Cette thèse est dédiée a l''etude de certaines propriétés des équations d' évolutions non-autonomes $u'(t)+A(t)u(t)=f(t), u(0)=x.$ Il s'agit précisément de la propriété de la régularité maximale $L^p$: étant donnée $fin L^{p}(0,tau;H)$, montrer l'existence et unicité de la solution $u in W^{1,p}(0,tau;H)$. Ce problème a 'et'e intensivement étudie dans le cas autonome, i.e., $A(t)=A$ pour tout $t$. Dans le cas non-autonome, le problème a été considéré par J.L.Lions en 1960. Nous montrons divers résultats qui étendent tout ce qui est connu sur ce problème. On suppose ici que la famille des opérateurs $(mathcal{A}(t))_{tin [0,tau]}$ est associée à des formes quasi-coercives, non autonomes $(fra(t))_{t in [0,tau]}.$ Nous considérons également le problème de régularité maximale pour les d'ordre 2 (équations des ondes). Plusieurs exemples et applications sont considérés. / This Thesis is devoted to certain properties of non-autonomous evolution equations $u'(t)+A(t)u(t)=f(t), u(0)=x.$ More precisely, we are interested in the maximal $L^p$-regularity: given $fin L^{p}(0,tau;H),$ prove existence and uniqueness of the solution $u in W^{1,p}(0,tau;H)$. This problem was intensively studied in the autonomous cas, i.e., $A(t)=A$ for all $t.$ In the non-autonomous cas, the problem was considered by J.L.Lions in 1960. We prove serval results which extend all previously known ones on this problem. Here we assume that the familly of the operators $(mathcal{A}(t))_{tin [0,tau]}$ is associated with quasi-coercive, non-autonomous forms $(fra(t))_{t in [0,tau]}.$ We also consider the problem of maximal regularity for second order equations (the wave equation). Serval examples and applications are given in this Thesis.

Cette thèse donne une étude systématique des espaces de Sobolev, Besov et Triebel-Lizorkin sur le tore quantique. Ces espaces partagent beaucoup de propènes avec leurs analogues classiques. Nous prouvons le théorème de réduction pour tous ces espaces et une inégalité de Poincaré pour les espaces de Sobolev. Nous démontrons les inégalités de plongement pour eux, incluant le plongement d'espaces de Besov et d'espaces de Sobolev. Nous obtenons une caractérisation générale à la Littlewood-Paley pour les espaces de l3esov et Triebel-Lizorkin, qui implique des caractérisations concrètes par les semigroupes de Poisson et de chaleur ainsi par des différences. Certains d'entre elles sont nouvelles, même dans le cas commutatif; par exemple, celle d'espaces de Besov et Triebel-Lizorkin par le semigroupe de Poisson améliore le résultat classique. En conséquence de la caractérisation d'espaces de Besov par des différences, nous étendons les récents résultats de Bourgain-Brézis -Mironescu et Maz'ya-Shaposhnikova sur les limites de normes de Besov au cadre quantique. Nous étudions aussi l'interpolation de ces espaces, et en particulier, déterminons explicitement le K-fonctionnel du couple de l'espace Lp et l'espace de Sobolev, ce qui est l'analogue quantique du résultat classique de Johnen et Scherer. Enfin, nous montrons que les multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur tous ces espaces coïncident avec ceux sur les espaces correspondants sur le tore usuel. Nous prouvons également que les multiplicateurs de Fourier sur les espaces de Besov sont complètement déterminés par ceux sur les sous-espaces Lp associés à leurs composantes dans la décomposition de Littlewood-Paley. / This thesis gives a systematic study of Sobolev, Besov and Triebel-Lizorkin spaces on a noncommutative d-torus. We prove, arnong other basic properties, the lifting theorem for all these spaces and a Poincaré type inequality for Sobolev spaces. We establish the embedding inequalities of all these spaces, including the l3esov and Sobolev embedding theorems. We obtain Littlewood-Paley type characterizations for Besov and 'friebel-Lizorki spaces in a general way, as well as the concrete ones internas of the Poisson, heat semigroups and differences. Some of them are new even in the commutative case, for instance, oui Poisson semigroup characterization of Besov and Triebel-Lizorkin spaces improves the classical ones. As a consequence of the characterization of the Besov spaces by differences, we extend to the quantum setting the recent results of Bourgain-Brézis -Mironescu and Maz'ya-Shaposhnikova on the limits of l3esov florins. We investigate the interpolation of all these spaces, in particular, deterrnine explicitly the K-functional of the couple of Lp space and Sobolev space, winch is the quantum analogue of a classical result due to Johnen and Scherer Finally, we show that the completely bounded Fourier multipliers on all these spaces coincide with those on the corresponding spaces on the usuel d-torus. We also give a quite simple description of (completely) bounded Fourier multipliers on the Besov spaces in ternis of their behavior on the Lp-components in the Littlevvood-Paley decomposition.

