Dans cette thèse, j’étudie d’abord la théorie des [gamma]-limites. En dehors de quelques propriétés fondamentales des [gamma]-limites, les expressions de [gamma]-limites séquentielles généralisant des résultats de Greco sont présentées. En outre, ces limites nous donnent aussi une idée d’une classification unifiée de la tangence et la différentiation généralisée. Ensuite, je développe une approche des théories de la différentiation généralisée. Cela permet de traiter plusieurs dérivées généralisées des multi-applications définies directement dans l’espace primal, tels que des ensembles variationnels,des ensembles radiaux, des dérivées radiales, des dérivées de Studniarski. Finalement, j’étudie les règles de calcul de ces dérivées et les applications liées aux conditions d’optimalité et à l’analyse de sensibilité. / In this thesis, we first study the theory of [gamma]-limits. Besides some basic properties of [gamma]-limits,expressions of sequential [gamma]-limits generalizing classical results of Greco are presented. These limits also give us a clue to a unified classification of derivatives and tangent cones. Next, we develop an approach to generalized differentiation theory. This allows us to deal with several generalized derivatives of set-valued maps defined directly in primal spaces, such as variational sets, radial sets, radial derivatives, Studniarski derivatives. Finally, we study calculus rules of these derivatives and applications related to optimality conditions and sensitivity analysis.

Le mémoire fait la synthèse de mes travaux de recherche autour de la question de la production du ''meilleur`` état initial possible pour démarrer une prévision numérique de l'évolution de l'atmosphère. Cette thématique va nous amener à considérer la problématique de l'assimilation des données. En particulier, mes travaux ont abordé cette question en relation avec les modèles numériques de prévision météorologique régionaux, à aire limitée. Le mémoire peut se lire pour l'essentiel sous deux angles: * des considérations assez amont sur la recherche de l'état optimal d'un système dynamique connu imparfaitement, mais sur lequel un contrôle par des observations indépendantes est possible: observations ciblées dans un modèle idéalisé, scénarii de mesures, croissance des erreurs et analyse par vecteurs singuliers. * études poursuivies dans le cadre de l'implémentation d'une analyse variationnelle dans le modèle régional Aladin de Météo-France: croissance des erreurs dans ce modèle, réglage des variances d'erreur de prévision, prise en compte du système coupleur (plus précisément, de son analyse) dans un système couplé, propriétés de la solution adjointe Des perspectives de recherche et de développement sont abordées en conclusion.

Les phénomènes de contact entre des corps déformables ou entre un corps déformable et une fondation rigide sont des phénomènes omniprésents dans la vie courante. Ces phénomènes peuvent faire appel à des modèles mathématiques sophistiqués qui sont représentés par des systèmes d’équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites décrivant des processus de contact (avec ou sans frottement) complexes. Cependant, la théorie mathématique des problèmes de contact est un domaine d’études très large où de nombreux problèmes restent à investiguer. Le champ d’études de cette thèse concerne aussi bien l’élaboration de nouveaux modèles de contact et frottement que l’analyse mathématique et la résolution numérique des problèmes considérés. Dans ces travaux, notre objectif est d’apporter une contribution à cette théorie mathématique des problèmes de contact. En d’autres termes, l’objet de notre travail de thèse est d’étudier théoriquement et numériquement quelques problèmes de contact entre un corps déformable et une fondation rigide en utilisant plusieurs lois originales de comportement et de contact avec et sans frottement. / Phenomena of contact between deformable bodies or between a deformable body and a rigid foundation abound in everyday life. These phenomena may involve sophisticated mathematical models represented by systems of partial differential equations with boundary conditions describing complex contact processes (with or without friction). However, the mathematical theory of contact problems is a broad field of study where many issues remain to be investigated. The field studies of this thesis concerns, the development of new models of contact and friction as well as the mathematical analysis and numerical solution of the problems considered. In this work, our goal is to make a contribution to this mathematical theory of contact problems. In other words, the purpose of our thesis is to study theoretically and numerically some problems of contact between a deformable body and a rigid foundation using several original constitutive and contact laws with and without friction

