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Equações de onda generalizadas e quantização funtorial para teorias de campo escalar livre / Generalized wave equations and functorial quantization for free scalar field theories.João Braga de Góes e Vasconcellos 07 April 2016 (has links)
Nesta dissertação apresentamos um método de quantização matemática e conceitualmente rigoroso para o campo escalar livre de interações. Trazemos de início alguns aspéctos importantes da Teoria de Distribuições e colocamos alguns pontos de geometria Lorentziana. O restante do trabalho é dividido em duas partes: na primeira, estudamos equações de onda em variedades Lorentzianas globalmente hiperbólicas e apresentamos o conceito de soluções fundamentais no contexto de equações locais. Em seguida, progressivamente construímos soluções fundamentais para o operador de onda a partir da distribuição de Riesz. Uma vez estabelecida uma solução para a equação de onda em uma vizinhança de um ponto da variedade, tratamos de construir uma solução global a partir da extensão do problema de Cauchy a toda a variedade, donde as soluções fundamentais dão lugar aos operadores de Green a partir da introdução de uma condição de contorno. Na última parte do trabalho, apresentamos um mínimo da Teoria de Categorias e Funtores para utilizar esse formalismo na contrução de um funtor de segunda quantização entre a categoria de variedades Lorentzianas globalmente hiperbólicas e a categoria de redes de álgebras C* satisfazendo os axiomas de Haag-Kastler. Ao fim, retomamos o caso particular do campo escalar quântico livre. / In this thesis we present a both mathematical and conceptually rigorous quantization method for the neutral scalar field free of interactions. Initially, we introduce some aspects of the Theory of Distributions and we establish some points of Lorentzian geometry. The rest of the work is divided in two parts: in the first one, we study wave equations on globally hyperbolic Lorentzian manifolds, hence presenting the concept of fundamental solutions within the context of locally defined wave equations. Next, we progressively construct fundamental solutions for the wave operator from the Riesz distribution. Once established a solution to the wave equation in a neighbourhood of a point of the manifold, we move forward to produce a global solution from the extension of the Cauchy problem to the whole manifold. At this stage, fundamental solutions are replaced by Green\'s operators by the imposition of appropriate boundary conditions. In the last part, we present a minimum on the Theory of Categories and Functors. This is followed by the use of this formalism in the development of a second-quantization functor between the category of Lorentzian globally hyperbolic manifolds and the category of nets of C*-algebras obeying Haag-Kastler axioms. Finally, we turn our attention to the particular case of the quantum free scalar field.
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Fundamentos de lógica, conjuntos e números naturaisSantos, Rafael Messias 28 August 2015 (has links)
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present work has as main objective to approach the fundaments of logic and
the notions of sets in a narrow and elementary way, culminating in the construction
of natural numbers. We present and advance, as far as possible, natural and intuitively,
the concepts of propositions and open propositions, and the use of these in
the speci cation sets, according with the axiom of the speci cation. We also present
the logic connectives of open propositions and logic equivalences, relating them to
the sets. We showed the concept of Theorem, as well as some forms of writing and
demonstrations in the scope of the sets, and we used properties and relations of sets
in the demonstration techniques. Our study ended with the construction of natural
numbers and some of its properties, for example, the Relation Order. / O presente trabalho tem como principal objetivo abordar os fundamentos de lógica
e as noções de conjuntos de maneira estreita e elementar, culminando na constru-
ção dos números naturais. Apresentamos, e progredimos na medida do possível, de
forma natural e/ou intuitiva, os conceitos de proposições e proposições abertas, e o
uso destes nas especi cações de conjuntos, de acordo com o axioma da especi cação.
Apresentamos também os conectivos lógicos de proposições abertas e as equivalências
lógicas, relacionando-os aos conjuntos. Mostramos o conceito de Teorema, bem
como algumas formas de escritas e demonstrações no âmbito dos conjuntos, e utilizamos
propriedades e relações de conjuntos nas técnicas de demonstração. Encerramos
nosso estudo com a construção dos números naturais e algumas das suas principais
propriedades, como por exemplo, a Relação de Ordem.
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