva de tipos, cuando cambian los parámetros que la definen.

This dissertation is devoted to the study of some aspects of the theory of stochastic partial differential equations. More precisely, we mainly focus on the study of a stochastic wave equation perturbed by some random noise. The contents of the thesis may be split in two parts: firstly, we deal with a stochastic wave equation in spatial dimension three with a random perturbation given by a Gaussian noise. In this case, the main objective is to study the existence and smoothness properties of the density of the solution of the equation. Secondly, we handle a one-dimensional stochastic wave equation controlled by the so called space-time white noise. The main aim here corresponds to discretise the equation with respect to space and then study the convergence of the discretised process to the real solution.In the very first part of the dissertation, we introduce the subject of study, give the main mathematical motivations and summarise the goals that we have been able to attain. For this, as a preliminary part, we give the main definitions and state the main results concerning the theory of stochastic partial differential equations driven by Gaussian noises. We give also the main definitions and state the main criteria concerning the stochastic calculus of variations or Malliavin calculus. After a summary of their contents, the main results of the dissertation are included in several appendices. Indeed, the first work is devoted to the existence of density for the solution to a three-dimensional stochastic wave equation driven by a spatially homogeneous Gaussian noise. The main techniques used to prove this result are given by the Malliavin calculus' theory. Moreover, in order to give sense to the evolution equations satisfied by the Malliavin derivatives, we extend the theory of integration with respect to martingale measures to a Hilbert-valued setting. On the other hand, the main difficulty with respect to the studied cases, where the space dimension is one or two, is the fact that in the three-dimensional case the fundamental solution of the wave equation is no more a function but a distribution.The second work extends the results of the first one in the sense that we prove that the density of the solution at any fixed point not only exists but also is a smooth function. For this, again the techniques of the Malliavin calculus are applied, but with much more effort.In the framework of existence and smoothness of densities of solutions to stochastic partial differential equations, we have also devoted a small part of the thesis in extending some of the known results for the stochastic heat equation to general equations of parabolic type.We jump now to the third and last work that forms the body of the dissertation. Namely, we consider discretisation schemes of a stochastic Dirichlet problem given by a stochastic wave equation in spatial dimension one and driven by the space-time white noise. More precisely, the equation is discretised by means of a finite difference method in space and the random perturbation is formally discretised using an Euler scheme. Then, the main idea is to find out an evolution equation satisfied by the approximation process so as to be able to deal with mean and almost sure convergence to the real solution. Furthermore, we get suitable bounds for the rate of convergence that are tested numerically to be optimal.Eventually, the dissertation concludes with a summary of the contents in Catalan and the bibliography.

El treball de recerca que recull aquesta memòria s'emmarca dins del càlcul estocàstic de variacions i el càlcul estocàstic anticipatiu. La memòria es divideix en quatre capítols. Al primer (de preliminars) s'introdueixen els conceptes d'espai gaussià i la propietat esencial de descomposición ortogonal dels funcionals de quadrat integrable sobre l'espai gaussià. Per poder generalitzar aquest resultat, s'introdueix l'estructura d'espai de Fock, que és l'estructura algebraïca subjacent a tot espai descomposable en suma de sub-espais ortogonals. Per altra banda, en aquest marc s'introdueixen els operadors de creació i d'anihilació, que generalitzen els operadors gradient i integral de Skorohod sobre l'espai de Wiener.Al segon capítol s'estableix un càlcul estocàstic en l'espai de Poisson. Als darrers anys s'han realitzar diverses aproximacions al problema. L'aproximació que aquí presentem es basa en l'estructura d'espai de Fock; en concret, es fa una interpretació dels operadors de creació i d'anihilació intrínseca en l'espai de Possion, així com una fòrmula d'integració per parts. Al capítol tercer, s'aplica el càlcul estocàstic de variacions segons el punt de vista de Milliavin a l'estudi de la continuïtat absoluta de la "llei del màxim" d'un procés continu. S'obtenen resultats que milloren els resultats clàssics. Per últim, al capítol quart, i seguint el punt de vista de Watanabe del càlcul estocàstic de variacions, s'estudia la regularitat del temps local browmnià com a funcional sobre l'espai de Wiener. En particular, s'analitza a quins espais de Sobolev D-alfa-P pertany, per la qual cosa s'estudia previament la regularitat de funcionals generalitzats com a Delta X(W(H)). Els resultats obtinguts milloren els coneguts fins al moment. / El trabajo de investigación que recoge la presente memoria se enmarca en el cálculo de variaciones estocástico y en el cálculo estocástico anticipativo. La memoria se divide en cuatro capítulos. En el primero, de preliminares, se introducen el concepto de espacio gaussiano y la propiedad esencial de descomposición ortogonal de los funcionales de cuadrado integrable sobre el espacio gaussiano. Para generalizar este resultado se introduce la estructura de espacio de Fock, que es la estructura algebraica subyacente a todo espacio descomponible en suma de subespacios ortogonales. Por otro lado, se introducen en este marco los operadores de creación y anihilación, que generalizan los operadores gradiente y integral de Skorohod sobre el espacio de Wiener.En el segundo capitulo se establece un cálculo estocástico en el espacio de Poisson. En los últimos años se han realizado distintas aproximaciones al problema. Esta aproximación se basa en la estructura de espacio de Fock. En particular se da una interpretación de los operadores de creación y anihilación intrínseca en el espacio de Poisson, así como una fórmula de integración por partes.En el tercer capitulo se aplica el calculo de variaciones estocástico según el punto de vista de Malliavin al estudio de la continuidad absoluta de la ley del máximo de un proceso continuo. Se obtienen resultados que mejoran los resultados clásicos.Finalmente en el cuarto capitulo, siguiendo el punto de vista de Watanabe del cálculo de variaciones estocástico, se estudia la regularidad del tiempo local browniano como funcional sobre el espacio de Wiener. En concreto, se analiza a qué espacios de Sobolev D-Alfa-P Pertenece.Para ello se estudia previamente la regularidad de funcionales generalizados como Delta X(W(H)). Los resultados obtenidos mejoran los conocidos hasta el momento.