Les limites d'échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'uneloi stable, un phénomène d'universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l'arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu'avec grande probabilité, un sommet de l'arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l'arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d'un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s'intersectent pas intérieurement, et remarquons qu'elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d'obtenir d'intéressantes conséquences de nature combinatoire.

Dans la présente thèse nous étudions l'extraction d'arbres dans des graphes arêtes-coloriés.Nous nous concentrons sur la recherche d'arbres couvrants proprement arête-coloriés et faiblement arête-coloriés, notée PST et WST. Nous montrons que les versions d'optimisation de ces problèmes sont NP-Complete dans le cas général des graphes arêtes-coloriés, et nous proposons des algorithmes pour trouver ces arbres dans le cas des graphes arêtes-coloriés sans cycles proprement arêtes-coloriés.Nous donnons également quelques limites de nonapproximabilité. Nous proposons des conditions suffisantes pour l'existence de la PST dans des graphes arêtes-coloriés (pas forcément propre), en fonction de différents paramètres de graphes, tels que : nombre total de couleurs, la connectivité et le nombre d'arêtes incidentes dedifférentes couleurs pour un sommet. Nous nous intéressons aux chemins hamiltoniens proprement arêtes-coloriés dans le casdes multigraphes arêtes-coloriés. Ils présentent de l'intérêt pour notre étude, car ce sontégalement des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes pour qu'un multigraphe contienne un chemin hamiltonien proprement arêtes-coloriés, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré d'arêtes, etc. Puisque l'une des conditions suffisantes pour l'existence des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés est la connectivité, nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour la k-connectivité-propre. Nous énonçons plusieurs conjectures pour les graphes généraux et bipartis, et on arrive à les prouver pour k = 1. / In this thesis, we investigate the extraction of trees from edge-colored graphs. We focus on finding trees with properties based on coloring. Namely, we deal with proper and weak proper spanning trees, denoted PST and WST.- We show the optimization versions of these problems to be NP-hard in the general case of edge-colored graphs and we provide algorithms to find these trees in the case of edge-colored graphs without properly edge-colored cycles. We also provide some nonapproximability bounds.- We investigate the existence of a PST in the case of edge-colored graphs under certain conditions on the graph, both structural and related to the coloration. We consider sufficient conditions that guarantee the existence of a PST in edge-colored (not necessarily proper) graphs with any number of colors. The conditions we consider are combinations ofvarious parameters such as : total number of colors, number of vertices, connectivity and the number of incident edges of different colors to the vertices.- We then consider properly edge-colored Hamiltonian paths in the edge-colored multigraphs, which are relevant to our study since they are also PST. We establish sufficient conditions for a multigraph to contain a proper edge-colored Hamiltonian path, depending on several parameters such as the number of edges, the degree of edges, etc.- Since one of the sufficient conditions for the existence of proper spanning trees is connectivity, we prove several upper bounds for the smallest number of colors needed to color a graph such that it is k-proper-connected. We state several conjectures for general and bipartite graphs, and we prove them for k = 1.

Partout à travers le monde, la croissance urbaine a tendance à s’accompagner d’une hausse des problèmes environnementaux et d’une aggravation des inégalités sociales. Pour lutter contre ce phénomène, de nouvelles stratégies de développement urbain durable doivent être développées. Ce mémoire se penche sur le concept innovateur des arbres nourriciers, plantés en systèmes productifs au sein d’espaces verts publics de quartiers à Villa El Salvador, au Pérou. Des groupes de discussion et des entrevues semi-dirigées réalisées avec la population locale ont permis d’identifier les principaux facteurs favorables et contraignants influençant le développement de cette stratégie de production alimentaire. La performance financière a été évaluée pour deux modèles de systèmes arborés en calculant la valeur nette actualisée (VNA), le ratio bénéfices : coûts (B : C) et le flux monétaire annuel équivalent (FMAE). Les résultats montrent la pertinence, d’un point de vue social et financier, d’intégrer des arbres nourriciers au sein d’espaces verts publics urbains. / All over the world, urban growth tends to go in hand with an exacerbation of environmental problems and aggravated social inequalities. To fight against that phenomenon, new strategies fostering the sustainable development of cities must be implemented. This thesis addresses the innovative concept of food trees, planted in productive systems within local public green areas in Villa El Salvador, Peru. Focus groups and semi-directed interviews conducted with the local population allowed to identify the most important favorable and restrictive factors influencing the development of this urban food production strategy. The financial performance was evaluated for two designs of productive tree systems through the calculation of the Net Present Value (NPV), the Benefit-Cost Ratio (BCR), and the Equivalent Annual Cash Flow (EACF). Results provide evidence advocating the social and economic relevancy of integrating food trees within urban public green areas.

