Duffingo lygtis – tai antro laipsnio netiesinė diferencialinė lygtis. Tai yra dinaminė sistema, kurioje nagrinėjamas chaotinis elgesys. Magistro darbe mes išnagrinėjome Duffingo lygtį su pradinėmis sąlygomis ir tyrėme lygties sprendinių sinchronizavimą. Buvo sukurta programa, kuri sprendžia duotą uždavinį laiko t intervale ir apskaičiuoja sprendinių skirtumus. Šią programą modifikavome, priklausomai nuo reikalaujamų rezultatų. Tai padėjo greičiau surasti reikalingus duomenis ir jas panaudoti brėžiniuose ir išvadose. Pirmoje dalyje mes išnagrinėjome Duffingo lygties sprendinius ir jų skirtumus. Skaitinio modeliavimo rezultatus analizavome naudodami grafikus. Buvo nustatyti tokie parametrai, kada visi sprendiniai artėja į vieną sprendinį. Buvo išsiaiškinta sprendinių konvergavimo priklausomybė nuo šių parametrų. Antroje dalyje mus domino laikas, kai sprendiniai sutampa. Priklausomai nuo skirtingų parametrų sutapimo laikas elgiasi skirtingai. Trečioje dalyje nagrinėjome Duffingo lygtį, kai ir . Apskaičiavome sprendinių periodus bei išanalizavome sprendinių energijos keitimą. Patikrinome energijos tvermės dėsnį. / The Duffing equation is a non-linear second-order differential equation. It is an example of a dynamical system that exhibits chaotic behavior. In my final degree project we have investigated Duffing‘s equation with initial conditions and researched synchrony of solutions. A special program was created, it solves deteminated problem in t time range and finds the difference between answers. Depending on results, this program was modified in order to get the results needed. In first part we have looked at Duffing equation‘s answers and their difference. Numeric modeling results were studied using graphs. Parameters were chosen for all results be converged to one solution only. As well, we studied their convergence depending on those parameters. In the second part, we were interested in the time period when results match. The third part was dedicated to Duffing‘s equation, when and . We found periods for our solutions and researched their energy. Law of the energy conservation was double-checked as well.

Darbe sprendžiama antros eilės diferencialinė lygtis Rungės ir Kutos metodu, polinominio aproksimavimo metodu. Abiem atvejais gauti rezultatai palyginami. Metodo esmė:visą nepriklausomo kintamojo intervalą suskirstome į atskirus „kalnelius“, kuriuos sudaro kosinusinuso kvadratai padauginti iš polinomo. „Kalneliai“ persidengia, sudarydami vadinamąją „tilto“ funkciją, kuri ir apytiksliai aprašo ieškomąją funkciją. Šios funkcijos visos aukštesnės eilės išvestinės yra tolydžios, todėl šį metodą pritaikome spręsdami modifikuotą antros eilės diferencialinės lygties kraštinių reikšmių uždavinį, kurį šiame darbe pavadinome vidinių reikšmių uždaviniu. Metodą išbandėme su konkrečia diferencialine lygtimi. / The paper dealt with the second order differential equations and Runge Kut method, polynomial approximation method. In both cases, the solutions to compare answers. Principle: all independent variables range divides into separate 'humps', which is multiplied by the cosine squares polynomial. "Slide" overlap forming called the 'bridge' function, which is about an inventory and looking for a function. These functions are all higher order derivatives are continuous, so this method of solving a modified match of the second order differential equation, the extreme values of the task that the work of this named task of the inner meanings. Tried the method with a specific differential equation.

Ištirta ketvirtos eilės paprastoji diferencialinė lygtis, sukonstruoti jos sprendiniai absoliučiai ir tolygiai konverguojančiomis laipsninėmis eilutėmis. / The fourth succession’s ordinary differential equation was explored, its assertions were constructed in to absolutely and gradually convergent degree rows.

Šiame darbe nagrinėta išsigimstanti dalinių išvestinių diferencialinių lygčių sistema su laipsniniu eilės išsigimimu. Rasti sistemos sprendiniai yra analizinės funkcijos išsigimimo daugdarų taškų aplinkose. Sprendiniai išskleisti laipsninėmis eilutėmis, kintamojo pagal kurį išsigimsta sistemos eilė laipsniais. / In this work, there was analyzed the system of partial differential equations with gradual degeneration of row. There were found the solutions of analytical function in manifold point environments. The solutions are expanded by gradual lines, by variable where system number of degrees degenerates.

