Darbe sprendžiama antros eilės diferencialinė lygtis Rungės ir Kutos metodu, polinominio aproksimavimo metodu. Abiem atvejais gauti rezultatai palyginami. Metodo esmė:visą nepriklausomo kintamojo intervalą suskirstome į atskirus „kalnelius“, kuriuos sudaro kosinusinuso kvadratai padauginti iš polinomo. „Kalneliai“ persidengia, sudarydami vadinamąją „tilto“ funkciją, kuri ir apytiksliai aprašo ieškomąją funkciją. Šios funkcijos visos aukštesnės eilės išvestinės yra tolydžios, todėl šį metodą pritaikome spręsdami modifikuotą antros eilės diferencialinės lygties kraštinių reikšmių uždavinį, kurį šiame darbe pavadinome vidinių reikšmių uždaviniu. Metodą išbandėme su konkrečia diferencialine lygtimi. / The paper dealt with the second order differential equations and Runge Kut method, polynomial approximation method. In both cases, the solutions to compare answers. Principle: all independent variables range divides into separate 'humps', which is multiplied by the cosine squares polynomial. "Slide" overlap forming called the 'bridge' function, which is about an inventory and looking for a function. These functions are all higher order derivatives are continuous, so this method of solving a modified match of the second order differential equation, the extreme values of the task that the work of this named task of the inner meanings. Tried the method with a specific differential equation.

Sudaryta ir išbandyta Matchad‘o programiniu paketu Gauso funkcijų splino programa glodinanti didelio matavimo skaičiaus eksperimentinį masyvą. Glodinimo funkciją sudaro polinomų ir Gauso funkcijų sandaugos suma. Glodinimo procedūra suvedama į algebrinių lygčių sistemą neapibrėžtiems koeficientams Cn,l rasti. Sudaryta Matchad‘o programa, kuri panaudojus suglodintą funkciją apruoksimuoja ją tik teigiamų Gauso funkcijų suma.Šis uždavinys realizuotas programa, kuri remiasi didžiausio nuolydžio metodu. Glodinimo ir aproksimavimo rezultatai tenkina eksperimentatorių reikalavimus. / Formed and, used MathCad software, tested Gauss function spline program, which smoothes big measure number experimental array. Smoothing function contains polynomial and Gauss functions multiplication sum. Smoothing procedure is reduced to algebraic equation system to find indeterminate coefficients Cn,l. Created MathCad program, which, by using smoothed function, approximates it to positive Gauss functions sum. This task was solved with program, which refers to biggest pitch method. Smoothing and approximation results fit experimenters’ requirements.