Les coupes de jardinage en forêt feuillue visent à maintenir une structure irrégulière tout en maintenant ou améliorant la vigueur et la qualité des peuplements résiduels. Au Québec, le martelage lors de ces coupes est fait depuis 2005 à l’aide d’un système de classification basé sur la vigueur des arbres, mais ce système n’a jamais été évalué à l’aide d’indices de vigueur quantitatifs. Afin de bâtir un indice d’efficacité de croissance, nous avons tout d’abord établi des relations pour estimer la surface foliaire de l’érable à sucre (Acer saccharum Marsh.) et du bouleau jaune (Betula alleghaniensis Britt.). Nous avons échantillonné 31 érables à sucre et 20 bouleaux jaunes sur une station, et 79 érables à sucre sur deux autres stations couvrant une large gamme de diamètre et de surface foliaire. Les estimateurs de la surface foliaire correspondaient à la surface d’aubier, déterminée à partir de différentes méthodes, et diverses mesures de cime. La surface de la cime était un très bon estimateur de la surface foliaire en plus de pouvoir être évaluée indépendamment des conditions de station tout en étant accessible, peu coûteuse et rapide à évaluer. Pour vérifier le lien entre les classes de vigueur associées au système de classification basé sur la probabilité de mortalité et des indices de vigueur quantitatifs, nous avons échantillonné des arbres provenant de six stations réparties sur l’ensemble de la zone des forêts feuillues du Québec. Les classes de vigueur n’étaient pas reliées à l’indice d’efficacité de croissance. Nous n’avons également pas pu associer un changement de croissance radiale à un changement de classe de vigueur. Par ailleurs, l’indice d’efficacité de croissance était faiblement relié aux caractéristiques dendrométriques des arbres, ce qui aurait pu faciliter son utilisation lors des opérations de martelage. Nous recommandons de continuer à utiliser le système de classification à court terme, mais sa simplification faciliterait son utilisation sans en affecter sa précision.

La modélisation et la spécification de systèmes distribués nécessitent une adaptation des modèles logiques utilisés pour leur représentation. Les notions<br />d'emplacements et de ressources jouent notamment un rôle centrale dans la représentation de ces systèmes.<br /><br />On propose tout d'abord à la proposition d'une première logique, la logique linéaire distribuée et mobile (DMLL) qui intègre les notions de distribution et de mobilité. On propose également une sémantique à la Kripke et un calcul des séquents supportant l'élimination des coupures pour cette logique.<br /><br />Cette première étude a mis en avant le rôle centrale de la sémantique pour la modélisation de systèmes distribués. On propose alors la structure des arbres de ressources, des arbres dont les noeuds possèdent des labels et contiennent des ressources appartenant à<br />monoïde partiel de ressources et BI-Loc, une logique pour raisonner sur ces arbres, un langage permettant de modifier les arbres et son axiomatisation correcte et complète sous forme de triplets de Hoare. Concernant BI-Loc, on détermine des conditions suffisantes pour décider de la satisfaction et de la validité par model-checking et on développe une méthode de preuves fondée sur les tableaux sémantiques correcte et complète.<br /><br />On montre comment on peut raisonner sur les tas de pointeurs grâce aux arbres de ressources. Enfin, on détermine comment le modèle des arbres partiel peut être utilisé pour représenter et spécifier les données<br />semi-structurées et raisonner sur la transformation de ce type de données.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains processus aléatoires à valeurs dans les arbres continus. Nous définissons d'abord un cadre conceptuel pour cette étude, en construisant une topologie polonaise sur l'espace des R-arbres localement compacts, complets et munis d'une mesure borélienne localement finie. Cette topologie, dite de Gromov-Hausdorff-Prokhorov, permet alors la définition de processus de Markov à valeurs arbre. Nous donnons ensuite une nouvelle construction du processus d'élagage d'Abraham-Delmas-Voisin, qui est un exemple de processus qui prend ses valeurs dans les arbres de Lévy. Notre construction, qui dévoile une nouvelle structure généalogique des