Doctor of Philosophy / Department of Mathematics / Virginia Naibo / Investigations of pseudodifferential operators are useful in a variety of applications. These include finding solutions or estimates of solutions to certain partial differential equations, studying boundedness properties of commutators and paraproducts, and obtaining fractional Leibniz rules. A pseudodifferential operator is given through integration involving the Fourier transform of the arguments and a function called a symbol. Pseudodifferential operators were first studied in the linear case and results were obtained to advance both the theory and applicability of these operators. More recently, significant progress has been made in the study of bilinear, and more generally multilinear, pseudodifferential operators. Of special interest are boundedness properties of bilinear pseudodifferential operators which have been examined in a variety of function spaces. Since determining factors in the boundedness of these operators are connected to properties of the corresponding symbols, significant effort has been directed at categorizing the symbols according to size and decay conditions as well as at establishing the associated symbolic calculus. One such category, the bilinear Hörmander classes, plays a vital role in results concerning the boundedness of bilinear pseudodifferential operators in the setting of Lebesgue spaces in particular. The new results in this work focus on the study of bilinear pseudodifferential operators with symbols in weighted Besov spaces of product type. Unlike the Hörmander classes, symbols in these Besov spaces are not required to possess in finitely many derivatives satisfying size or decay conditions. Even without this much smoothness, boundedness properties on Lebesgue spaces are obtained for bilinear operators with symbols in certain Besov spaces. Important tools in the proofs of these new results include the demonstration of appropriate estimates and the development of a symbolic calculus for some of the Besov spaces along with duality arguments. In addition to the new boundedness results and as a byproduct of studying operators with symbols in Besov spaces, it is possible to quantify the smoothness of the symbols, in terms of the conditions that define the Hörmander classes, that is sufficient for boundedness of the operators in the context of Lebesgue spaces.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes permettant de décomposer une image en deux parties: l'une contenant les structures (ou objets) de l'image et l'autre les textures. Le point de départ de ces travaux est le modèle proposé par Yves Meyer en 1999 puis les travaux de Jean-François Aujol pour les aspects algorithmiques.<br />Après une étude théorique de ces approches, nous proposons une extension au cas des images bruitées nous permettant d'obtenir alors une décomposition en trois composantes: structures + textures + bruit.<br />Par ailleurs, nous proposons une méthode spécifique en vue d'évaluer les résultats obtenus à partir des différents alggorithmes. <br />Enfin, nous présentons quelques applications des ces méthodes de décomposition d'image, notamment un algorithme de détection de réseaux routiers en imagerie aérienne ou satellitaire. Cet algorithme combine décomposition d'image, détection d'alignements par la théorie de la Gestalt et modèle déformable.

L'objectif de l'analyse multifractale (introduite dans le cadre de la turbulence pleinement developpee) est de déterminer la dimension des ensembles de points où une fonction a une régularité hölderienne fixée. Cette information ne peut être calculée directement sur les signaux réels et une formule appelée formalisme multifractal a été introduite pour calculer ces dimensions à partir de quantités obtenues directement par traitement du signal. Elle n'est pas vraie en toute généralité et nous étudions dans cette thèse différentes situations dans lesquelles le formalisme multifractal n'est pas valide.<br />Des résultats de type " Baire " démontrent que le formalisme multifractal est vrai quasi-sûrement pour de petites valeurs de l'exposant de Hölder et faux pour les autres valeurs. Nous montrons que cela est dû à la présence de singularités oscillantes.<br />D'autre part le formalisme multifractal ne s'applique qu'aux fonctions continues. Nous montrons qu'il est possible de généraliser la formule, en passant d'un critère de régularité ponctuelle hölderienne à un critère plus faible, à des fonctions qui peuvent ne plus être continues.<br />Enfin nous étudions un cas particulier de phénomène oscillant en dimension 2 qui n'est pas caractérisé par les critères de régularité ponctuelle précédents. Nous proposons une méthode d'analyse de ce comportement à base d'un algorithme de traitement de l'image.