Šiais laikais vis daugiau domimasi daugiamačių duomenų aproksimavimo teorija. Daugiamatėje erdvėje aproksimavimo teorija palčiai kur taikoma, pavyzdžiui, skaitinių metodų analizėje, bangų analizėje, signalų apdorojime, įvairiose informacinių technologijų sistemose, kompiuterių grafikoje, astronomijoje, naftos klodų tyrinėjime. Ši sritis viliojanti, nes didelė dalis klasikinės matematikos sunkiai pritaikoma daugiamačiams uždaviniams analizuoti. Taigi senoms problemoms spręsti reikalingi nauji įrankiai. Funkcijų aproksimavimo uždavinių gausu įvairiose matematikos, fizikos ir technikos srityse. Gausu ir jų sprendimų būdų bei metodų. Nesunkiai šie uždaviniai sprendžiami, kai funkcija priklauso nuo vieno ar dviejų kintamųjų. Tačiau realiame gyvenime naudojamos funkcijos turi daug daugiau nežinomųjų. Didėjant kintamųjų skaičiui uždavinio sudėtingumas taip pat auga. Pavyzdžiui, kai funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, ją galima pavaizduoti plokštumoje kaip kreivę. Dviejų kintamųjų funkciją atitinka paviršius, nubrėžtas trimatėje erdvėje. Funkcijų, kurios priklauso nuo trijų ir daugiau kintamųjų, vaizdavimas jau sukelia problemų, nes žmogus nebegali suvokti didesnio matumo erdvės. Kadangi trimatę erdvę galima pavaizduoti plokštumoje, manoma, kad panašiu principu keturmatę erdvę galima pavaizduoti trimatėje, o šią vėl plokštumoje. Jei pavyktų sugalvoti tokį metodą, erdvės matumas nebesukeltų problemų. Visgi trijų kintamųjų funkciją bandoma vaizduoti dviem būdais: 1. pateikti... [toliau žr. visą tekstą] / This Master‘s work covers a mathematical analysis system which can visualize multivariate data layers, approximate multi-dimensional functions by polynomials, estimate approximation accuracy and present few the most effective aproximation models. Multivariate approximation theory is an increasingly active research area today. It encompasses a wide range of tools for multivariate approximation such as multi-dimensional splines and finite elements, shift-invariant spaces and radial-basis functions. Approximation theory in the multivariate setting has many applications including numerical analysis, wavelet analysis, signal processing, geographic information systems, computer aided geometric design and computer graphics. The field is fascinating since much of the mathematics of the classical univariate theory does not straightforwardly generalize to the multivariate setting, so new tools are required. Graphs of one variable functions are frequantly displayed as curves, bivariate functions - as contour plots. In generally it is very hard to display or realize function in the multivariate setting. However, some efforts have been made to render functions of precisely three variables. Two obvious approaches suggest themselves: 1. Display a number of cross sections where one of the variables is held constant, or, 2. display contour surfaces where the value of function equals some constant. We will use the first method modification in this Master‘s work. All function variables except... [to full text]

Subject of this paper is triangulation of given domain also called as mesh generation. Overview of main mesh types (structured, unstructured and hybrid) is given. Groups of triangulation methods are defined and include collective triangulation, incremental triangulation, pliant mesh generation with post-triangulation and plaint mesh generation with retriangulation. Delaunay triangulation is described in greater detail and variuos Delaunay triangulation algorithms are presented including use of Delaunay triangulation for anisotropic mesh generation and method to generate Constrained Delaunay triangulation. Greedy insertion Delaunay and data dependent allgorithms are developed for hight fields surface aproximation. Significant improvements are made to these algorithms including faster recalculation, node selection and use of supplementary data sets in order to maximise efficiency of calculations. Main criteria to evaluate developed algorithms is overall error of approximation and speed of calculation. Data dependent algorithm generates better quality mesh (less approximation error), however Delaunay triangulation algorithm is significantly faster. Results and conclusions are presented at the end of paper.

Šiame darbe pasiūlyta pakeisti kreivę diapazone 1 ≤ N ≤ 107 trimis laužtinėmis tiesėmis. Tam tikslui nustatyta kokiame ilgaamžiškumo diapazone galioja (M.Daunio) pasiūlyta priklausomybė. Darbe naudojami analitiniai skaičiavimo metodai, panaudojant eksperimentinių tyrimų rezultatus.Pateikta nuovargio kreivių sudarymo schema esant mažacikliam standžiam deformavimui. Iš pradinių nuovargio kreivių eksperimentinių duomenų ir ε2 skaičiavimo priklausomybės analizės pasiūlyta supaprastinta nuovargio kreivės viršutinės galiojimo ribos (deformacijos ε2 ) skaičiavimo metodika, įgalinanti su praktikai tinkamu tikslumu nustatyti šį parametrą. / For determination of lifetime of structural elements number cycles Nc before fatigue crack appearance must be known. Dependence of cyclic plastic strains δ on the number of cycles Nc can be expressed by Coffin`s law. but determining of material cyclic constants C and m for cyclic non – stable materials is complicated because in this case the cyclic plastic strain δ depends on number of cycle N. Therefore an equation was proposed by M. Daunys, which approximately may be used for determination lifetime on the interval of cyclic strains .

Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas. / In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas. / In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

Dažnai realių stochastinių sistemų negalime aprašyti Markovo procesais, nes operacijų trukmės nėra pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį. Šiame darbe nagrinėjome sistemų aproksimavimo galimybes, taikant eksponentinių skirstinių mišinius ir sąsūkas. Skirstinių aproksimavimui taikėme Erlango mišinius ir Kokso skirstinį. Skirstinių aproksimavimą pritaikėme aptarnavimo sistemų M/G/1 ir G/M/1 tyrimui. Atlikti teoriniai skaičiavimai parodė, kad gaunamas aukštas aproksimavimo tikslumas. Aptarnavimo sistemų modeliavimui naudojome skaitmeninio Markovo procesų modeliavimo sistemą naudojant įvykių kalbą. Darbe sukurti metodai leidžia tiksliai apskaičiuoti sistemų charakteristikas, naudojant aproksimavimą eksponentiniais mišiniais ir sąsūkomis. Sukurta programinė įranga leidžia automatizuoti sistemų M/G/1 ir G/M/1 modeliavimą, naudojant aproksimavimą eksponentiniais mišiniais. Sistemos G/G/1 ( neištiriamos analiziniais metodais ) aproksimavimo rezultatai leidžia tikėtis, kad šiame darbe nagrinėjamas metodas gali būti naudojamas ir sudėtingų sistemų modeliavime. / Application of numerical methods with approximation allows to extend a class of systems represented by Markovian processes under investigation compared with analytical methods. In this paper we used approximation of positive distribution functions, using phase-type distributions: mixtures of Erlang distributions and Coxian distribution – both 2 and 3 moments-matching algorithms was used. Analysis of M/G/1 and G/M/1 queueing systems showed, that moment-based queueing approximation gives high accuracy. In purpose to compute characteristics of M/G/1 and G/M/1 systems described in an event-based language, algorithms and software was created. Comparison to simulation results shows, that event-based language enables to get more precise results. Analysis of G/G/1 systems showed, that moment-based approximation can be used to analyse difficult queueing systems.

Dažnai realių stochastinių sistemų dinamikos negalime aprašyti Markovo procesu, nes operacijų trukmės paprastai nėra pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį. Darbe buvo išnagrinėtas tokių atsitiktinių dydžių aproksimavimas dviejų eksponentinių atsitiktinių dydžių mišiniu. Paprasčiausioms sistemoms kartais galima gauti analizines formules sistemos būsenų stacionarioms tikimybėms suskaičiuoti, tačiau daugeliui sistemų to padaryti negalima. Būtent tokių sistemų tyrimui, panaudojus aproksimavimo algoritmus, buvo sukurta programinė įranga, kuri leidžia modeliuoti daugelį stochastinių sistemų. Magistro darbo užduotis: Sukurti stochastinių sistemų modelių aproksimavimo Markovo modeliais algoritmus ir programinę įrangą. Buvo iškelti tokie tikslai: Ištirti pasiskirstymo funkcijų aproksimavimo eksponentinių skirstinių mišiniu galimybes; Sukurti universalią programinę priemonę, kuri pagal pateiktą sistemos aprašymą, skaičiuotų jos stacionariąsias tikimybes bei funkcionavimo charakteristikas; Sukurtos programinės priemonės pagalba, sudaryti ir ištirti aptarnavimo sistemų ir vertybinių popierių įkainojimo modelius. Sukurta programinė įranga pasižymi universalumu ir paprastumu vartotojui. Sistemos funkcionavimą galima aprašyti turint minimalias C++ Builder programavimo kalbos žinias. Magistro darbe sukurta programinė įranga buvo pritaikyta aptarnavimo sistemoms modeliuoti, akcijų kainų dinamikai aprašyti bei opcionams įkainoti. / Application of numerical methods with approximation allows to extend a class of systems represented by Markovian processes under investigation compared with analytical methods. So a goal was stated to create algorithms for modeling stochastic systems approximating them by Markovian models. To reach this goal the following tasks were solved: Analyze possibilities to approximate stochastic systems’ models by Markovian models; Create a multipurpose software that would calculate stationary probabilities for given system described in an event-based language; Apply created software for models of service systems and stock valuation. Created software is universal and easy-to-use for anyone that has at least basic knowledge in C++ language. This software was applied for modeling of service systems, for description of share price variability as Markovian process and for option pricing.