Šiame tiriamajame darbe nagrinėjama bakterijos Salmonella enterica Serovar Typhimurium inkubacijos priklausomybė nuo inkubacinio periodo. Trumpai aptariami bakterijų inaktyvavimą aprašantys dažniausiai naudojami modeliai, skaitiškai išreiškiama lag fazė, randama jos ilgį aprašantį funkciją. Toliau vertinamos tiesinė ir liekamoji dalys bei išvedama inaktyvavimą aprašanti lygtis. Darbas baigiamas išvestinės formulės praktiniu panaudojimu ir rezultatų aptarimu. / Evaluation of Salmonella enterica Serovar Typhimurium inactivation by photosensitization and impact modeling The aim goal of this research is to evaluate the influence of irradiation of UV light and incubation period on Salmonella enterica Serovar Typhimurium bacteria. Shortly discussed most commonly used mathematical models of bacterial inactivation, expressed lag phase and its function. Next step is evaluation of line part and tail of inactivation (mortality) curve. At the end of the research the inactivation formula is deduced and the results are discussed.

Various real processes, occurring in the nature, technology, etc., are usually described by differential equations. Due to the development of computer software, computers have become the main tool for solving problems of different fields. They enable not only to solve complex differential equations or their systems, but also to analyze the dependence of differential equations solutions on various parameters and initial values. Up to the present many methods for the solution of differential equations have been developed, therefore, the user can solve differential equation, using several different methods. Different methods of solution enable to avoid various mistakes and to reduce errors. Differential equations can be solved not only using numerical methods, but also by applying methods of algebraic operator equations. When the latter method is being used, solutions are expressed in power series, the convergence of which has to be analyzed separately. This paper includes the analysis of Mathieu-type differential equations solutions dependence on initial conditions and parameters, as well as the establishment of solutions attractor zones and curves, which separate different attractor zones. It is very important to indicate the most exact crossing limits among different attractor zones. In order to avoid huge errors, we carried out the research by using two methods: operator and Runge-Kutta.

Baigiamajame darbe išnagrinėta išsigimstanti ketvirtos eilės paprastoji diferencialinė lygtis naudojant faktorizacijos, diferencialinių lygčių sprendimo keitinių ir skleidinių laipsninėmis eilutėmis metodus. Gauti formalūs lygties sprendiniai išreikšti dviejų eilučių sandauga. Pirmoji iš jų yra išskleista kintamojo, pagal kurį išsigimsta diferencialinės lygties eilė, apibendrinta laipsnine eilute. Antroji eilutė užrašyta specialios funkcijos – potencialo – neneigiamais laipsniais. / In this work, we study the degenerate ordinary differential equation of the fourth-order. Using the factorization method, the methods of substitutions and expansions in power series, we obtain the formal solutions, and express them as a product of two series. The first of them is presented by general power series on the variable which induces the degenerative for differential equation’s order. Second series is written down by non-negative powers of the special function, i.e., in the non-negative powers of the potential function.

Bakalauro darbe nagrinėjama nehomogeninė šilumos laidumo lygtis. Darbo tikslas rasti lygties bendruosius sprendinius, kurie tenkintų duotąją pradinę ir kraštines sąlygas. Ieškant sprendinių mišrusis uždavinys nehomogeninei lygčiai su nehomogenine pradine sąlyga suvestas į du mišriuosius uždavinius - homogeninei lygčiai su nehomogenine pradine sąlyga ir nehomogeninei lygčiai su homogenine pradine sąlyga. Remdamiesi gautais šių uždavinių sprendiniais, gavome mišriojo uždavinio nehomogeninei šilumos laidumo lygčiai sprendinius. / There was analyzed non-homogeneous heat conduction equation in the bachelor work. This work objective is to find equation general solutions, which have to fulfill of the given initial and boundaries conditions. The mixed problem to non-homogeneous equation with non-homogeneous initial was piece together in two mixed problems – to homogeneous equation with non-homogeneous initial and to non-homogeneous equation with homogeneous initial when we were searching solutions. Based on the obtained these solutions, we got solutions of the mixed problem to non-homogeneous heat conduction equation.

Baigiamajame darbe nagrinėjama paprastoji antros eilės diferencialinė lygtis. Jos sprendinių gavimui ir analizei naudojamas faktorizacijos metodas – ieškomosios funkcijos skaidymas dauginamaisiais bei kiti tradiciniai paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo metodai: nepriklausomo kintamojo keitimo metodas, konstantų varijavimo metodas. / In this work is analyzed second-order differential equation. I use factorization method and other traditional ordinary differential equations approaches as an example: independent variable exchange method, variation of constants method and direct integration, to find solutions of the equation.

Darbe yra nagrinėjama vienmačių homogeninių difuzinių procesų parametrų, įeinančių į difuzijos ir poslinkio koeficientus, vertinimas. Vertinimui naudojama stacionariųjų tankių išraiškos. Panaudojant skaitinius metodus lygtys yra modeliuojamos kompiuteriu, skaičiavimams naudojant SAS statistikos paketą. / We consider the estimation of unknown parameters in the drift and diffusion coefficients of a one-dimension diffusion X when the observation is a discrete sample. For the estimation we use stationary distribution function. Using numerical methods we approximate SDE and realize the algorithm with computer.