In this thesis, we consider soltions to the two-dimensional Euler equations with uniformly continuous initial vorticity in a critical or subcritical Besov space. We use paradifferential calculus to show that the solution will lose an arbitrarily small amount of smoothness over any fixed finite time interval. This result is motivated by a theorem of Bahouri and Chemin which states that the Sobolev exponent of a solution to the two-dimensional Euler equations in a critical or subcritical Sobolev space may decay exponentially with time. To prove our result, one can use methods similar to those used by Bahouri and Chemin for initial vorticity in a Besov space with Besov exponent between 0 and 1; however, we use different methods to prove a result which applies for any Sobolev exponent between 0 and 2. The remainder of this thesis is based on joint work with J. Kelliher. We study the vanishing viscosity limit of solutions of the Navier-Stokes equations to solutions of the Euler equations in the plane assuming initial vorticity is in a variant Besov space introduced by Vishik. Our methods allow us to extend a global in time uniqueness result established by Vishik for the two-dimensional Euler equations in this space. / text

This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. We study different structural, integrability, and smoothness properties of functions satisfying certain mixed norm conditions. Conditions of this type are determined by the behaviour of linear sections of functions. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was further developed by Fournier (1988), by Blei and Fournier (1989), and by Kolyada (2005). Here we continue these studies. We obtain some refinements of known embeddings for certain mixed norm spaces introduced by Gagliardo, and we study general properties of these spaces. In connection with these results, we consider a scale of intermediate mixed norm spaces, and prove intrinsic embeddings in this scale. We also consider more general, fully anisotropic, mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces to Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic Sobolev-Besov spaces, and anisotropic fractional Sobolev spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements, and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for anisotropic Besov spaces by Kolyada. We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces, and in the description of Sobolev type embeddings. In the last chapter, we study mixed norm spaces consisting of functions that have smooth sections. We prove embeddings of these spaces to Lorentz spaces. From this result, known properties of Sobolev-Liouville spaces follow.

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Dans le cadre d'une analyse par ondelettes, nous étudions les propriétés statistiques de diverses classes de procédures. Plus précisément, nous cherchons à déterminer les espaces maximaux (maxisets) sur lesquels ces procédures atteignent une vitesse de convergence donnée. L'approche maxiset nous permet alors de donner une explication théorique à certains phénomènes observés en pratique et non expliqués par l'approche minimax. Nous montrons en effet que les estimateurs de seuillage aléatoire sont plus performants que ceux de seuillage déterministe. Ensuite, nous prouvons que les procédures de seuillage par groupes, comme certaines procédures d'arbre (proches de la procédure de Lepski) ou de seuillage par blocs, ont de meilleures performances au sens maxiset que les procédures de seuillage individuel. Par ailleurs, si les maxisets des estimateurs Bayésiens usuels construits sur des densités à queues lourdes sont de même nature que ceux des estimateurs de seuillage dur, nous montrons qu'il en est de même pour ceux des estimateurs Bayésiens construits à partir de densités Gaussiennes à grande variance et dont les performances numériques sont très bonnes.

The present thesis is devoted both to the study of strictly hyperbolic operators with low regularity coefficients and of the density-dependent incompressible Euler system. On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coefficients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log-Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space $H^infty$ (for suitably smooth second order coefficients).In a first time, we consider acomplete operator in space dimension $1$, whose first order coefficients were assumed Hölder continuous and that of order $0$only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really different approach. On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lipschitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only. This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system. In contrast with the classical case of constant density, even in dimension $2$ the vorticity is not transported by the velocity field. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure. Littlewood-Paley theory and paradifferential calculus allow us to handle these two different problems .A new version of paradifferential calculus, depending on a parameter $ggeq1$, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coefficients. The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well