Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 elementos pre-textuais.pdf: 162361 bytes, checksum: 82f1f3cdfd0bb7d2b36c65252dee4600 (MD5) Previous issue date: 2012-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The erbium-doped fiber dual-ring laser is a four-dimensional continuous-time dynamical system, modeled by a set of four autonomous, first-order ordinary differential equations, and has been investigated in the last years due to several applications, as an example, chaos control, chaos synchronization and telecommunications systems. In this work we study the nonlinear dynamics of an erbium-doped fiber dual-ring laser from two points of view, analytical and numerical. The analytical investigation consists in to analyse the stability of an equilibrium point, using the Routh-Hurwitz criterion and some eigenvalues of the Jacobian matrix. The numerical investigation was performed in a the two-dimensional parameter-space of a set autonomous, seven-parameter, four-dimensional first-order ordinary differential equation system, tuning two parameters that control the dynamics. By using the Lyapunov exponents spectrum as a measure of chaotic and periodic behaviors, we construct parameter-space diagrams to characterize the dynamics of the model. We study the self-organized periodic structures embedded in a chaotic region by means of bifurcation diagrams, showing that there are directions in two-dimensional parameter-spaces in which the periodic structures are arranged in period-adding bifurcation cascades. / O laser de fibra de dois anéis dopado a érbio é um sistema dinâmico quadridimensional a tempo contínuo, modelado por um conjunto de quatro equações diferenciais ordinárias de primeira ordem autônomas, e tem sido investigado nos últimos anos devido as diversas aplicações, como por exemplo, controle de caos, sincronização de caos e sistemas de telecomunicações. Neste trabalho estudamos a dinâmica não linear do laser de fibra de dois anéis dopado a érbio a partir de dois pontos de vista, analítico e numérico. A investigação analítica consiste em analisar a estabilidade de um ponto de equilíbrio do sistema, usando o critério de Routh-Hurwitz e alguns autovalores da matriz Jacobiana. A investigação numérica foi realizada em um espaço de parâmetros bidimensional de um conjunto de quatro equações diferencias ordinárias de primeira ordem autônomas com sete parâmetros, variando dois parâmetros que controlam a dinâmica. Usando o maior Expoente de Lyapunov como uma medida dos comportamentos caótico e periódico construímos diagramas do espaço de parâmetros para caracterizar a dinâmica do modelo. Estudamos as auto-organizações de estruturas periódicas imersas em uma região caótica usando diagramas de bifurcação, mostrando que existem direções específicas no espaço de parâmetros bidimensional em que tais estruturas periódicas são arranjadas em cascatas de bifurcação por adição de período.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cristiane Stegemann.pdf: 4817823 bytes, checksum: f859f3883a8981d6a95d5baba3847fc3 (MD5) Previous issue date: 2012-07-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / One of the tumor growth model is formed by a three-dimensional continuous-time dynamical system, modeled by a set of three autonomous, first-order ordinary differential equations. Mathematical models for tumor growth are used as mechanisms to better understand this disease, find patterns for identification through simulations of the spatial distribution of tumors, or even analysis of interactions of cell populations in order to predict their future behavior. In this work, we introduce some systems that model population growth, which substantiate the choice of the equations of growth of tumors that will later be used in computer simulations. From the analytical point of view, one can determine all equilibrium points of the system and for one of them to study its stability. For to the latter task, we will use the eigenvalues of the Jacobian matrix. The numerical results were obtained by the study of parameter spaces and bifurcation diagrams. The parameter spaces were constructed from the change in a couple of parameters and by calculating a third magnitude, which in this work will be the period and the Lyapunov exponent. These results indicate the existence of specific regions in the parameter space where periodic structures were arranged in a period-adding bifurcation cascade. It is shown that, in the innermost region of the periodic structures, it is possible to visualize the superestable line. Finally, for certain parameter values, the periodic structures are presented spirally arranged, although no law of formation has been found. / Um