Soient k, n des entiers avec 1 ≤ k ≤ n − 2. On cherche le suprémum ω(n, k) des nombres ω avec la propriété suivante. Pour tout point u ∈ ℝ^n u à coordonnées linéairement indépendantes sur ℚ, tout sous-espace E de ℝ^n orthogonal à u de dimension k et tout δ > 0, il existe une infinité de points non nuls x ∈ ℤ^n formant un angle au plus δ avec E tels que |x·u| ≤ ∥x∥^−ω. Ici, x·u désigne le produit scalaire de x avec u et ∥x∥ désigne la norme de x. En posant ν(m) = (m − 1 +√(m² + 2m − 3))/2, Schmidt (1976) a démontré que ω(3, 1) ≥ ν(2), puis Thurnheer (1990) a obtenu ω(n, n − 2) ≥ ν(n−1) en général. En 2014, Roy a établi que ω(3, 1) = ν(2). Dans ce mémoire, on montre que ω(n, 1) = ν(2) quel que soit n, on simplifie l’argument de Thurnheer et on montre que ω(n, k) ≥ ν(k+1) en général. On répond également à une question connexe de Badziahin et Bugeaud.

La première partie de cette thèse exploite et développe la relation entre approximation diophantienne homogène à une variable dans un corps de nombre et la dynamique du flot des chambres de Weyl dans la variété de Hilbert associée.<br />La deuxième partie s'intéresse au problème des cibles réctricissantes sur une variété hyperbolique.<br />Dans la troisième partie, on démontre des résultats de répartition des orbites de l'action de réseaux de groupes de Lie sur certains espaces homogènes, dans la veine de résultats antérieurs de Ledrappier.

Thèse de doctorat : Sciences : Mathématiques : Lund (Suède) : 2007. Thèse de doctorat : Sciences : Mathématiques : Toulon : 2007. / Thèse soutenue en co-tutelle. Texte en anglais. Titre provenant du cadre-titre. Références bibliographiques p. 97-98.

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Quatre résultats sont démontrés : - Soit $a$ un nombre rationnel, $\vert a \vert <1$. Le Q-espace vectoriel engendré par $1, Li_1(a), Li_2(a),...$ est de dimension infinie. - Le Q-espace vectoriel engendré par $1, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7),...$ est de dimension infinie. - Il existe un entier impair $j$, $5\le j \le 169$ tel que $1, \zeta(3), \zeta(j)$ sont linéairement indépendants sur Q. - Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),..., \zeta(21)$ est irrationnel.

La thèse prend comme point de départ les approximations diophantiennes en focalisant sur l'ensemble des nombres mal approxirnables. Nous construisons deux ensembles de nombres mal approxirnables en considérant les nombres rationnels q-adiques, et deux types de modèles d'approximation, le modèle uni-côté et le modèle bi-côté. Nous prouvons par des méthodes élémentaires que pour chaque ensemble, la dimension de Hausdorff dépend de manière continue d'un paramètre, qu'elle est Lebesgue constante presque partout et est auto-similaire. Ce sont donc des ensembles fractals. De plus, on donne une description complète des intervalles où leur dimension est constante. Les méthodes et techniques des preuves utilisent des outils provenant de dynamique symbolique, combinaîoire des mots et beta-shift.

Dans cette thèse on définit et étudie un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d'Arakelov qui, d'une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d'autre part, sont susceptibles d'applications à la théorie de l'approximation diophantienne.<br /><br />La plus grande partie du texte est consacrée à l'élaboration d'une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de «formules de Hilbert-Samuel» pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sous-schémas «lisses avec multiplicités») on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d'un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le «théorème de Hilbert-Samuel arithmétique» de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l'utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d'interpolation.<br /><br />Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d'approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d'un critère classique d'indépendance algébrique dont l'originalité est qu'elle n'utilise plus de théorie de l'élimination mais uniquement des techniques de théorie de l'intersection arithmétique.