Le travail présenté dans ce mémoire est divisé en deux parties. La première partie est consacrée aux calculs des fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière, associées à une fonction localement lipschtizienne à valeurs vectorielles. Clarke avait établi en 1975 que la fonction d'appui du sous-différentiel généralisé était une dérivée directionnelle généralisée. Il est donc satisfaisant de constater que la fonction d'appui de la Jacobienne généralisée est une sorte de "divergence directionnelle généralisée". Dans la seconde partie, nous présentons un certain nombre d'applications de techniques issues de l'Analyse non lisse à la résolution d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ainsi nous utilisons la dualité convexe et le calcul sous-différentiel pour prouver que les formules dites de Hopf-Lax définissent des solutions explicites des équations de Hamilton-Jacobi associées (avec données initiales semicontinues inférieurement). Nous n'utilisons ni le fameux principe de comparaison de la théorie des solutions de viscosité ni régularisation. Nous traitons successivement le cas de la dimension finie et de la dimension infinie. Ces résultats nous permettent de trouver des estimations des solutions d'équations dont l'hamiltonien est la différence de deux fonctions convexes. Enfin, nous nous attachons à l'étude des solutions sci dans des espaces de Banach dits ``lisses''. Le théorème de la valeur moyenne de Clarke et Ledyaev nous permet de montrer un résultat d'``enveloppe'' : nous construisons une solution sci pour une équation dont l'hamiltonien est le supremum d'une famille d'hamiltoniens. Nous appliquons enfin les mêmes techniques pour prouver l'existence d'une solution sci minimale sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on recontre généralement dans la littérature.

Cette thèse est consacrée, d'une part, à l'étude d'existence de solutions pour des problèmes d'évolution et, d'autre part, à la stabilité de la propriété de prox-régularité ensembliste. Nous étudions dans la première partie des processus de rafle de Moreau perturbés et discontinu du premier et du second ordre. L'ensemble mouvant est prox-régulier dans un espace de Hilbert réel quelconque et sa variation est contrôlé par une mesure de Radon. Des applications à la théorie de la complémentarité et à celle des inéquations variationnelles sont présentées. Dans la seconde partie, on donne des conditions suffisantes assurant la prox-régularité d'ensembles décrit par des contraintes non nécessairement lisses sous forme d'inégalités et/ ou d'égalités et plus généralement d'ensembles de solutions d'équations généralisées. On y développe également des conditions vérifiables assurant la préservation de la prox-régularité vis-à-vis d'opérations ensemblistes : les cas de l'intersection, d'image directe, de pré-image, d'union et projection sur un sous-espace sont considérés. / In this dissertation, we study, on the one hand, the existence of solutions for some evolution problems and, on the other hand, the stability of prox-regularity under set operations. The first topic is devoted to first and second order nonconvex perturberd Moreau's sweeping processes in infinite dimensional framework. The moving set is assumed to be prox-regular and moved in a bounded variation way. Applications to the theory of complementarity problems and evolution variational inequalities are given. In the other topic, we first give verifiable sufficient conditions ensuring the prox-regularity of constrained sets and more generally for solution sets of generalized equations. We also develop the preservation of prox-regularity under set operations as intersection, direct image, inverse image, union and projection along a vector space.

Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique de quelques problèmes variationnels motivés par le modèle de Ginzburg-Landau en théorie de la supraconductivité. Dans la première partie on étudie l'existence de solutions pour les équations de Ginzburg-Landau sans champ magnétique et avec données au bord de type semi-rigides. Ces données consistent à prescrire le module de la fonction sur le bord du domaine ainsi que son degré topologique. C'est un cas particulier de problèmes à bord libre, ou la donnée complète de la fonction sur le bord est une inconnue du problème. L'existence de solutions à ce problème n'est pas assurée. En effet la méthode directe du calcul des variations ne peut pas s'appliquer car le degré sur le bord n'est pas continu pour la convergence faible dans l'espace de Sobolev adapté. On dit que c'est un problème sans compacité. En étudiant le phénomène de "bubbling" qui apparaît dans l'étude de tels problèmes on donne des résultats d'existence et de non existence de solutions. Dans le Chapitre 1 on étudie des conditions qui permettent d'affirmer que la différence entre deux niveaux d'énergie est strictement optimale. Pour cela on adapte une technique due à Brezis-Coron. Ceci nous permet de redémontrer un résultat (précédemment obtenu par Berlaynd Rybalko et Dos Santos) d'existence de solutions stables pour les équations de Ginzburg-Landau dans des domaines multiplement connexes. Dans le Chapitre 2 on considère les applications harmoniques a valeurs dans $R^2$ avec des conditions au bord de type degrés prescrits sur un anneau. On fait un lien entre ce problème et la théorie des surfaces minimales dans $R^3$ grâce à la différentielle quadratique de Hopf. Ceci nous conduit à l'étude des surfaces minimales bordées par deux cercles dans des plans parallèles. On prouve l'existence de telles surfaces qui ne sont pas des catenoides grâce a un résultat de bifurcation. On utilise alors les résultats obtenus pour déduire des théorèmes d'existence et de non existence de minimiseurs de l'énergie de Ginzburg-Landau à degrés prescrits dans un anneau. Dans ce troisième Chapitre on obtient des résultats pour une valeur du paramètre " grand. Le Chapitre 4 a pour objet l'étude des problèmes a degrés prescrits en dimension n3. On y montre la non existence des minimiseurs de la n-énergie de Ginzburg-Landau a degrés prescrits dans un domaine simplement connexe. On étudie ensuite des points critiques de type min-max pour une énergie perturbée. La deuxième partie est consacrée a l'analyse asymptotique des solutions des équations deGinzburg-Landau lorsque " tend vers zero. Sandier et Serfaty ont étudié le comportement asymptotique des mesures de vorticité associées aux équations. Ils ont notamment trouvé des conditions critiques sur les mesures limites dans le cas des équations avec et sans champ magnétique. Nous nous intéressons alors à ces conditions critiques dans le cas sans champ magnétique. Le problème de la régularité locale des mesures limites se ramène ainsi a l'étude de la régularité des fonctions stationnaires harmoniques dont le Laplacien est une mesure. Nous montrons que localement de telles mesures sont supportées par une union de lignes appartenant à l'ensemble des zéros d'une fonction harmonique / This thesis is devoted to the mathematical analysis of some variational problems. These problem sare motivated by the Ginzburg-Landau model related to the super conductivity. In the first part we study existence of solutions of the Ginzburg-Landau equations without magnetic eld but with semi-sti boundary conditions. These conditions are obtained by prescribing the modulus of the function on the boundary of the domain along with its topological degree. This is a particular case of free boundary problems, where the function on the boundary is an unknown of the problem. Existence of solutions of that problem does not necessary hold. Indeed we can not apply the direct method of the calculus of variations since the degree on the boundaryis not continuous with respect to the weak convergence in an appropriated Sobolev space. This is problem with loss of compactness. By studying the bublling" phenomenon which come upin such problems we obtain some existence and non existence results .In Chapter 1 we study conditions under which the dierence between two energy levels is strictly optimal. In order to do that we adapt a technique due to Brezis-Coron. This allow us to recover known existence results (previously obtained by Berlyand and Rybalko and DosSantos) for stable solutions of the Ginzburg-Landau equations in multiply connected domains. In Chapter 2 we are interested in harmonic maps with values in $R^2$ with prescribed degree boundary condition in an annulus. We make a link between this problem and the minimal surface theory in $R^3$ thanks to the so-called Hopf quadratic differential. This leads us to study immersed minimal surfaces bounded by two circles in parallel planes. We prove the existence of such surfaces die rent from catenoids by using a bifurcation argument. We then apply the results obtained to deduce existence and non existence results for minimizers of the Ginzburg-Landau energy with prescribed degrees. This is done in Chapter 3 where the results are obtained for large ".Chapter 4 is devoted to prescribed degree problems in dimension n3 . We prove the non existence of minimizers of the Ginzburg-Landau energy in simply connected domains. We then study min-max critical points of a perturbed energy. The second part is devoted to the asymptotic analysis of solutions of the Ginzburg-Landau equations when "goes to zero. Sandier and Serfaty studied the asymptotic behavior of the vorticity measures associated to these equations. They derived critical conditions on the limiting measures both with and without magnetic Field. We are interested by these conditions when there is no magnetic Field. The problem of the local regularity of the limiting measures is then equivalent to the study of regularity of stationary harmonic functions whose Laplacianis a measure. We show that locally such measures are concentrated on a union of lines which belong to the zero set of an harmonic function

