Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.<br />Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,<br />l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et<br />le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces<br />tant d'un point de vue local que global.<br />Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le<br />problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités<br />d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:<br />les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.<br />D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,<br />appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions<br />précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une<br />approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface<br />paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les<br />singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.<br />Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales<br />et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la<br />courbe singulière des ridges.

Représenter un objet géométrique complexe par un ensemble de primitives simples est une tâche souvent fondamentale, que ce soit pour la reconstruction et la réparation de données, ou encore pour faciliter la visualisation ou la manipulation des données. Le choix de la ou les primitives, ainsi que celui de la méthode d'approximation, impactent fortement les propriétés de la représentation de forme qui sera obtenue.Dans cette thèse, nous utilisons les boules comme seule primitive. Nous prenons ainsi un grand soin à décrire les unions finies de boules et leur structure. Pour cela, nous nous reposons sur les faisceaux de boules. En particulier, nous aboutissons à une description valide en toute dimension, sans hypothèse de position générale. En chemin, nous obtenons également plusieurs résultats portant sur les tests d'inclusion locale et globale dans une union de boules.Nous proposons également une nouvelle méthode d'approximation par union finie de boules, l'approximation par boules à (delta,epsilon)-près. Cette approche contraint l'union de boules à couvrir un sous-ensemble de la forme d'origine (précisément, un epsilon-érodé), tout en étant contenu dans un sur-ensemble de la forme (un delta-dilaté). En nous appuyant sur nos précédents résultats portant sur les unions de boules, nous démontrons plusieurs propriétés de ces approximations. Nous verrons ainsi que calculer une approximation par boules à (delta,epsilon)-près qui soit de cardinal minimum est un problème NP-complet. Pour des formes simples dans le plan, nous présentons un algorithme polynomial en temps et en espace qui permet de calculer ces approximations de cardinal minimum. Nous concluons par une généralisation de notre méthode d'approximation pour une plus large variété de sous-ensembles et sur-ensembles. / Describing a complex geometric shape with a set of simple primitives is often a fundamental task for shape reconstruction, visualization, analysis and manipulation. The type of primitives, as well as the choice of approximation scheme, both greatly impact the properties of the resulting shape representation.In this PhD, we focus on balls as primitives. Using pencils of balls, we carefully describe finite unions of balls and their structure. In particular, our description holds in all dimension without assuming general position. On our way, we also establish various results and tools to test local and global inclusions within these unions.We also propose a new approximation scheme by union of balls, the (delta,epsilon)-ball approximation. This scheme constrains the approximation to cover a core subset of the original shape (specifically, an epsilon-erosion), while being contained within a superset of the shape (a delta-dilation). Using our earlier results regarding finite unions of balls, we prove several properties of these approximations. We show that computing a cardinal minimum (delta,epsilon)-ball approximation is an NP-complete problem. For simple planar shapes however, we present a polynomial time and space algorithm that outputs a cardinal minimum approximation. We then conclude by generalizing the approximation scheme to a wider range of core subsets and bounding supersets.