arbres de Lévy, est trajectorielle, et permet d'identifier explicitement les transitions du processus d'élagage. Nous appliquons cette description à l'étude de certains temps d'arrêt, comme le premier temps auquel le processus franchit une hauteur donnée. Nous décrivons le processus à cet instant grâce à une nouvelle décomposition de type spinal. Enfin, nous nous intéressons à la fragmentation d'Aldous-Pitman de l'arbre brownien d'Aldous. En particulier, nous étudions, à la suite d'Abraham et Delmas, l'effet de cette fragmentation sur les sous-arbres discrets de l'arbre brownien. Le nombre de coupures nécessaires avant d'isoler la racine, convenablement renormalisé, converge vers une variable aléatoire de Rayleigh ; nous donnons un théorème central limite qui précise les fluctuations autour de cette limite / In this thesis, we study continuum tree-valued processes. First, we define an abstract framework for these processes, by constructing a metric on the space of locally compact, complete R-trees, endowed with a locally finite Borel measure. This topology, called Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology, allows for the definition of tree-valued Markov processes. We then give a new construction of the pruning process of Abraham-Delmas-Voisin, which is an example of a Lévy tree-valued process. Our construction reveals a new genealogical structure of Lévy trees. Furthermore, it is a path wise construction, which describes the transitions of the process explicitly. We apply this description to the study of certain stopping times, such as the first moment the process crosses a given height. We describe the process at that time through a new spinal decomposition. Finally, we focus on the Aldous-Pitman fragmentation of Aldous's Brownian tree. Following Abraham and Delmas, we study the effect of the fragmentation on discrete subtrees of the Brownian tree. The number of cuts needed to isolate the root, suitably renormalized, converges towards a Rayleigh-distributed random variable; we prove a Central Limit Theorem describing the fluctuations around this limit

Nous nous intéressons à trois problèmes issus du monde des arbres aléatoires discrets et continus. Dans un premier lieu, nous faisons une étude générale des arbres de fragmentation auto-similaires, étendant certains résultats de Haas et Miermont en 2006, notamment en calculant leur dimension de Hausdorff sous des hypothèses malthusiennes. Nous nous intéressons ensuite à une suite particulière d’arbres discrets k-aires, construite de manière récursive avec un algorithme similaire à celui de Rémy de 1985. La taille de l’arbre obtenu à la n-ième étape est de l’ordre de n^(1/k), et après renormalisation, on trouve que la suite converge en probabilité vers un arbre de fragmentation. Nous étudions également des manières de plonger ces arbres les uns dans les autres quand k varie. Dans une dernière partie, nous démontrons la convergence locale en loi d’arbres de Galton-Watson multi-types critiques quand on les conditionne à avoir un grand nombre de sommets d’un certain type fixé. Nous appliquons ensuite ce résultat aux cartes planaires aléatoire pour obtenir la convergence locale en loi de grandes cartes de loi de Boltzmann critique vers une carte planaire infinie. / We study three problems related to discrete and continuous random trees. First, we do a general study of self-similar fragmentation trees, extending some results established by Haas and Miermont in 2006, in particular by computing the Hausdorff dimension of these trees under some Malthusian hypotheses. We then work on a particular sequence of k-ary growing trees, defined recursively with a similar method to Rémy’s algorithm from 1985. We show that the size of the tree obtained at the n-th step if of order n^(1/k), and, after renormalization, we prove that the sequence convergences to a fragmentation tree. We also study embeddings of the limiting trees as k varies. In the last chapter, we show the local convergence in distribution of critical multi-type Galton-Watson trees conditioned to have a large number of vertices of a fixed type. We then apply this result to the world of random planar maps, obtaining that large critical Boltzmann-distributed maps converge locally in distribution to an infinite planar map.