Dans ce travail de recherche, nous sommes intéresses par la modélisation de l'hématopoïèse. Les cellules souches hématopoïétiques (CSH) sont des cellules indifférenciées de la moelle osseuse, possédant la capacité de se renouveler et de se différencier (pour la production des globules rouges, globules blancs et les plaquettes). Le processus de l'hématopoïèse souvent révèle des irrégularités qui causent les maladies hématologiques. En modélisant la leucémie myéloide chronique (LMC), une maladie hématologique fréquente, nous représentons l'hématopoïèse des cellules normales et cancéreuses par un système d'équations différentielles ordinaires (EDO). L'homéostasie des cellules normales et différente de l'homéostasie des cellules cancéreuses, et dépend de quelques lignées des cellules normales et cancéreuses. Nous analysons la dynamique globale du modèle pour obtenir les conditions de régénération de l'hématopoïèse ou bien la persistance de la LMC. Nous démontrons aussi que la coexistence des cellules normales et cancéreuses ne peut avoir lieu pour longtemps. Imatinib est un traitement de base de la LMC, avec un dosage variant de 400 à 1000 mg par jour. Certains patients présentent des réponses différentes à la thérapie, pouvant être hématologique, cytogénétique et moléculaire. La thérapie échoue dans deux cas: le patient demande un temps plus long pour réagir, alors il s'agit d'une réponse suboptimale; ou bien le patient résiste après une bonne réponse initiale. Pour déterminer le dosage optimal, nécessaire à la réduction des cellules cancéreuses, nous représentons les effets de la thérapie par un problème de contrôle optimal. Notre but est de minimiser le cout du traitement et le nombre des cellules cancéreuses. La réponse suboptimale, la résistance et le rétablissement sont alors obtenus suivant l'influence de l'imatinib sur les taux de division et de mortalité des cellules cancéreuses. Nous étudions par ailleurs l'hématopoïèse selon un modèle structuré en age, décrivant l'évolution des CSH normales et cancéreuses. Nous démontrons que le taux de division des CSH cancéreuses joue un rôle important dans la détermination du contrôle optimal. En contrôlant la croissance des cellules normales et cancéreuses avec compétition inter spécifique, nous démontrons que le dosage optimal dépend de l'homéostasie des CSH cancéreuses. / Modelling hematopoiesis represents a feature of our research. Hematopoietic stem cells (HSC) are undifferentiated cells, located in bone marrow, with unique abilities of self-renewal and differentiation (production of white cells, red blood cells and platelets).The process of hematopoiesis often exhibits abnormalities causing hematological diseases. In modelling Chronic Myeloid Leukemia (CML), a frequent hematological disease, we represent hematopoiesis of normal and leukemic cells by means of ordinary differential equations (ODE). Homeostasis of normal and leukemic cells are supposed to be different and depend on some lines of normal and leukemic HSC. We analyze the global dynamics of the model to obtain the conditions for regeneration of hematopoiesis and persistence of CML. We prove as well that normal and leukemic cells can not coexist for a long time. Imatinib is the main treatment of CML, with posology varying from 400 to 1000 mg per day. Some affected individuals respond to therapy with various levels being hematologic, cytogenetic and molecular. Therapy fails in two cases: the patient takes a long time to react, then suboptimal response occurs; or the patient resists after an initial response. Determining the optimal dosage required to reduce leukemic cells is another challenge. We approach therapy effects as an optimal control problem to minimize the cost of treatment and the level of leukemic cells. Suboptimal response, resistance and recovery forms are obtained through the influence of imatinib onto the division and mortality rates of leukemic cells. Hematopoiesis can be investigated according to age of cells. An age-structured system, describing the evolution of normal and leukemic HSC shows that the division rate of leukemic HSC plays a crucial role when determining the optimal control. When controlling the growth of cells under interspecific competition within normal and leukemic HSC, we prove that optimal dosage is related to homeostasis of leukemic HSC.

Le but de cette thèse est d'étudier la méthode de Newton pour résoudre numériquement les inclusions variationnelles, appelées aussi dans la littérature les équations généralisées. Ces problèmes engendrent en général des opérateurs multivoques. La première partie est dédiée à l'extension des approches de Kantorovich et la théorie (alpha, gamma) de Smale (connues pour les équations non-linéaires classiques) au cas des inclusions variationnelles dans les espaces de Banach. Ceci a été rendu possible grâce aux développements récents des outils de l'analyse variationnelle et non-lisse tels que la régularité métrique. La seconde partie est consacrée à l'étude de méthodes numériques de type-Newton pour les inclusions variationnelles en utilisant la différentiabilité généralisée d'applications multivoques où nous proposons de linéariser à la fois les parties univoques (lisses) et multivoques (non-lisses). Nous avons montré que, sous des hypothèses sur les données du problème ainsi que le choix du point de départ, la suite générée par la méthode de Newton converge au moins linéairement vers une solution du problème de départ. La convergence superlinéaire peut-être obtenue en imposant plus de conditions sur l'approximation multivaluée. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des équations généralisées dans les variétés Riemaniennes à valeurs dans des espaces euclidiens. Grâce à la relation entre la structure géométrique des variétés et les applications de rétractions, nous montrons que le schéma de Newton converge localement superlinéairement vers une solution du problème. La convergence quadratique (locale et semi-locale) peut-être obtenue avec des hypothèses de régularités sur les données du problème. / This thesis is devoted to present some results in the scope of Newton-type methods applied for inclusion involving set-valued mappings. In the first part, we follow the Kantorovich's and/or Smale's approaches to study the convergence of Josephy-Newton method for generalized equation (GE) in Banach spaces. Such results can be viewed as an extension of the classical Kantorovich's theorem as well as Smale's (alpha, gamma)-theory which were stated for nonlinear equations. The second part develops an algorithm using set-valued differentiation in order to solve GE. We proved that, under some suitable conditions imposed on the input data and the choice of the starting point, the algorithm produces a sequence converging at least linearly to a solution of considering GE. Moreover, by imposing some stronger assumptions related to the approximation of set-valued part, the proposed method converges locally superlinearly. The last part deals with inclusions involving maps defined on Riemannian manifolds whose values belong to an Euclidean space. Using the relationship between the geometric structure of manifolds and the retraction maps, we show that, our scheme converges locally superlinearly to a solution of the initial problem. With some more regularity assumptions on the data involved in the problem, the quadratic convergence (local and semi-local) can be ensured.