Le point de départ de cette thèse est l'étude du problème de Lehmer en dimension supérieure à deux. Le but ici est de trouver dans le cadre plus général du groupe multiplicatif $G_m^n$, des bornes inférieures pour la hauteur de sous-variétés de petite dimension, ou plutôt de petite codimension. <br /><br />Dans un premier temps nous regroupons un certain nombre de résultats plus ou moins connus sur les sous-groupes algébriques et le comportement des sous-variétés après multiplication par un entier dans $G_m^n$. Par la suite, nous montrons des minorations de type arithmétique et géométrique pour les sous-variétés de codimension 1 et 2 de $G_m^2$ et $G_m^3$ respectivement. A la différence de ce qui est fait dans les travaux antérieurs de F. Amoroso et S. David, concernant les sous-variétés de codimension différente de 1, nous n'utilisons pas de descente finale pour conclure nos preuves, mais un nouvel argument géométrique. Ceci simplifie grandement la démarche, et apporte de réelles améliorations quantitatives dans ces cas étudiés.<br /><br />Nous nous intéressons enfin à l'étude des petits points d'une sous-variété. Etant donnée une surface $V$ de $G_m^3$ géométriquement irréductible, nous montrons qu'en dehors d'un nombre fini de translatés de tores exceptionnels inclus dans $V$, dont nous majorons la somme des degrés, tous les points sont de hauteur minorée par une quantité quasi-optimale $\epsilon(V)>0$, essentiellement linéaire en l'inverse du degré de $V$, chose que l'on ne sait pas faire dans le cas général.

Nous etudions la fonction de Artin qui apparait dans la version forte du theoreme d'approximation de Artin. Nous montrons que cette fonction n'est en general pas majoree par une fonction affine comme cela a ete conjecture. Nous faisons le lien avec un resultat d'approximation diophantienne dans le corps des series en plusieurs variables.

Le but de la thèse est d'établir une version quantitative du théorème suivant : toute sous-variété d'une variété abélienne n'admet qu'un nombre fini d'approximations d'exposant strictement positif. Cet énoncé a été obtenu par Faltings en 1991 ; la majeure partie des outils qu'il utilise sont communs avec sa preuve de l'ex-conjecture de Mordell-Lang. Il implique en particulier une extension du théorème de Siegel conjecturée par Lang : toute variété abélienne n'a qu'un nombre fini de points entiers. On utilise la méthode de Vojta en suivant les travaux de Rémond (version quantitative de Mordell-Lang) : le coeur de la thèse consiste à établir une inégalité à la Vojta explicite ; on établit ensuite une inégalité à la Mumford avant d'en déduire un décompte des approximations exceptionnelles. Toutefois, le cas où la variété approchée contient des translatés de sous-variétés abéliennes non nulles nécessite d'imposer une condition supplémentaire pour parvenir à un décompte explicite : sans ces conditions, un tel décompte impliquerait dans certains cas un résultat effectif, qui semble hors de portée à l'heure actuelle.

: La théorie géométrique des invariants constitue un domaine central de la géométrie algébrique d'aujourd'hui : développée par Mumford au début des années soixante, elle a conduit à des progrès considérables dans l'étude des variétés projectives, notamment par la construction d'espaces de modules. Dans les vingt dernières années des interactions entre la théorie géométrique des invariants et la géométrie arithmétique -- plus précisément la théorie des hauteurs et la géométrie d'Arakelov -- ont été étudiés par divers auteurs (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). Dans cette thèse nous nous proposons d'un côté d'étudier de manière systématique la théorie géométrique des invariants dans le cadre de la géométrique d'Arakelov ; de l'autre de montrer que ces résultats permettent une nouvelle approche géométrique (distincte aussi de la méthode des pentes développée par Bost) aux résultats d'approximation diophantienne, tels que le Théorème de Roth et ses généralisations par Lang, Wirsing et Vojta.