dos modelos de crescimento de tumores é formado por um sistema dinâmico tridimensional a tempo contínuo, modelado por um conjunto de três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem autônomas. Modelos matemáticos para crescimento de tumores são utilizados como mecanismos para entender melhor esta doença, encontrar padrões para sua identificação através de simulações da distribuição espacial de tumores, ou mesmo análises de interações de populações celulares com o intuito de predizer seu comportamento futuro. Neste trabalho, serão apresentados alguns sistemas que modelam crescimento populacional, o que fundamentará a escolha das equações de crescimento de tumores que, posteriormente, serão utilizadas nas simulações computacionais. Do ponto de vista analítico, pode-se determinar todos os pontos de equilíbrio do sistema e, para um deles, estudar sua estabilidade. Para esta última tarefa, serão utilizados os autovalores da matriz Jacobiana. Os resultados numéricos foram obtidos via estudo de espaços de parâmetros e diagramas de bifurcação. Os espaços de parâmetros são construídos a partir da variação de um par de parâmetros e do cálculo de uma terceira grandeza, que neste trabalho, serão o período e o expoente de Lyapunov. Tais resultados indicam a existência de regiões específicas no espaço de parâmetros em que a estruturas periódicas são arranjadas em uma cascata de bifurcação por adição de período. Será mostrado que, na região mais interna das estruturas periódicas, é possível visualizar a linha de superestabilidade. Por fim, para determinados valores dos parâmetros, as estruturas periódicas se apresentam dispostas em espiral, embora nenhuma lei de formação tenha sido encontrada.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Juliana Vicente.pdf: 26659692 bytes, checksum: 42c72bc287e017fe62aec1549942e15b (MD5) Previous issue date: 2013-03-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The Fitzhugh-Nagumo model originally consists of two non-linear differential equations, which simulate the behavior of nerve impulse conduction through the neuronal membrane. In this work, we study the dynamical behavior of coupled neuron networks modeled by equations of Fitzhugh-Nagumo, in the numerical viewpoint. The numerical simulations were made considering networks of two, three and four neurons coupled unidirectionally and bidirectionally, for which parameter spaces, isoperiodic diagrams and bifurcation diagrams were built. In the parameter spaces and isoperiodic diagrams we investigated the dynamics of the variation between coupling strength of the neural systems and any other parameters of system, calculating the Lyapunov exponents and the local maximum of a variable respectively. The results showed the existence of periodic structures, self-organized arranged sequentially in a period-adding bifurcation cascade immersed in chaotic regions. Internally these structures undergo bifurcations by period-doubling. In the case of the two neurons model unidirectionally coupled, we observe the formation of periodic structures arranged in period-adding bifurcation cascade. Finally we show that in some cases the networks of three and four neurons the occurrence of hyperchaos, were observed in the dynamics of the systems. / O modelo de Fitzhugh-Nagumo é composto originalmente por um sistema de duas equações diferenciais não-lineares, que simulam o comportamento de condução do impulso nervoso através da membrana neural. Neste trabalho estudamos numericamente o comportamento dinâmico de redes de neurônios acoplados, modeladas pelas equações de Fitzhugh-Nagumo. Consideramos redes de dois, três e quatro neurônios acoplados unidirecionalmente e bidirecionalmente, para as quais foram construídos espaços de parâmetros dos expoentes de Lyapunov, diagramas isoperíodos e diagramas de bifurcação. Nos espaços de parâmetros e diagramas isoperiódicos investigamos a dinâmica da variação entre a intensidade de acoplamento dos sistemas de neurônios e um outro parâmetros quaisquer do sistema, calculando o espectro de Lyapunov e os máximos locais de uma variável, respectivamente. Os resultados evidenciaram a existência de estruturas auto-similares arranjadas sequencialmente em cascatas de bifurcação por adição de período imersas em regiões caóticas. Internamente, as estruturas periódicas exibem cascatas de bifurcações por dobramento de período. No caso do modelo para dois neurônios acoplados unidirecionalmente existe a formação de estruturas periódicas em camada, arranjadas em cascatas de bifurcação por adição de período. Finalmente mostramos que, para as redes de três e quatro neurônios, existe a ocorrência de regiões de hipercaos na dinâmica dos sistemas.