L'algèbre géométrique est un outil permettant de représenter et manipuler les objets géométriques de manière générique, efficace et intuitive. A titre d'exemple, l'Algèbre Géométrique Conforme (CGA), permet de représenter des cercles, des sphères, des plans et des droites comme des objets algébriques. Les intersections entre ces objets sont incluses dans la même algèbre. Il est possible d'exprimer et de traiter des objets géométriques plus complexes comme des coniques, des surfaces quadriques en utilisant une extension de CGA. Cependant due à leur représentation requérant un espace vectoriel de haute dimension, les implantations de l'algèbre géométrique, actuellement disponible, n'autorisent pas une utilisation efficace de ces objets. Dans ce manuscrit, nous présentons tout d'abord une implantation de l'algèbre géométrique dédiée aux espaces vectoriels aussi bien basses que hautes dimensions. L'approche suivie est basée sur une solution hybride de code pré-calculé en vue d'une exécution rapide pour des espaces vectoriels de basses dimensions, ce qui est similaire aux approches de l'état de l'art. Pour des espaces vectoriels de haute dimension, nous proposons des méthodes de calculs ne nécessitant que peu de mémoire. Pour ces espaces, nous introduisons un formalisme récursif et prouvons que les algorithmes associés sont efficaces en termes de complexité de calcul et complexité de mémoire. Par ailleurs, des règles sont définies pour sélectionner la méthode la plus appropriée. Ces règles sont basées sur la dimension de l'espace vectoriel considéré. Nous montrons que l'implantation obtenue est bien adaptée pour les espaces vectoriels de hautes dimensions (espace vectoriel de dimension 15) et ceux de basses dimensions. La dernière partie est dédiée à une représentation efficace des surfaces quadriques en utilisant l'algèbre géométrique. Nous étudions un nouveau modèle en algèbre géométrique de l'espace vectoriel $mathbb{R}^{9,6}$ pour manipuler les surfaces quadriques. Dans ce modèle, une surface quadrique est construite par l'intermédiaire de neuf points. Nous montrerons que ce modèle permet non seulement de représenter de manière intuitive des surfaces quadriques mais aussi de construire des objets en utilisant les définitions de CGA. Nous présentons le calcul de l'intersection de surfaces quadriques, du vecteur normal, du plan tangent à une surface en un point de cette surface. Enfin, un modèle complet de traitement des surfaces quadriques est détaillé / Geometric Algebra is considered as a very intuitive tool to deal with geometric problems and it appears to be increasingly efficient and useful to deal with computer graphics problems. The Conformal Geometric Algebra includes circles, spheres, planes and lines as algebraic objects, and intersections between these objects are also algebraic objects. More complex objects such as conics, quadric surfaces can also be expressed and be manipulated using an extension of the conformal Geometric Algebra. However due to the high dimension of their representations in Geometric Algebra, implementations of Geometric Algebra that are currently available do not allow efficient realizations of these objects. In this thesis, we first present a Geometric Algebra implementation dedicated for both low and high dimensions. The proposed method is a hybrid solution that includes precomputed code with fast execution for low dimensional vector space, which is somehow equivalent to the state of the art method. For high dimensional vector spaces, we propose runtime computations with low memory requirement. For these high dimensional vector spaces, we introduce new recursive scheme and we prove that associated algorithms are efficient both in terms of computationnal and memory complexity. Furthermore, some rules are defined to select the most appropriate choice, according to the dimension of the algebra and the type of multivectors involved in the product. We will show that the resulting implementation is well suited for high dimensional spaces (e.g. algebra of dimension 15) as well as for lower dimensional spaces. The next part presents an efficient representation of quadric surfaces using Geometric Algebra. We define a novel Geometric Algebra framework, the Geometric Algebra of $mathbb{R}^{9,6}$ to deal with quadric surfaces where an arbitrary quadric surface is constructed by merely the outer product of nine points. We show that the proposed framework enables us not only to intuitively represent quadric surfaces but also to construct objects using Conformal Geometric Algebra. In the proposed framework, the computation of the intersection of quadric surfaces, the normal vector, and the tangent plane of a quadric surface are provided. Finally, a computational framework of the quadric surfaces will be presented with the main operations required in computer graphics