Thesis (M. Sc.)--University of Canterbury, 2008. / Typescript (photocopy). Includes bibliographical references (p. [58]). Also available via the World Wide Web.

The Boussinesq approximation is a set of fluids equations utilized in the atmospheric and oceanographic sciences. They may be thought of as inhomogeneous, incompressible Euler or Navier-Stokes equations, where the inhomogeneous term is a scalar quantity, typically representing density or temperature, governed by a convection-diffusion equation. In this thesis, we prove local-in-time existence and uniqueness of an inviscid Boussinesq system. Furthermore, we show that under stronger assumptions, the local-in-time results can be extended to global-in-time existence and uniqueness as well. We assume the density equation contains nonzero diffusion and that our initial vorticity and density belong to a space of borderline Besov-type. We use paradifferential calculus and properties of the Besov-type spaces to control the growth of vorticity via an a priori estimate on the growth of density. This result is motivated by work of M. Vishik demonstrating local-in-time existence and uniqueness for 2D Euler equations in borderline Besov-type spaces, and by work of R. Danchin and M. Paicu showing the global well-posedness of the 2D Boussinesq system with initial data in critical Besov and Lp-spaces. / text

University, Diss., 2005--Bremen. / Erscheinungsjahr an der Haupttitelstelle: 2004.

Thesis (Ph. D.)--University of Texas at Austin, 2007. / Vita. Includes bibliographical references.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(人間・環境学) / 甲第20455号 / 人博第805号 / 新制||人||194(附属図書館) / 28||人博||805(吉田南総合図書館) / 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻 / (主査)教授 清水 扇丈, 教授 足立 匡義, 准教授 木坂 正史, 教授 森本 芳則 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Human and Environmental Studies / Kyoto University / DFAM

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel / This thesis is devoted to the study of the dynamics of the gases with small Mach number. The model comes from the complete Navier-Stokes equations when the Mach number goes to zero, and we aim at showing that it is well-posed. The viscous and inviscid cases are both considered. The physical coefficients may depend on the unknown density (or on the unknown temperature).In particular, we consider the effects of the thermal conductivity and hence large variations of entropy are allowed. Recall that if there is no thermal diffusion, then the low Mach number limit just implies the incompressibility condition. In the framework considered here, by introducing a new solenoidal velocity field, the system becomes a nonlinear coupling between a quasi-parabolic equation for the density and an evolutionary Stokes (or Euler) system for the velocity and the pressure. For the case with viscosity, we establish classical results, namely the strong solutions exist locally (resp. globally) in time for big (resp. small) initial data. We consider the Cauchy problem in the critical Besov spaces with the lowest regularity. Under a special relationship between the two physical coefficients, the system recasts in a simpler form and one may prove that there exist weak solutions with finite energy. In dimension two, this implies that strong solutions with finite energy exist for all positive times. In the inviscid case, we first prove the well-posedness result in endpoint Besov spaces, which can be embedded into the set of Lipschitzian functions. Continuation criterions and estimates for the lifespan are both established.If we suppose the initial data to be in the borderline Besov spaces with infinite Lebesgue exponent and to be of finite energy, we also have a local existence result. In dimension two, the lifespan goes to infinity when the density tends to a positive constant. Estimates for products and commutators, together with a priori estimates for the parabolic equations and the Stokes (or Euler) system with variable coefficients, are postponed in the appendix. These estimates are based on the Littlewood-Paley theory and the paradifferential calculus

Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coefficients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable. Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coefficients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont suffisantes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace H^inf (pour des coefficients du deuxième ordre ayant assez de régularité).Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coefficients du premier ordre étaient supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment différente. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable. On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales. Cela fait, on prouve la persistance des structures géométriques, comme la régularité stratifiée et conormale, pour les solutions de ce système. À la différence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon. La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel nous permettent d'aborder ces deux différents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradifférentiel, qui dépend d'un paramètre plus grand que ou égal à 1, pour traiter les opérateurs à coefficients peu réguliers. Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu / The present thesis is devoted both to the study of strictly hyperbolic operators with low regularity coefficients and of the density-dependent incompressible Euler system. On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coefficients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log-Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space $H^infty$ (for suitably smooth second order coefficients).In a first time, we consider acomplete operator in space dimension $1$, whose first order coefficients were assumed Hölder continuous and that of order $0$only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really different approach. On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lipschitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only. This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system. In contrast with the classical case of constant density, even in dimension $2$ the vorticity is not transported by the velocity field. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure. Littlewood-Paley theory and paradifferential calculus allow us to handle these two different problems .A new version of paradifferential calculus, depending on a parameter $ggeq1$, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coefficients. The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well

<p>This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was continued by Fournier (1988) and by Kolyada (2005).</p><p><p><p>We consider fully anisotropic mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces into Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic fractional Sobolev spaces and anisotropic Sobolev-Besov spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces $B_p^\alpha$ by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for Besov spaces $B^{\alpha_1,\dots,\alpha_n}_p$ by Kolyada.</p><p>We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces and in the description of Sobolev type embeddings.</p></p></p>

This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was continued by Fournier (1988) and by Kolyada (2005). We consider fully anisotropic mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces into Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic fractional Sobolev spaces and anisotropic Sobolev-Besov spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces $B_p^\alpha$ by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for Besov spaces $B^{\alpha_1,\dots,\alpha_n}_p$ by Kolyada. We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces and in the description of Sobolev type embeddings.

Thèse de doctorat : Mathématiques : Nice : 2004. / Thèse préparée à l'Inria Sophia Antipolis, projet Ariana. Bibliogr. p. 261-269.