Orientador: José Roberto Campanha / Banca: Makoto Yoshida / Banca: Camilo Rodrigues Neto / Resumo: Uma oscilação mecânica pode gerar movimentos caóticos através de vibrações irregulares. O estudo da oscilação mecânica caótica é o objetivo deste trabalho e para isto propomos um sistema eletro - magneto mecânico que descreve um modelo físico que trata do movimento de um fio em um campo magnético. Com simulações numéricas estudamos o sistema, usando a transformada rápida de Fourier, expoentes de Lyapunov, diagrama de bifurcação, seção de Poincaré, trajetórias de plano de fase e gráficos das posições do fio em função do tempo que oscila em movimentos periódicos e caóticos. / Abstract: A mechanical oscillation can to generate chaotic movements through irregular vibrations. The study of chaotic mechanical oscillation is the objective of this work and for this we proposed a mechanical electro - magneto system that describes a physical model that treats the movement of a thread in a magnetic field. With numeric simulations, we studied the system using the fast Fourier transform, Lyapunov exponents, bifurcation diagram, Poincaré section, phase plane trajectories and graphs of the thread positions in time function that oscillate in periodic and chaotic movements. / Mestre

This thesis focuses on deterministic chaos and selected methods of chaos control. It briefly describes the matter of deterministic chaos and presents commonly used tools of analysis of dynamical systems exhibiting chaotic behavior. A list of frequently studied chaotic systems is presented and followed by a description of methods of chaos control and the optimization of these methods. The practical part is dedicated to the stabilization of two model systems and one real system with described methods.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à l'action du groupe des transformations affines et des homothéties sur l'axe du temps des systèmes différentiels quadratiques à foyer faible d'ordre trois, dans le plan. Ces systèmes sont importants dans le cadre du seizième problème d'Hilbert. Le diagramme de bifurcation a été produit à l'aide de la forme normale de Li dans des travaux de Andronova [2] et Artès et Llibre [4], sans utiliser le plan projectif comme espace des paramètres ni de méthodes globales. Dans [7], Llibre et Schlomiuk ont utilisé le plan projectif comme espace des paramètres et des notions à caractère géométrique global (invariants affines et topologiques). Ce diagramme contient 18 portraits de phase et certains de ces portraits sont répétés dans des parties distinctes du diagramme. Ceci nous mène à poser la question suivante : existe-t-il des systèmes distincts, correspondant à des valeurs distinctes de paramètres, se trouvant sur la même orbite par rapport à l'action du groupe? Dans ce mémoire, on prouve un résultat original : l'action du groupe n'est pas triviale sur la forme de Li (théorème 3.1), ni sur la forme normale de Bautin (théorème 4.1). En utilisant le deuxième résultat, on construit l'espace topologique quotient des systèmes quadratiques à foyer faible d'ordre trois par rapport à l'action de ce groupe. / We are interessed here in the action of the group of affine transformations and time homotheties on quadratic differential systems which have a weak focus of third order. These systems are important for Hilbert sixteenth problem. The bifurcation diagram was produced using Li's normal form in the articles of Andronova [2], and Artès and Llibre [4], without using the projective plane as parameter space, and without using global methods. In [7], Llibre and Schlomiuk used the projective plane as parameter space and global geometric methods (affine and topological invariants). This diagram contains 18 phase portraits and some of these portraits are repeated in distinct parts of the diagram. This led us to ask the following question : do there exist distinct differential systems, corresponding to distinct values of the parameter, which are on the same orbit of the group action? In this master's thesis, we prove an original result : the action of the group is not trivial on Li's normal form (theorem 3.1), neither is it trivial on Bautin's normal form (theorem 4.1). Using the second result, we construct the quotient topological space of these systems with a weak focus of third order, with respect to the group action.

Let us have a boundary value problem for the fourth order homogeneous linear ordinary differential equation with constant coefficients, four zero boundary conditions and one additional unilateral condition in the interior of the domain. We prove the existence of a sequence of non-trivial solutions for three types of boundary conditions.

Tato diplomová práce je zaměřena na analýzu chování magnetopiezoelastického kmitajícího nosníku. V teoretické části jsou odvozeny diskretizované parametry, které popisují reálnou soustavu jako model s jedním stupněm volnosti. Tento model je následně použit pro kvalitativní i kvantitativní analýzu chování tohoto harvesteru. Frekvenční odezva harmonicky buzeného systému je zkoumána v dvouparametrické nebo tříparametrické analýze v závislosti na amplitudě buzení, elektrické zátěži a vzdálenosti mezi magnety. Posledně zmíněný parametr je v práci tím hlavním, proto je vliv vzdálenosti magnetů zkoumán také s pomocí bifurkačních diagramů. Tyto diagramy byly navíc použity k vytvoření oscilační "mapy", která pro každé zatěžovací podmínky ukazuje, jakou vzdálenost magnetů je třeba nastavit, aby bylo generováno nejvíce energie. Práce je doplněna o ukázky několika jevů, které mohou značně ovlivnit chování systému, pokud se nejdená o čistě harmonické buzení.

We consider the Volter-Salnikov model describing the dynamics of the flow chemical reactor. In the work, a study of deterministic model was performed, deterministic system attractors were defined, bifurcation diagram was constructed. For stochastic model, we analyzed a response of attractors (equilibria and cycles) on sensitivity to noise. With the help of confidence domains, a geometrical description of the dispersion of random states was given, noise-induced transitions were investigated, and of critical values of the noise intensity were estimated. We have constructed a feedback regulator that allows to provide the desired stochastic sensitivity of the system. / В работе рассматривается модель Вольтера-Сальникова, описывающая динамику проточного химического реактора. В работе было проведено исследование детерминированной модели, определены детерминированные аттракторы системы, построена бифуркационная диаграмма. Для стохастической модели проведен анализ аттракторов системы (равновесий и циклов) на чувствительность к шуму. С помощью доверительных областей было дано геометрическое описание областей рассеивания случайных состояний. С помощью доверительных областей исследованы индуцированные шумом переходы, проведена оценка критических значений интенсивности шума. В работе построен управляющий регулятор, позволяющий обеспечить в системе желаемую стохастическую чувствительность.

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